數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人——弗雷格

杜瑞芝

L.G.弗雷格（L.G.Frege）是德國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家.早年他在耶拿大學(xué)、弗雷格哥丁根大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和哲學(xué)，1873年獲博士學(xué)位后在母校耶拿大學(xué)任教，直至退休.他是數(shù)理邏輯和分析哲學(xué)的奠基人，主要著作有《算術(shù)基礎(chǔ)》《涵義與指稱》《概念語(yǔ)言》《算術(shù)的基本規(guī)律》1～2卷（以下簡(jiǎn)稱《基本規(guī)律》）等.

弗雷格首先是作為一位數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家而聞名于世的.他在數(shù)學(xué)上的主要成就是使自C.F.高斯（C.F.Gauss）以來(lái)所建立的數(shù)學(xué)體系更加精確和完善，確立了算術(shù)演算的基本規(guī)則.他第一個(gè)建立了初步自足的命詞演算系統(tǒng)和量詞理論，并且首次提供了現(xiàn)代意義下的數(shù)理邏輯的一個(gè)體系，因而成為數(shù)理邏輯的奠基人.他還提出數(shù)學(xué)可以化歸為邏輯的思想，成為邏輯主義的創(chuàng)始人.弗雷格還是一位杰出的哲學(xué)家.他的絕大部分著作都具有明顯的哲學(xué)特征.弗雷格對(duì)哲學(xué)的重新規(guī)定，標(biāo)志著當(dāng)代西方分析哲學(xué)的開(kāi)端.

一、建立了邏輯演算體系

弗雷格主要從事純邏輯的研究.他用數(shù)學(xué)方法研究邏輯問(wèn)題，其研究成果總結(jié)在1879年出版的《概念語(yǔ)言》中.18世紀(jì)德國(guó)哲學(xué)家A.特倫德倫堡（A.Trendelenburg）的著作對(duì)弗雷格有較大的影響.通過(guò)研究特倫德倫堡的工作，弗雷格了解到G.W.萊布尼茨（G.W.Leibniz）關(guān)于邏輯語(yǔ)言的觀點(diǎn)，并追隨特倫德倫堡，把他的邏輯符號(hào)系統(tǒng)稱作“概念語(yǔ)言”.經(jīng)過(guò)5年的精心研究，弗雷格完成了一部劃時(shí)代的著作——《概念語(yǔ)言》.在這本書里，弗雷格把從R.H.洛采（R.H.Lotze）和特倫德倫堡，以及從萊布尼茨和I.康德（l.Kant）那里得到的觀點(diǎn)，變成了一種全新的邏輯.這本不足80頁(yè)的書是弗雷格的不朽之作.弗雷格在此建立的邏輯有效地終結(jié)了亞里士多德邏輯兩千多年來(lái)一直占據(jù)的統(tǒng)治地位，完成了始于幾百年前G.伽利略（G.Galilei）破除亞里士多德物理學(xué)的進(jìn)程.在《概念語(yǔ)言》中，弗雷格創(chuàng)造了一種表意的語(yǔ)言，即“純粹思想的語(yǔ)言”.正如他在這本書的副標(biāo)題中所說(shuō)——它可以使我們完全精確地表達(dá)判斷的概念內(nèi)涵.他覺(jué)得日常語(yǔ)言是表達(dá)嚴(yán)密思想的障礙.當(dāng)所表達(dá)的關(guān)系越復(fù)雜時(shí)，日常語(yǔ)言就越不能滿足要求.因此他創(chuàng)造了這種概念語(yǔ)言.利用這種語(yǔ)言，弗雷格成功地構(gòu)造了一個(gè)嚴(yán)格的邏輯演算體系.

下面簡(jiǎn)要介紹一下弗雷格邏輯演算的內(nèi)容.

1.弗雷格嚴(yán)格區(qū)別了命題的表達(dá)和斷定.他引進(jìn)斷定符號(hào)“”.用“”表示“是被斷定的”，將垂直短線“”稱為判斷短線、水平短線“”稱為內(nèi)容短線.“”是一個(gè)整體，它只表達(dá)可斷定的內(nèi)容，即命題的表達(dá).而“”才表示命題的斷定.如“”表示“不同的磁極相互吸引”這一斷言，而“”只是表達(dá)了不同磁極相互吸引這一思想.

2.弗雷格明確提出真值蘊(yùn)涵的思想，并指出它與日常語(yǔ)言的區(qū)別.他采用否定和蘊(yùn)涵作為基本的邏輯聯(lián)結(jié)詞，用“”表示“非”.符號(hào)“△”表示“△蘊(yùn)含”.他列舉了和△的四種可能的真值組合：（1）??? 肯定，△肯定;（2）??? 肯定，△否定;（3）??? 否定，△肯定;（4）??? 否定，△否定.弗雷格說(shuō)，當(dāng)為真時(shí)，△蘊(yùn)含常可被斷定，在此情形下，△可以是任一命題，其具體內(nèi)容完全無(wú)所謂.??? 和△不必有因果關(guān)系，與日常語(yǔ)言中的“如果……則”……不同.

