巧用曲線(xiàn)的參數(shù)方程解答解析幾何問(wèn)題

李紅紅

解析幾何問(wèn)題的運(yùn)算量一般都比較大，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，我們需另辟蹊徑.而在解題時(shí)，靈活運(yùn)用曲線(xiàn)的參數(shù)方程，能將解析幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，利用三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象、公式即可解題.這樣能有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算，提升解答解析幾何問(wèn)題的效率.

運(yùn)用曲線(xiàn)的參數(shù)方程解答解析幾何問(wèn)題，一般有以下幾個(gè)步驟：

1.根據(jù)已知條件設(shè)出曲線(xiàn)的參數(shù)方程，確定參數(shù)的取值范圍;

2.根據(jù)參數(shù)方程，用參數(shù)表示出曲線(xiàn)上的點(diǎn);

3.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入題設(shè)中，建立關(guān)系式，并用參數(shù)表示所求目標(biāo).必要時(shí)可靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式等來(lái)建立關(guān)系式;

4.合理進(jìn)行三角恒等變換，化簡(jiǎn)目標(biāo)式;

5.利用三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象求得問(wèn)題的答案.

下面舉例說(shuō)明.

例1.已知直線(xiàn)l的傾斜角為α，且過(guò)點(diǎn)P（0，-2），曲線(xiàn)C的方程為（x-2）2+y2=4.設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M，N，求的最大值.

解：由已知得直線(xiàn)l的參數(shù)方程為??? （t為參數(shù)）

由于M和N是直線(xiàn)l上兩點(diǎn)，所以可設(shè)M（t1cosα，-2+t1sinα），N（t2cosα，-2+t2sinα），

則，

由圖可知t1>0，t2>0，則，

將參數(shù)方程與曲線(xiàn)C的方程聯(lián)立，可得t2-4（cosα+sinα）t+4=0，

而t1，t2是該一元二次方程的兩根，

根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得，

由于直線(xiàn)與圓相交，所以，

所以當(dāng)時(shí)，取最大值1，即t1+t2的最大值為??? .

一般地，傾斜角為α且過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的直線(xiàn)l的參數(shù)方程是??? （t為參數(shù)）將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入圓的方程，可得關(guān)于t的一元二次方程，然后根據(jù)方程中根與系數(shù)關(guān)系建立關(guān)系式，求得的表達(dá)式，再利用正弦函數(shù)的有界性就能求得的最大值.

例2.已知直線(xiàn)l的方程為，曲線(xiàn)C的方程為??? .設(shè)點(diǎn)P是曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)l的距離的最大值.

解析：橢圓的參數(shù)方程是??? （α為參數(shù)）其中α∈R.可根據(jù)該參數(shù)方程設(shè)出橢圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（acosα，bsinα），再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式來(lái)建立關(guān)系式，利用三角函數(shù)的有界性便可求得最值.

解：由于點(diǎn)P是曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)，

則P到直線(xiàn)l的距離??? .

因?yàn)棣痢蔙，所以-1≤sin（α+φ）≤1，

當(dāng)sin（α+φ）=1時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離取最大值??? .

將曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用關(guān)于參數(shù)α的三角函數(shù)式表示出來(lái)，可將求P到直線(xiàn)l的距離的最大值轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角函數(shù)式最值問(wèn)題，這樣易于求解.

由此可見(jiàn)，巧用曲線(xiàn)的參數(shù)方程來(lái)解答解析幾何問(wèn)題，能有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算，優(yōu)化解題的方案.尤其是在解答與曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，根據(jù)曲線(xiàn)的參數(shù)方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入題設(shè)中進(jìn)行求解，能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化三角函數(shù)問(wèn)題，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果.

（作者單位：陜西省神木市第七中學(xué)）