考慮預(yù)防策略的帶干擾的比例再保險(xiǎn)復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型

陳 哲，王傳玉，周 瑾

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

對(duì)保險(xiǎn)公司而言，尋求可以降低風(fēng)險(xiǎn)的策略是非常重要的。保險(xiǎn)公司有許多管理和優(yōu)化其風(fēng)險(xiǎn)的策略，包括再保險(xiǎn)、投資和股息等。1972年，Becher等提出將風(fēng)險(xiǎn)策略分成兩種類(lèi)型：自我保護(hù)和自我保險(xiǎn)。其中自我保險(xiǎn)就相當(dāng)于再保險(xiǎn)，自我保護(hù)則是通過(guò)預(yù)防計(jì)劃減少索賠頻率，也就是預(yù)防策略。Gauchon R研究了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)預(yù)防策略，保險(xiǎn)人可以投資于一個(gè)預(yù)防策略以降低索賠次數(shù)，并給出了使破產(chǎn)概率最小的最優(yōu)預(yù)防量的具體表達(dá)式，證明了最優(yōu)預(yù)防量可以讓調(diào)節(jié)系數(shù)和期望紅利最大化。

在保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營(yíng)中會(huì)出現(xiàn)一些使保險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值出現(xiàn)波動(dòng)的隨機(jī)因素，如通貨膨脹或投資等。針對(duì)這種情況，Gerber H U首次提出了帶干擾的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，用干擾項(xiàng)表示保險(xiǎn)公司在日常經(jīng)營(yíng)中的不確定支出和收入，給出了調(diào)節(jié)系數(shù)方程并解釋了調(diào)整系數(shù)的作用，推導(dǎo)了有限時(shí)間破產(chǎn)概率滿足的更新方程。Junhai Li研究了帶干擾的二維風(fēng)險(xiǎn)模型。在索賠分布為重尾的情況下，運(yùn)用鞅方法得到了無(wú)限時(shí)間破產(chǎn)概率的上界。在索賠分布為輕尾的情況下，得到了有限時(shí)間破產(chǎn)概率的漸近表達(dá)式。

再保險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司分散風(fēng)險(xiǎn)的比較有效的策略。再保險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司為了減少自身承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)，用部分保費(fèi)進(jìn)行再次投保的保險(xiǎn)行為。再保險(xiǎn)可以降低保險(xiǎn)公司所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)，為經(jīng)營(yíng)活動(dòng)的安全性提供保障。有學(xué)者對(duì)再保險(xiǎn)進(jìn)行了推廣，Yanhong Chen通過(guò)最小化保險(xiǎn)人損失和再保險(xiǎn)人損失方差的凸組合，重新討論了最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題。分析了一類(lèi)滿足分布不變性、風(fēng)險(xiǎn)負(fù)荷特性的再保險(xiǎn)保費(fèi)原則的最優(yōu)解，推導(dǎo)了最優(yōu)再保險(xiǎn)契約的顯式表達(dá)式。Malik M研究了具有分?jǐn)?shù)次冪效用函數(shù)的保險(xiǎn)公司最優(yōu)再保險(xiǎn)與投資問(wèn)題。利用Hamilton-Jacobi-Bellman方程，確定了最優(yōu)再保險(xiǎn)投資策略和價(jià)值函數(shù)的顯式表達(dá)式。