3.弗雷格引進(jìn)了一個(gè)內(nèi)容同一的符號(hào).設(shè)和△為任意名稱，即不一定是命題記號(hào)，他規(guī)定，“”的意思是“名稱和名稱△有相同的概念內(nèi)容，使得總是能由△替換，反之亦然”.他還指出，由他的新符號(hào)所聯(lián)結(jié)的名稱不僅代表它們的內(nèi)容而且代表名稱自身.后來(lái)，他改用符號(hào)“=”，“=”不被看成兩個(gè)名字之間的關(guān)系，而是看成名字的指稱之間的關(guān)系.“=”用于專門的指稱，相當(dāng)于等詞;用于命題的指稱（真值），則相當(dāng)于現(xiàn)在的等值符號(hào).

4.弗雷格把數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念引入邏輯演算，從而建立了量詞的理論.他采用變目和函項(xiàng)兩個(gè)術(shù)語(yǔ)，表示變目，記號(hào)表達(dá)變目的一個(gè)不確定的函項(xiàng).記號(hào)表達(dá)按順序所取的兩個(gè)變目和△的一個(gè)函項(xiàng).假定如下一種函項(xiàng)：當(dāng)它由變目填滿時(shí)，它表達(dá)可能的判斷內(nèi)容.于是，“”讀作“有性質(zhì)Φ”，“”讀作“與△有關(guān)系Ψ”.弗雷格使用這種符號(hào)的主要優(yōu)點(diǎn)是，它比普通語(yǔ)言所表達(dá)的更令人滿意.在此基礎(chǔ)上，弗雷格引進(jìn)了全稱量詞和存在量詞.

5.弗雷格建立了8條公理，用現(xiàn)代的符號(hào)表示為：

（1）??? ;

（2）??? ;

（3）??? ;

（4）??? ;

（5）??? ;

（6）??? ;

（7）??? ;

（8）??? .

弗雷格在上述公理的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了大量的推演，成功地構(gòu)造了一種基本自足的邏輯演算，從而給出了歷史上第一個(gè)嚴(yán)格的關(guān)于邏輯規(guī)律的公理系統(tǒng)——現(xiàn)代的邏輯系統(tǒng).它實(shí)質(zhì)上包含了作為現(xiàn)代數(shù)理邏輯基礎(chǔ)的兩個(gè)演算系統(tǒng)——命題演算系統(tǒng)和一階謂詞演算系統(tǒng).

不幸的是，弗雷格這本劃時(shí)代的小冊(cè)子被數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家們忽視了.他在《概念語(yǔ)言》中建立的新邏輯沒(méi)有馬上被人理解.其中使用復(fù)雜而陌生的符號(hào)來(lái)表達(dá)新奇的概念，確使讀者望而生畏.德國(guó)數(shù)學(xué)家E.施羅德（E.Schrder）發(fā)表了長(zhǎng)篇文章，對(duì)該書進(jìn)行全面批評(píng).事實(shí)上，直到B.A.W.羅素（Russell）1901年開(kāi)始發(fā)現(xiàn)弗雷格著作的價(jià)值之前，《概念語(yǔ)言》幾乎沒(méi)有讀者.

《概念語(yǔ)言》出版之后，弗雷格開(kāi)始形成邏輯主義的觀點(diǎn).在最初幾年，他由于自己的著作沒(méi)有受到重視而大受挫折，沒(méi)有發(fā)表任何作品.但他仍然在重新思考和深刻挖掘自己的哲學(xué)和數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，并逐漸形成了他的數(shù)學(xué)哲學(xué)的三個(gè)主要原則：

第一，他反對(duì)在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題上的經(jīng)驗(yàn)主義，否認(rèn)數(shù)學(xué)來(lái)源的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)真理的先天性;

第二，他認(rèn)為數(shù)學(xué)真理是客觀的，這種客觀性基于數(shù)學(xué)的非經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ).在他看來(lái)，客觀性是思想的必要條件;

第三，他主張一切數(shù)學(xué)最終都可化歸為邏輯，數(shù)學(xué)概念可以定義為邏輯普遍要求的概念，數(shù)學(xué)公理可以從邏輯原則中得到證明.

這第三條原則后來(lái)被羅素作為邏輯主義的基本主張而廣為傳播，弗雷格因此成為邏輯主義的創(chuàng)始人之一.

