“三招”破解一類數(shù)列求和問題

林世錦 馮帆

數(shù)列求和問題常以壓軸題的形式出現(xiàn)在各類試卷中，此類問題一般較為復雜，且難度系數(shù)較大.當遇到遞推式中含有（-1）n的數(shù)列求和問題時，很多同學在解題時常常找不到正確的解題思路.本文結(jié)合實例來探討一下解答此類數(shù)列求和問題的方法.

例題：數(shù)列{an}滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則{an}的前60項和為________.

題目只給出了數(shù)列的遞推公式，卻沒有給出數(shù)列的首項，只能根據(jù)遞推公式得到兩項之間的關(guān)系式，解題的難度較大.通過研究，筆者得到如下三種求解方法.

一、直接法

直接法是解答數(shù)學問題的常用方法，是指根據(jù)題意，直接運用相關(guān)的定理、公式、定義來進行推理、運算，進而得到問題答案的方法.對于本題，我們可以由數(shù)列的遞推公式得到數(shù)列的前幾項，再由其和猜想數(shù)列的前60項和的規(guī)律.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1，可得a3+a2=3，a5+a4=7，a7+a6=11，a61+a60=119.

由an+1+（-1）nan=2n-1①，

得an+2+（-1）n+1an+1=2n+1②，

由①②兩式可得an+2+an=2n+1+（-1）n（2n-1），

則an+4+an+2=2（n+2）+1+（-1）n+2（2n+3）③，

聯(lián)立②③式可得an+4-an=4+4（-1）n，

因此當n為奇數(shù)時，an+4=an，則a61=a1，

當n為偶數(shù)時，an+4-an=8.

所以a3+a2+a5+a4+a7+a6+…+a61+a60=a1+a2+a3+…+a60=1830.

我們從已知遞推公式出發(fā)，通過消元得到②③式，進而發(fā)現(xiàn)數(shù)列各項之間的規(guī)律：當n為奇數(shù)時an+4=an;當n為偶數(shù)時an+4-an=8，求得數(shù)列前幾項的和，便可求得數(shù)列的前60項的和.

二、轉(zhuǎn)化法

轉(zhuǎn)化法是指通過等價轉(zhuǎn)化將復雜、難度較大的問題轉(zhuǎn)化為簡單、易于求解的問題的方法.在解答復雜的數(shù)學求和問題時，我們可以通過發(fā)現(xiàn)規(guī)律或借助數(shù)列的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為簡單的，易于求解的問題.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1，可得a2=1+a1，a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，a7=2-a1，a8=15-a1，…，

所以a1+a2+a3+a4=10，a5+a6+a7+a8=26，

所以該數(shù)列從第一項開始，每四項的和排列起來就是一個以10為首項，16為公差的等差數(shù)列，

因此a1+a2+…+a60=10+26+…+234=1830.

我們從已知遞推公式出發(fā)，分別用a1表示數(shù)列的前幾項，發(fā)現(xiàn)從第一項開始，每四項相加可以消掉未知的a1，且其和構(gòu)成一個等差數(shù)列，運用等差數(shù)列的前n項求和公式便可求得數(shù)列的前60項和.

三、特殊值法

特殊值法是解答選擇、填空題的一種常用方法.有些問題較為復雜，且運算量較大，此時我們可以根據(jù)題意選擇幾個滿足題意的特殊值，將其代入題設(shè)中進行求解，便可快速求得問題的答案.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1可得an+1=2n-1-（-1）nan，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列無法確定，即a1不確定，要求數(shù)列的前60項之和，需先確定a1的值.不妨令a1=1，則a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a6=10，…，所以奇數(shù)項均為1，偶數(shù)項是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以??? .

我們通過研究可以發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)：前60項之和與a1的取值有關(guān)，于是給a1=1賦予特殊值，使無法確定的數(shù)列變成熟悉的數(shù)列，從而快速且準確地獲得問題的答案.

相比較而言，運用第一種方法，推導過程較為繁瑣，對同學們的邏輯推理、數(shù)學運算能力有很高的要求;第二方法較為靈活，對同學們的計算能力和數(shù)學思維都有所要求;而第三種方法最為簡單、有效，運用該方法能快速、準確地解題.因此，對于遞推式中含有（-1）n的數(shù)列求和問題，我們要充分挖掘題目的本質(zhì)，找出問題中變量與不變量，認清變量之間的關(guān)系，從而找到數(shù)列的規(guī)律，快速求得問題的答案.

（作者單位：閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院）