經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型一般假設(shè)索賠計(jì)數(shù)過(guò)程服從Poisson過(guò)程。方差期望一致是Poisson過(guò)程的重要特征，但這一條件在現(xiàn)實(shí)中的保險(xiǎn)運(yùn)作里往往很難滿足。另一方面，在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中索賠事件一般等同于風(fēng)險(xiǎn)事件，即發(fā)生風(fēng)險(xiǎn)事件就一定會(huì)賠付。但出于成本或其他因素考慮，保險(xiǎn)公司可能會(huì)推行無(wú)賠款折扣優(yōu)待(NCD)制度和免賠額制度等賠付政策，這些政策使得投保人會(huì)在權(quán)衡利弊后再?zèng)Q定是否申請(qǐng)理賠，這會(huì)使實(shí)際理賠數(shù)往往小于事故發(fā)生數(shù)。毛澤春首次提出了復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程來(lái)描述這種情況，并用偏離參數(shù)ρ來(lái)表示事故發(fā)生數(shù)和實(shí)際理賠次數(shù)的偏離幅度，給出了復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)間破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式。閆德志研究了帶有再保險(xiǎn)的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型。利用鞅方法給出了該模型的盈余首達(dá)給定水平時(shí)間的期望和方差及有限時(shí)間破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式。劉文震考慮了一類(lèi)索賠計(jì)數(shù)過(guò)程服從廣義Erlang(n)過(guò)程和復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的相關(guān)雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，利用Laplace變換得到了該模型折罰金函數(shù)的精確表達(dá)式。楊鵬研究了復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型下的再保險(xiǎn)-投資策略問(wèn)題，給出了時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略和值函數(shù)的最優(yōu)解。并通過(guò)數(shù)值模擬，解釋了模型參數(shù)對(duì)再保險(xiǎn)-投資策略的影響。

相比于經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型考慮到實(shí)際理賠次數(shù)與事故發(fā)生數(shù)不對(duì)等的情形，文獻(xiàn)[8]用某保險(xiǎn)公司汽車(chē)保險(xiǎn)索賠次數(shù)的實(shí)際數(shù)據(jù)證明了現(xiàn)實(shí)情況中的偏離參數(shù)很難為0，因此在復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型下研究預(yù)防策略更加符合現(xiàn)實(shí)情況。研究在Romain Gauchon的結(jié)果上進(jìn)行推廣，將預(yù)防策略引入到帶干擾的再保險(xiǎn)復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型中，運(yùn)用鞅方法，得到了該模型的破產(chǎn)概率的一般表達(dá)式。在索賠服從指數(shù)分布的情形下，給出了生存概率和使風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小的最優(yōu)預(yù)防量的精確表達(dá)式。最后，通過(guò)數(shù)值模擬研究相關(guān)參數(shù)對(duì)生存概率的影響，并給出相關(guān)解釋。

1 模型建立

建立一個(gè)考慮預(yù)防策略的帶干擾的比例再保險(xiǎn)復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型。保險(xiǎn)公司在時(shí)刻

t

的盈余過(guò)程記為

(1)

式中，

u

為初始盈余;

α

為保險(xiǎn)公司的分保比例,

c

=

αc

為支付的分保保費(fèi)，

h

(

X

)=

αX

為分出的索賠；該公司以每單位時(shí)間的費(fèi)率

c

收取保險(xiǎn)費(fèi)，并在每單位時(shí)間內(nèi)投入固定數(shù)額的

p

用于預(yù)防；{

X

,

i

=1,2,…}表示第

i

次的索賠額，是非負(fù)的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，

F

(

X

)為分布函數(shù)，

E

(

X

)=

μ

為索賠期望；

N

(

t

)為服從參數(shù)

λ

(

p

)、

ρ

的Poisson-Geometric過(guò)程的索賠計(jì)數(shù)過(guò)程，其中

ρ

為偏離參數(shù);

B

(

t

)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗過(guò)程，表示保險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值的隨機(jī)波動(dòng);

β

是一個(gè)正值常數(shù)，表示擴(kuò)散強(qiáng)度。

(2)

假設(shè)

λ

(

p

)是定義在[0，

c

]上的一個(gè)遞減的嚴(yán)格凸的二階連續(xù)函數(shù)。關(guān)于

λ

(

p

)有3個(gè)假設(shè)：①如果

λ

(

p

)可以等于零，它將允許一些套利機(jī)會(huì)。②減少

λ

(

p

)意味著預(yù)防可以降低索賠計(jì)數(shù)過(guò)程的強(qiáng)度。③假設(shè)

λ

(

p

)嚴(yán)格凸意味著預(yù)防費(fèi)用越高，索賠頻率的額外減少就越小。

接下來(lái)要求解索賠服從指數(shù)分布的情況下該模型的調(diào)節(jié)系數(shù)和生存概率的精確表達(dá)式，進(jìn)而推出模型的最優(yōu)預(yù)防量。

2 定理推導(dǎo)

