考慮預防策略的帶干擾的比例再保險復合Poisson-Geometric風險模型
2021-11-11 15:06:57王傳玉
安徽工程大學學報 2021年6期
陳 哲，王傳玉，周 瑾
(安徽工程大學 數理與金融學院，安徽 蕪湖 241000)
對保險公司而言，尋求可以降低風險的策略是非常重要的。保險公司有許多管理和優化其風險的策略，包括再保險、投資和股息等。1972年，Becher等提出將風險策略分成兩種類型：自我保護和自我保險。其中自我保險就相當于再保險，自我保護則是通過預防計劃減少索賠頻率，也就是預防策略。Gauchon R研究了經典風險模型的最優預防策略，保險人可以投資于一個預防策略以降低索賠次數，并給出了使破產概率最小的最優預防量的具體表達式，證明了最優預防量可以讓調節系數和期望紅利最大化。
在保險公司的實際經營中會出現一些使保險資產價值出現波動的隨機因素，如通貨膨脹或投資等。針對這種情況，Gerber H U首次提出了帶干擾的經典風險模型，用干擾項表示保險公司在日常經營中的不確定支出和收入，給出了調節系數方程并解釋了調整系數的作用，推導了有限時間破產概率滿足的更新方程。Junhai Li研究了帶干擾的二維風險模型。在索賠分布為重尾的情況下，運用鞅方法得到了無限時間破產概率的上界。在索賠分布為輕尾的情況下，得到了有限時間破產概率的漸近表達式。
再保險是保險公司分散風險的比較有效的策略。再保險是保險公司為了減少自身承擔的風險，用部分保費進行再次投保的保險行為。再保險可以降低保險公司所承擔的風險，為經營活動的安全性提供保障。有學者對再保險進行了推廣，Yanhong Chen通過最小化保險人損失和再保險人損失方差的凸組合，重新討論了最優再保險問題。分析了一類滿足分布不變性、風險負荷特性的再保險保費原則的最優解，推導了最優再保險契約的顯式表達式。Malik M研究了具有分數次冪效用函數的保險公司最優再保險與投資問題。利用Hamilton-Jacobi-Bellman方程，確定了最優再保險投資策略和價值函數的顯式表達式。
經典風險模型一般假設索賠計數過程服從Poisson過程。方差期望一致是Poisson過程的重要特征，但這一條件在現實中的保險運作里往往很難滿足。另一方面，在經典風險模型中索賠事件一般等同于風險事件，即發生風險事件就一定會賠付。但出于成本或其他因素考慮，保險公司可能會推行無賠款折扣優待(NCD)制度和免賠額制度等賠付政策，這些政策使得投保人會在權衡利弊后再決定是否申請理賠，這會使實際理賠數往往小于事故發生數。毛澤春首次提出了復合Poisson-Geometric過程來描述這種情況，并用偏離參數ρ來表示事故發生數和實際理賠次數的偏離幅度，給出了復合Poisson-Geometric風險模型的有限時間破產概率的精確表達式。閆德志研究了帶有再保險的復合Poisson-Geometric風險模型。利用鞅方法給出了該模型的盈余首達給定水平時間的期望和方差及有限時間破產概率的精確表達式。劉文震考慮了一類索賠計數過程服從廣義Erlang(n)過程和復合Poisson-Geometric過程的相關雙險種風險模型，利用Laplace變換得到了該模型折罰金函數的精確表達式。楊鵬研究了復合Poisson-Geometric風險模型下的再保險-投資策略問題，給出了時間一致的再保險-投資策略和值函數的最優解。并通過數值模擬，解釋了模型參數對再保險-投資策略的影響。
相比于經典風險模型，復合Poisson-Geometric風險模型考慮到實際理賠次數與事故發生數不對等的情形，文獻[8]用某保險公司汽車保險索賠次數的實際數據證明了現實情況中的偏離參數很難為0，因此在復合Poisson-Geometric風險模型下研究預防策略更加符合現實情況。研究在Romain Gauchon的結果上進行推廣，將預防策略引入到帶干擾的再保險復合Poisson-Geometric風險模型中，運用鞅方法，得到了該模型的破產概率的一般表達式。在索賠服從指數分布的情形下，給出了生存概率和使風險達到最小的最優預防量的精確表達式。最后，通過數值模擬研究相關參數對生存概率的影響，并給出相關解釋。
1 模型建立
建立一個考慮預防策略的帶干擾的比例再保險復合Poisson-Geometric風險模型。保險公司在時刻t
的盈余過程記為
(1)
式中，u
為初始盈余;α
為保險公司的分保比例,c
=αc
為支付的分保保費，h
(X
)=αX
為分出的索賠；該公司以每單位時間的費率c
收取保險費，并在每單位時間內投入固定數額的p