二、將自然數(shù)的理論“邏輯化”

弗雷格發(fā)展了《概念語(yǔ)言》中關(guān)于數(shù)學(xué)序列的理論.在那里他用“遺傳性”定義了“y屬于從x開(kāi)始的f-序列”和“y是x的f-后裔”，為自然數(shù)的定義和說(shuō)明數(shù)學(xué)歸納法作了理論和技術(shù)上的準(zhǔn)備.弗雷格給出的自然數(shù)定義的核心在于使用了，一一對(duì)應(yīng)”的概念：屬于兩個(gè)概念F和G的對(duì)象借助于關(guān)系Φ一一對(duì)應(yīng)，如果：（1）每一個(gè)屬于概念F的對(duì)象對(duì)于屬于概念G的一個(gè)對(duì)象，有關(guān)系Φ;（2）對(duì)于屬于概念G的每一個(gè)對(duì)象，存在一個(gè)屬于概念F并與前者有關(guān)系中的對(duì)象;（3）對(duì)所有x，y和z而言，如果x對(duì)y和z有關(guān)系中，那么y和z就是同樣的;（4）對(duì)所有x，y和z而言，如果x和y對(duì)z有關(guān)系Φ，那么x和7就是同樣的.

弗雷格在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了以下三個(gè)定義：

（1）“概念F與概念G是等數(shù)的”與“存在一個(gè)關(guān)系Φ，使得屬于概念F的對(duì)象與屬于概念G的對(duì)象一一對(duì)應(yīng)”其意義是相同的.

（2）屬于概念F的數(shù)是“與概念F等數(shù)”這一概念的外延.

（3）“n是一個(gè)數(shù)”與“存在一個(gè)概念使得n是屬于它的數(shù)”其意義是相同的.

接著他又定義了“n在自然數(shù)序列中是m的直接后繼”：“存在一個(gè)概念F和一個(gè)歸于它的對(duì)象x，使得屬于概念F的數(shù)是n，屬于概念‘歸于F但不同于x’的數(shù)是m”.這實(shí)質(zhì)上是后繼函數(shù)的定義.

在這些工作的基礎(chǔ)上，弗雷格取0作為數(shù)列的起點(diǎn)，提出了如下定義：

0是屬于概念“不同于自身”的數(shù);

1是屬于概念“同于0”的數(shù);

2是屬于概念“同于0或同于1”的數(shù);

3是屬于概念“同于0或同于1或同于2”的數(shù);

……

可見(jiàn)，1在自然數(shù)序列中是0的直接后繼，2在自然數(shù)序列中是1的直接后繼，等等.

事實(shí)上，弗雷格所用到的“一一對(duì)應(yīng)”概念與康托爾所謂的集合的“等價(jià)”意義是一樣的，弗雷格指出，他的數(shù)與康托爾理論中集合的“勢(shì)”或“基數(shù)”是相同的.兩個(gè)概念同數(shù)，就是兩個(gè)集合等價(jià).概念“與概念F等數(shù)”的外延，就是與集合F等價(jià)的一切集合構(gòu)成的集合.所以弗雷格實(shí)際上是把數(shù)定義為集合的集合，或類的類.利用康托爾的語(yǔ)言概括弗雷格關(guān)于數(shù)的定義：

（1）一個(gè)集合的基數(shù)是所有等價(jià)于它的集合的集合.

（2）0=df·{^}（空集合的單元集）

1=df·{0}，

2=df·{0，1}，

3=df·{0，1，2}.

弗雷格的后續(xù)函數(shù)的定義實(shí)際上是說(shuō)：后續(xù)函數(shù)把等價(jià)集合的集合m映射到一個(gè)新的集合的集合Φ（m）（即n），Φ（m）中的每一個(gè)集合是由在m中的某一個(gè)集合加上一個(gè)新分子而得到.

由此可見(jiàn)，自然序列中的每一個(gè)數(shù)，有一個(gè)直接后繼的數(shù).這樣，自然數(shù)就由0和后繼函數(shù)而確定下來(lái).

康托爾在1884年也給出數(shù)的定義，但弗雷格的定義比康托爾的更為精確.

弗雷格從邏輯角度出發(fā)定義了數(shù)和自然數(shù)，他對(duì)自然數(shù)的歸納定義也是對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的最好說(shuō)明.他認(rèn)為，借助于上述定義，自然數(shù)的概念就被化歸成了邏輯的概念;自然數(shù)的理論則可以借助于上述定義和邏輯得到建立，這樣，算術(shù)理論就被“邏輯化”了.

三、進(jìn)一步完善邏輯演算系統(tǒng)

《基本規(guī)律》是弗雷格的另一部著作.弗雷格認(rèn)為，邏輯的原則是完全可靠的，一旦完成了上述工作，數(shù)學(xué)“就被固定在一個(gè)永恒的基礎(chǔ)上了.”