引理

113設(shè){

Y

(

t

),

t

≥0}是零初值的齊次獨(dú)立增量過(guò)程。記

X

(

t

)=

X

(0)

e

()，

X

(0)為一常數(shù)，若

E

[

e

(1)]=1，則{

X

(

t

),

t

≥0}為一鞅。

引理

2

對(duì)于盈利過(guò)程{

S

(

t

),

t

≥0}，存在函數(shù)

g

[

r

(

p

)]使得

E

[

e

-()()]=

e

[()]。

證明

(3)

所以

(4)

λ

(

p

)(1-

α

)=0。

(5)

該方程有3個(gè)解:0<

r

(

p

)<

r

(

p

)，

r

=0為其平凡解，其中,

r

(

p

)=

(6)

r

(

p

)=

(7)

r

(

p

)=

(8)

定理

1

令

X

(

t

)=

e

-()()=

X

(0)

e

-()()，其中

X

(0)=

e

-()，則{

X

(

t

);

t

≥0}為一鞅。

證明

令

Y

(

t

)=-

r

(

p

)

S

(

t

)，

t

≥0,則{

Y

(

t

);

t

≥0}是零初值的齊次獨(dú)立增量過(guò)程，且

E

(

e

(1))=

E

(

e

-()(1))=

e

[()]=1，根據(jù)引理1得{

X

(

t

);

t

≥0}為一鞅。

定理

2 盈余過(guò)程{

U

(

t

);

t

≥0}的破產(chǎn)概率滿足：

(9)

證明

T

是破產(chǎn)時(shí)刻，對(duì)任意常數(shù)

t

，

T

∧

t

為有界停時(shí)，根據(jù)有界停時(shí)定理得

e

-()=

E

[

X

(

T

∧

t

)]=

E

[

X

(0)]=

E

[

X

(

T

∧

t

)|

T

≤

t

]

P

{

T

≤

t

}+

E

[

X

(

T

∧

t

)|

T

>

t

]

P

{

T

>

t

}=

E

[

e

-()()|

T

≤

t

]

P

{

T

≤

t

}+

E

[

e

-()()|

T

>

t

]

P

{

T

>

t

}。

(10)

令

(11)

因此有

E

[

e

-()()|

T

>

t

]

P

{

T

>

t

}=

E

[

e

-()()

I

{0≤()≤()}|

T

>

t

]

P

(

T

>

t

)+

E

[

e

-()()

I

{()>()}|

T

>

t

]

P

(

T

>

t

)。

(12)

當(dāng)

T

>

t

時(shí)，

U

(

t

)≥0，所以

X

(

t

)=

e

-()()≤1。因此對(duì)于式(12)右邊第一項(xiàng)，由切比雪夫不等式可得

E

[

e

-()()

I

{0≤()≤()}|

T

>

t

]

P

(

T

>

t

)≤

E

[

I

{0≤()≤()}|

T

>

t

]

P

(

T

>

t

)≤

(13)

對(duì)于式(12)右邊第二項(xiàng)有

E

[

e

-()()

I

{()>()}|

T

>

t

]

P

(

T

>

t

)≤

e

-()()。

(14)

因此,當(dāng)

t

→+∞時(shí)，式(12)趨于零，有

e

-()=

E

[

e

-()()|

T

<+∞]

P

{

T

<+∞}。

(15)

由此可知

(16)

推論

當(dāng)索賠

X

服從參數(shù)為

θ

的指數(shù)分布時(shí)，破產(chǎn)概率為

(17)

接下來(lái)建立一個(gè)考慮預(yù)防策略的帶干擾的比例再保險(xiǎn)復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型。

3 最優(yōu)預(yù)防量

當(dāng)

β

θ

(1-

ρ

)+2

β

(1-

α

)

λ

(

p

)≤2(

c

-

c

-

p

)(1-

α

)時(shí)，滿足

R

(0,0)>0，即

(18)

(19)

由式(8)和式(17)可得，

u

=0時(shí)的生存概率為

(20)

x

=

β

θ

(1-

α

)(1-

ρ

)-2(

c

-

c

-

p

)(1-

α

)+2

β

(1-

α

)