用于預防；{X
,i
=1,2,…}表示第i
次的索賠額，是非負的獨立同分布隨機變量，F
(X
)為分布函數，E
(X
)=μ
為索賠期望；N
(t
)為服從參數λ
(p
)、ρ
的Poisson-Geometric過程的索賠計數過程，其中ρ
為偏離參數;B
(t
)是一個標準的布朗過程，表示保險資產價值的隨機波動;β
是一個正值常數，表示擴散強度。
(2)
假設λ
(p
)是定義在[0，c
]上的一個遞減的嚴格凸的二階連續函數。關于λ
(p
)有3個假設：①如果λ
(p
)可以等于零，它將允許一些套利機會。②減少λ
(p
)意味著預防可以降低索賠計數過程的強度。③假設λ
(p
)嚴格凸意味著預防費用越高，索賠頻率的額外減少就越小。
接下來要求解索賠服從指數分布的情況下該模型的調節系數和生存概率的精確表達式，進而推出模型的最優預防量。
2 定理推導
引理
113設{Y
(t
),t
≥0}是零初值的齊次獨立增量過程。記X
(t
)=X
(0)e
()，X
(0)為一常數，若E
[e
(1)]=1，則{X
(t
),t
≥0}為一鞅。引理
2對于盈利過程{
S
(t
),t
≥0}，存在函數g
[r
(p
)]使得E
[e
-()()]=e
[()]。證明
(3)
所以
(4)
λ
(p
)(1-α
)=0。(5)
該方程有3個解:0<r
(p
)<r
(p
)，r
=0為其平凡解，其中,r
(p
)=
(6)
r
(p
)=
(7)
r
(p
)=
(8)
定理
1令
X
(t
)=e
-()()=X
(0)e
-()()，其中X
(0)=e
-()，則{X
(t
);t
≥0}為一鞅。證明
令Y
(t
)=-r
(p
)S
(t
)，t
≥0,則{Y
(t
);t
≥0}是零初值的齊次獨立增量過程，且E
(e
(1))=E
(e
-()(1))=e
[()]=1，根據引理1得{X
(t
);t
≥0}為一鞅。定理
2 盈余過程{U
(t
);t
≥0}的破產概率滿足：
(9)
證明
T
是破產時刻，對任意常數t
，T
∧t
為有界停時，根據有界停時定理得e
-()=E
[X
(T
∧t
)]=E
[X
(0)]=E
[X
(T
∧t
)|T
≤t
]P
{T
≤t
}+E
[X
(T
∧t
)|T
>t
]P
{T
>t
}=E
[e
-()()|T
≤t
]P
{T
≤t
}+E
[e
-()()|T
>t
]P
{T
>t
}。(10)
令
(11)
因此有
E
[e
-()()|T
>t
]P
{T
>t
}=E
[e
-()()I
{0≤()≤()}|T
>t
]P
(T
>t
)+E
[e
-()()I
{()>()}|T
>t
]P
(T
>t
)。(12)
當T
>t
時，U
(t
)≥0，所以X
(t
)=e
-()()≤1。因此對于式(12)右邊第一項，由切比雪夫不等式可得E
[e
-()()I
{0≤()≤()}|T
>t
]P
(T
>t
)≤E
[I
{0≤()≤()}|T
>t
]P
(T
>t
)≤
(13)
對于式(12)右邊第二項有
E
[e
-()()I
{()>()}|T
>t
]P
(T
>t
)≤e
-()()。(14)
因此,當t
→+∞時，式(12)趨于零，有e
-()=E
[e
-()()|T
<+∞]P
{T
<+∞}。(15)
由此可知
(16)
推論
當索賠X
服從參數為θ
的指數分布時，破產概率為
(17)
接下來建立一個考慮預防策略的帶干擾的比例再保險復合Poisson-Geometric風險模型。
3 最優預防量
β
θ
(1-ρ
)+2β
(1-α
)λ
(p
)≤2(c
-c
-p
)(1-α
)時，滿足R
(0,0)>0，即
(18)
(19)
u
=0時的生存概率為
(20)
x
=β
θ
(1-α
)(1-ρ
)-2(c
-c
-p
)(1-α
)+2β
(1-α
)λ
(p
),(21)
x
=2(1-α
)[1+β
λ
(p
)]。(22)
有
(23)
(24)
因為λ
(p
)是遞減嚴格凸函數，因此，當x
≤0時，即β
θ
(1-ρ
)+2β
(1-α
)λ
(p
)≤2(c
-c
-p
)(1-α
)時，R
(0,p
)≤0可以推出(x
)≤4(1-α
)x
，將該不等式帶入R
(0,p
)可得R
(0,p
)<0，即當x
≤0時，對于所有p
∈R
，R
(0,p
)≤0意味著R
(0,p
)<0。接下來證明如果R
(0,0)≤0，那么對于所有的p
>0，一定有R
(0,p
)<0和R
(0,p