1893年，他出版了《基本規(guī)律》第一卷，它是《算術(shù)的基礎(chǔ)》的理論的嚴(yán)謹(jǐn)發(fā)展，書中改進(jìn)了《概念語(yǔ)言》符號(hào)系統(tǒng)，提出了不同的公理，闡述了高階謂詞演算.從《概念語(yǔ)言》到《基本規(guī)律》，弗雷格的邏輯發(fā)生了三個(gè)主要變化：（1）他在自己的系統(tǒng)中加上了函項(xiàng)的值域這一概念;（2）區(qū)分了意義的兩個(gè)方面，即“所指”和“意義”;（3）更為嚴(yán)格地規(guī)定了與對(duì)象相對(duì)的函項(xiàng)的性質(zhì)，明確提出了“第一層函項(xiàng)”和“第二層函項(xiàng)”的區(qū)別.第一層函項(xiàng)就是以前所定義的函項(xiàng)，其變目是對(duì)象，第二層函項(xiàng)就是函項(xiàng)的函項(xiàng)，其變目是函項(xiàng)，例如在Mβ（F（β））中，Mβ就是第二層函項(xiàng)，其變目是F.弗雷格還把概念分為第一層概念和第二層概念.這些邏輯上的變化在《基本規(guī)律》第一卷之前的5篇文章中就已經(jīng)提出并作了解釋.

弗雷格在《基本規(guī)律》第一卷中建立了另一個(gè)邏輯系統(tǒng)——二階謂詞演算，并提出了新的公理.他用‘xF（x）代表F（x）的值域，例如，若F（x）表達(dá)“x是人”，則它的值域‘xF（x）就表達(dá)“人類”.他還引進(jìn)代表定冠詞的函項(xiàng)符號(hào)＼x.如＼xF（x），讀為“那個(gè)具有性質(zhì)F的x”.

在這個(gè)新系統(tǒng)中，除分離規(guī)則和代入規(guī)則之外，弗雷格還把原來(lái)系統(tǒng)的一些公理和定理作為新的推理規(guī)則.在這一系統(tǒng)中處理了命題演算、謂詞演算、類理論和關(guān)系理論，更重要的是進(jìn)行了推導(dǎo)算術(shù)的工作.

《基本規(guī)律》第一卷出版后，再次受到冷遇.然而，弗雷格并沒(méi)有放棄自己的目標(biāo)，他繼續(xù)撰寫《基本規(guī)律》第二卷，其中主要論述實(shí)數(shù)的理論，并用較多的篇幅批評(píng)當(dāng)時(shí)流行的觀點(diǎn).但是，弗雷格并沒(méi)有完成他的計(jì)劃.因?yàn)橐斫鈹?shù)學(xué)科學(xué)的性質(zhì)，除了算術(shù)以外，還必須考慮無(wú)窮集合的理論——集合論.弗雷格沒(méi)有深入研究集合論，沒(méi)有接觸到關(guān)于無(wú)窮集合的各種問(wèn)題，特別是悖論問(wèn)題.

弗雷格在極度消沉中度過(guò)了長(zhǎng)達(dá)十幾年的時(shí)間.最初，他相信能有補(bǔ)救的辦法使他的系統(tǒng)避免矛盾.他首先提出一種設(shè)想：可能有一些概念沒(méi)有相應(yīng)的類.然后他用修改第V公理的辦法來(lái)阻止羅素悖論的衍生.但是，后來(lái)邏輯學(xué)家的工作證明，他所做的努力并不足以使他的系統(tǒng)避免不一致.他還打算論述集合論的邏輯悖論（1906）.經(jīng)過(guò)幾年的努力之后，弗雷格似乎不那么相信能夠找到解決矛盾的辦法.雖然他沒(méi)有公開(kāi)放棄自己的主張，但也不再做進(jìn)一步的努力.直到1918年，弗雷格才徹底放棄把算術(shù)化歸為邏輯的一切希望，放棄了《基本規(guī)律》第三卷的寫作計(jì)劃.

從此以后，他的研究興趣仍在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，并很自然地轉(zhuǎn)向幾何學(xué)，提出了幾何學(xué)是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的主張.弗雷格在1903年以后就很少再發(fā)表論著了.

雖然弗雷格的邏輯主義綱領(lǐng)沒(méi)有實(shí)現(xiàn)，但是他的獨(dú)創(chuàng)性工作對(duì)數(shù)學(xué)和哲學(xué)的發(fā)展都產(chǎn)生了重要影響.他的成就在有生之年沒(méi)有得到廣泛的承認(rèn)，在通過(guò)少數(shù)幾位有洞察力的人的努力下，他的思想才逐漸得到理解，并最終得到了發(fā)展.