λ

(

p

),

(21)

x

=2(1-

α

)[1+

β

λ

(

p

)]。

(22)

有

(23)

(24)

因?yàn)?p>λ

(

p

)是遞減嚴(yán)格凸函數(shù)，因此，當(dāng)

x

≤0時(shí)，即

β

θ

(1-

ρ

)+2

β

(1-

α

)

λ

(

p

)≤2(

c

-

c

-

p

)(1-

α

)時(shí)，

R

(0,

p

)≤0可以推出(

x

)≤4(1-

α

)

x

，將該不等式帶入

R

(0,

p

)可得

R

(0,

p

)<0，即當(dāng)

x

≤0時(shí)，對(duì)于所有

p

∈

R

，

R

(0,

p

)≤0意味著

R

(0,

p

)<0。接下來(lái)證明如果

R

(0,0)≤0，那么對(duì)于所有的

p

>0，一定有

R

(0,

p

)<0和

R

(0,

p

)<0。其中,

R

(0,0)=0時(shí)，對(duì)于

p

>0，當(dāng)

p

→0時(shí)，一定有

R

(0,

p

)<0。因此可以將條件限制在

R

(0,0)<0以下。定義一個(gè)區(qū)間

I

?

R

，使得①0∈

I

;②對(duì)于所有的

p

∈

I

,有

R

(0,

p

)≤0;③如果

J

∈[

a

,

b

]?

R

使得對(duì)于所有的

p

∈

J

，有0∈

J

和

R

(0,

p

)≤0，那么

J

?

I

。如果

I

=

R

，此時(shí)可以證明期望的結(jié)果。否則意味著存在一個(gè)

d

>0，使得

I

=[0，

d

]，因?yàn)?p>R

(0,

p

)連續(xù)，根據(jù)中值定理，有

R

(0,

d

)=0。根據(jù)區(qū)間

I

定義，區(qū)間

I

上

R

(0,

p

)為負(fù)，因此

R

(0,

p

)遞減，由于

R

(0,0)<0，所以有

R

(0,

d

)<0和

R

(0,

d

)<0，這與

I

=[0，

d

]時(shí)的結(jié)果

R

(0,

d

)=0相矛盾，所以必然有

I

=

R

。因此當(dāng)

x

<0時(shí)，若

R

(0,0)≤0成立，那么

R

(0,

p

)是一個(gè)遞減函數(shù)，則預(yù)防不能起到增加生存概率的作用，意味著該情況下不應(yīng)該在預(yù)防上花錢(qián)。故有

R

(0,0)>0成立，相當(dāng)于條件

(25)

成立，則

R

(0,

p

)在0點(diǎn)的右邊遞增，這意味著預(yù)防降低風(fēng)險(xiǎn)。

(26)

(27)

(28)

(29)

這意味著破產(chǎn)概率

ψ

(

u

,

p

)=

P

(

U

(

t

,

p

)<0)=

P

(

U

(

t

,

p

)<0),

(30)

(31)

由

(32)

4 數(shù)值模擬

圖1 當(dāng)u為0，10，15時(shí)的最優(yōu)預(yù)防量

研究考慮了再保險(xiǎn)，索賠計(jì)數(shù)過(guò)程為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，索賠服從指數(shù)分布等因素，下面將分析相關(guān)參數(shù)對(duì)生存概率的影響。首先用圖示的方式說(shuō)明

u

的取值不會(huì)影響最優(yōu)預(yù)防量，如圖1所示。假設(shè)

c

=10，偏離參數(shù)為0

.

1，分保比例為0

.

1，干擾擴(kuò)散系數(shù)為10，

λ

(

p

)=3

e

-，并且考慮索賠額呈參數(shù)為0

.

5的指數(shù)分布。從圖1可以看出，無(wú)論初始盈余

u

取多少值，最優(yōu)預(yù)防量總是相同的，并且生存概率隨著預(yù)防量的增大先增大后減小。當(dāng)不使用預(yù)防策略即預(yù)防量為0時(shí)，可以看到生存概率小于使用預(yù)防策略時(shí)的生存概率，因此預(yù)防策略在降低保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)上是有效果的。然后，再固定預(yù)防量的取值，研究索賠參數(shù)，偏離參數(shù)，分保比例等指標(biāo)對(duì)該模型下的生存概率的影響。設(shè)索賠計(jì)數(shù)過(guò)程

N

(

t

)的偏離參數(shù)為

ρ

=0

.

