廣義結構不良數學問題促進學生思維發展
——由一道概率題引發的思考

陳海霞

（南平市教育科學研究院，福建 南平 354200）

為了體現高考評價體系里四翼考查要求中的“創新性”，近年來結構不良數學問題順勢而出，結構不良數學問題已經成為廣大基礎教育教學研究工作者熱議的話題。這類試題中有些條件不全，有些結論開放，有些解題路徑不明確，甚至還有些往往會被部分師生誤認為錯題。當前高中階段的師生對這類試題表現出極大的不適應性，這類試題逐漸成為教學的攔路虎。這類試題在近兩年的高考試題中占有一定的份量，具有重要的區別和甄選功能。

教育部考試中心趙軒、任子朝等在《高考評價體系的數學學科化實踐》一文中提到，為有效考查學生的創新能力，今后要在高考試卷中適當增加開放型試題，設問和解答都有較大的開放度是這類試題的最突出的特點，學生可以從多種角度進行思考并作答，有利于培養學生的批判性思維、創新思維等高階思維能力。［1］總而言之，這類試題將以“起點低，入口寬，方法多，落差高”的面貌呈現出來。

一、廣義結構不良數學問題的界定

結合數學學科和高考的特點，數學科的結構不良問題的主要特征有：問題條件或數據部分缺失或冗余；問題目標界定不明確；具有多種解決方法、途徑；具有多種評價解決方法的標準；所涉及的概念、規則和原理等不確定。［2］普通高中階段結構不良數學問題主要分成三類：條件開放型結構不良試題、結論開放型結構不良試題、策略開放型結構不良試題，前兩者屬于狹義結構不良數學問題，后者屬于廣義結構不良數學問題。

例1.在①2ccosB=2a-b，②△ABC 的面積為，③cos2A-cos2B-sinAsinB，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答。（如果選擇多個條件作答，則按所選的第一個條件給分）已知△ABC 的內角A，B，C 所對的邊分別是a，b，c，且____________。

（1）求角C的大小 ；（2）若c=2 且4 sinAsinB=3，求△ABC 的面積。

例2.請寫出與曲線f(x)=x3+1 在點(0,1)處具有相同切線的一個函數（非常數函數）的解析式為g(x)_________。

例1 屬于條件開放型結構不良試題，從有限個已知條件中選取一個或幾個條件補齊題目，實現由結構不良試題轉變為結構良好試題。例2 屬于結論開放型結構不良試題，能很好地考查學生的數學素養，但由于答案不唯一增加了閱卷難度。類似于例1、例2 的結構不良試題屬于狹義結構不良試題。

例3.某企業計劃加大技改力度，需更換一臺設備，現有兩種品牌的設備可供選擇，A 品牌設備需投入60 萬元，B 品牌設備需投入90 萬元，企業對兩種品牌設備的使用年限情況進行了抽樣調查（如表1-2 所示）：

表1

表2

更換設備技改后每年估計可增加效益100 萬元，從年均收益的角度分析：

A.不更換設備 B.更換為A 設備

C.更換為B 設備 D.更換為A 或B 設備均可

廣義結構不良數學問題往往題目呈現的條件完整，問題表征也目標明確，但往往沒有明確的解題路徑，解決方案中要用到的概念、規則、原理不明確，致使師生面對問題時無從下手，有多種解決方案。廣義結構不良試題具有以下四個特點：題意難理解，運算困難，考點不明確，推理困難。因此，策略開放型試題屬于廣義結構不良數學問題。例3 符合廣義結構不良試題的四個特點，屬于策略開放型結構不良試題。

二、對一道概率題的熱議

“學科核心素養實際上就是一種把所學的學科知識和技能遷移到真實生活情境的能力和品格。要養成這種素養，意味著學生的學習應該是在一個又一個基于真實生活情境的主題或項目中通過體驗、探究、發現來建構自己的知識，發展自己的能力，養成自己的品格。”［3］結構不良問題之所以相對結構良好問題有更高的教學價值，根本上在于其與真實情境關聯。把結構不良問題引進高中數學教學，最大的目的是激發學生的學習潛能，挖掘和培養學生的發現問題、解決問題的能力，以及挑戰現實的實踐能力。例3 選自筆者所在地級市某次高三質檢數學試卷，它是一道企業決策更換哪一種設備以追求更大年均收益的真實生活情境問題，該題引發了該地區高三數學教師在微信工作群中的熱議。