)<0。其中,R
(0,0)=0時，對于p
>0，當p
→0時，一定有R
(0,p
)<0。因此可以將條件限制在R
(0,0)<0以下。定義一個區間I
?R
，使得①0∈I
;②對于所有的p
∈I
,有R
(0,p
)≤0;③如果J
∈[a
,b
]?R
使得對于所有的p
∈J
，有0∈J
和R
(0,p
)≤0，那么J
?I
。如果I
=R
，此時可以證明期望的結果。否則意味著存在一個d
>0，使得I
=[0，d
]，因為R
(0,p
)連續，根據中值定理，有R
(0,d
)=0。根據區間I
定義，區間I
上R
(0,p
)為負，因此R
(0,p
)遞減，由于R
(0,0)<0，所以有R
(0,d
)<0和R
(0,d
)<0，這與I
=[0，d
]時的結果R
(0,d
)=0相矛盾，所以必然有I
=R
。因此當x
<0時，若R
(0,0)≤0成立，那么R
(0,p
)是一個遞減函數，則預防不能起到增加生存概率的作用，意味著該情況下不應該在預防上花錢。故有R
(0,0)>0成立，相當于條件
(25)
成立，則R
(0,p
)在0點的右邊遞增，這意味著預防降低風險。
(26)
(27)
(28)
(29)
這意味著破產概率
ψ
(u
,p
)=P
(U
(t
,p
)<0)=P
(U
(t
,p
)<0),(30)
(31)
由
(32)
4 數值模擬
圖1 當u為0，10，15時的最優預防量
研究考慮了再保險，索賠計數過程為復合Poisson-Geometric過程，索賠服從指數分布等因素，下面將分析相關參數對生存概率的影響。首先用圖示的方式說明u
的取值不會影響最優預防量，如圖1所示。假設c
=10，偏離參數為0.
1，分保比例為0.
1，干擾擴散系數為10，λ
(p
)=3e
-，并且考慮索賠額呈參數為0.
5的指數分布。從圖1可以看出，無論初始盈余u
取多少值，最優預防量總是相同的，并且生存概率隨著預防量的增大先增大后減小。當不使用預防策略即預防量為0時，可以看到生存概率小于使用預防策略時的生存概率，因此預防策略在降低保險公司風險上是有效果的。然后，再固定預防量的取值，研究索賠參數，偏離參數，分保比例等指標對該模型下的生存概率的影響。設索賠計數過程N
(t
)的偏離參數為ρ
=0.
1，保費c
=10，干擾擴散系數β
=10，預防量p
=2，分保比例取值為α
=0.
1，索賠額X
服從參數為θ
的指數分布。分析生存概率隨索賠參數θ
的變化趨勢，通過MATLAB求解θ
不同取值下的調節系數r
(p
)和生存概率如表1所示。由表1可以看出，隨著θ
的增大，意味著索賠額的均值在減小，總索賠額會隨之遞減，因此生存概率會增大。所以，確定索賠參數θ
的取值，對于保險公司保證生存概率有很重要的意義，這對保險公司的核保工作提出了更高的要求。
表1 索賠參數與生存概率關系
設索賠參數為θ
=0.
5，保費c
=10，干擾擴散系數β
=10，預防量p
=2，分保比例取值為α
=0.
1，研究不同的偏離參數對調節系數和生存概率的影響。偏離參數與生存概率關系如表2所示。從表2中可看出，當ρ
增大時，調節系數會相應減小，從而生存概率減小。這一結論對保險公司精算工作提出了要求：比如在制定賠付策略時，應該慎重評估賠付策略所帶來的影響。并且應該采取相應的風險管理對策來應對偏離參數較大的情況，如提高初始準備金等。
表2 偏離參數與生存概率關系
設索賠參數為θ
=0.
5，保費c
=10，干擾擴散系數β
=0，預防量p
=0.
1，偏離參數為ρ
=0.
4，取不同的分保比例α
，當采取預防策略時，會從保費分出一部分作為預防量，因此分保比例無法取到1，運用MATLAB求解相應的調節系數和生存概率如表3所示。從表3中可以看出，隨著分保比例α
的增大，對于保險公司相當于自留的風險會相應減少，調節系數隨之變大，進而生存概率變大。
表3 分保比例與生存概率關系
5 結論
研究了一類帶預防策略的再保險復合Poisson-Geometric風險模型，給出了在索賠服從指數分布時該模型的生存概率和最優預防量的精確表達式，并通過數值模擬研究再保險策略、索賠參數和偏離參數對生存概率的影響，并給出相關解釋。研究的意義在于考慮了保險公司因采取一些賠付政策而導致的理賠次數與事故發生數不一致的情況下，采用預防策略、再保險策略對生存概率的影響，這對保險公司的風險管理可以提供一定的理論指導。更進一步的，還可以研究索賠計數過程服從Poisson-Geometric過程和Poisson過程的相關雙險種風險模型下的最優預防策略，使其更符合現實情況。