1，保費(fèi)

c

=10，干擾擴(kuò)散系數(shù)

β

=10，預(yù)防量

p

=2，分保比例取值為

α

=0

.

1，索賠額

X

服從參數(shù)為

θ

的指數(shù)分布。分析生存概率隨索賠參數(shù)

θ

的變化趨勢(shì)，通過(guò)MATLAB求解

θ

不同取值下的調(diào)節(jié)系數(shù)

r

(

p

)和生存概率如表1所示。由表1可以看出，隨著

θ

的增大，意味著索賠額的均值在減小，總索賠額會(huì)隨之遞減，因此生存概率會(huì)增大。所以，確定索賠參數(shù)

θ

的取值，對(duì)于保險(xiǎn)公司保證生存概率有很重要的意義，這對(duì)保險(xiǎn)公司的核保工作提出了更高的要求。

表1 索賠參數(shù)與生存概率關(guān)系

設(shè)索賠參數(shù)為

θ

=0

.

5，保費(fèi)

c

=10，干擾擴(kuò)散系數(shù)

β

=10，預(yù)防量

p

=2，分保比例取值為

α

=0

.

1，研究不同的偏離參數(shù)對(duì)調(diào)節(jié)系數(shù)和生存概率的影響。偏離參數(shù)與生存概率關(guān)系如表2所示。從表2中可看出，當(dāng)

ρ

增大時(shí)，調(diào)節(jié)系數(shù)會(huì)相應(yīng)減小，從而生存概率減小。這一結(jié)論對(duì)保險(xiǎn)公司精算工作提出了要求：比如在制定賠付策略時(shí)，應(yīng)該慎重評(píng)估賠付策略所帶來(lái)的影響。并且應(yīng)該采取相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)管理對(duì)策來(lái)應(yīng)對(duì)偏離參數(shù)較大的情況，如提高初始準(zhǔn)備金等。

表2 偏離參數(shù)與生存概率關(guān)系

設(shè)索賠參數(shù)為

θ

=0

.

5，保費(fèi)

c

=10，干擾擴(kuò)散系數(shù)

β

=0，預(yù)防量

p

=0

.

1，偏離參數(shù)為

ρ

=0

.

4，取不同的分保比例

α

，當(dāng)采取預(yù)防策略時(shí)，會(huì)從保費(fèi)分出一部分作為預(yù)防量，因此分保比例無(wú)法取到1，運(yùn)用MATLAB求解相應(yīng)的調(diào)節(jié)系數(shù)和生存概率如表3所示。從表3中可以看出，隨著分保比例

α

的增大，對(duì)于保險(xiǎn)公司相當(dāng)于自留的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)相應(yīng)減少，調(diào)節(jié)系數(shù)隨之變大，進(jìn)而生存概率變大。

表3 分保比例與生存概率關(guān)系

5 結(jié)論

研究了一類(lèi)帶預(yù)防策略的再保險(xiǎn)復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型，給出了在索賠服從指數(shù)分布時(shí)該模型的生存概率和最優(yōu)預(yù)防量的精確表達(dá)式，并通過(guò)數(shù)值模擬研究再保險(xiǎn)策略、索賠參數(shù)和偏離參數(shù)對(duì)生存概率的影響，并給出相關(guān)解釋。研究的意義在于考慮了保險(xiǎn)公司因采取一些賠付政策而導(dǎo)致的理賠次數(shù)與事故發(fā)生數(shù)不一致的情況下，采用預(yù)防策略、再保險(xiǎn)策略對(duì)生存概率的影響，這對(duì)保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)管理可以提供一定的理論指導(dǎo)。更進(jìn)一步的，還可以研究索賠計(jì)數(shù)過(guò)程服從Poisson-Geometric過(guò)程和Poisson過(guò)程的相關(guān)雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)預(yù)防策略，使其更符合現(xiàn)實(shí)情況。