（一）觀點1：此題不需要算，結論顯而易見

劉老師：更換A 設備與B 設備增加的收益都是100 萬元，當然是投入最少最劃算。

何老師：投入少但使用年限短，未必劃算，所以要考慮設備使用年限。

劉老師：A 設備20 萬元使用一年（60 萬元/3 年=20 萬元），B 設備24 萬元使用一年（90 萬元/3。7 年=24 萬元），增加收益一樣，投入少劃算。

何老師：可能要研究年均增加的收益更恰當。

（二）觀點2：用總收益除以年限的均值得到年均收益，這樣算有沒有道理

黃老師：第7 題年均收益有歧義。

林老師：此題問得有問題。

黎老師：使用年限的均值，與收益均值，好像是兩個概念。使用年限的均值乘以100 得到的是收益？這個題能算的是使用年限內總收益的期望值（要把原先收益考慮進去，100 是增加的），年均收益沒法算，我覺得是錯題。

彭老師：年均收益可以從年均器械損耗來考慮，比如A 只能用兩年的話一年消耗就相當于用30 萬，再求期望。

徐老師：第7 題我認為無問題，從年平均收益角度出發，就是從年平均收益的變化來考慮問題，增加收益除年份，選B，設備可每隔幾年更換一次，只要年平均增加收益高就行。

（三）觀點3：雖然兩種算法都支持選項B，但得出的年均收益不一樣，兩種似乎都有道理

算法一：從年均增加收益的角度分析。

設更換為A 品牌設備使用年限為X，則E(X)=2 × 0.4+3× 0.3+4 × 0.2+5× 0.1=3 年，

設更換為B 品牌設備使用年限為Y，則E(Y)=2 × 0.1+3× 0.3+4 × 0.4+5× 0.2=3.7 年，

所以更換為A 品牌設備年均增加收益更多，從年均增加收益的角度分析選B。

算法二：從年均器械損耗的角度分析（如表3-4所示）。

表3

表4

設更換為A 品牌設備年均投入的金額為ξ，則E(ξ)=30 × 0.4=20 × 0.3+15× 0.2+12 × 0.1=22.2 萬元，

更換為A 品牌設備年均增加收益為100 -22.2=77.8 萬元；

設更換為B 品牌設備年均投入的金額為η，則E(η)=45× 0.1+30 × 0.3+22.5× 0.4+18× 0.2=26.1 萬元，

更換為B 品牌設備年均增加收益為100 -26.1=73.9 萬元。

所以更換為A 品牌設備年均增加收益更多，從年均器械損耗的角度分析選B。

事實上，算法一是正確的，算法二是錯誤的，原因在于年均損耗的概率不能直接套用設備使用年限的概率。類似概率中的貝葉斯公式，比如A 品牌年均損耗30 萬元的概率相當于使用年限兩年的設備的使用年數占設備總使用年數的頻率，即P(x=30)=。（如 表5-6）

表5

表6

綜上所述，算法二與算法一并沒有矛盾，完全一致。本題問的是從年均收益的角度分析，只需考慮年均收益的變化即可。算法一相當于平均每3 年更換一次A 品牌設備，比平均每3.7 年更換一次B 品牌設備每年新增的收益更高。這里應注意，并非使用年限最長越好。

三、對廣義結構不良數學問題“應激反應”的思考

例3 為何會引發教師們的廣泛爭議呢？究其原因主要有以下兩個方面：

（一）去情景化的結構不良問題的教學呈現方式容易造成機械學習

早在20 世紀90 年代，美國著名學者斯皮羅指出許多教學系統失敗的共同原因是“這些教學設計以脫離現實的簡單化和結構良好的方式呈現了教學的領域以及相關的行為要求”。

教育的重要目的就是讓學生掌握知識，并能夠創造性地實現知識遷移。而傳統的數學教育只針對結構優良問題或某些去情景化的結構不良問題（例如狹義結構不良數學問題）展開教學，只停留在記憶、理解、運用等低階思維的培養上，只實現讓學生掌握知識的教育目的，從而造就出一批批“高分低能”的考試能手，但學生面對結構不良的現實問題時仍無法用分析、評價、創造等高階思維實現知識遷移。

（二）單一化的結構不良問題的問題表征方式容易造成低效學習

當學生面對結構不良數學問題時只是片面的描述和表征問題，這種單一化的問題表征方式必然導致學生解決此類問題的效率低下。求解結構不良試題需要學生進行整體認知，從不同角度、不同立場主動構建多元化的問題表征，明確確定性知識存在的條件，尋找出各個量之間的異同點，擅于運用類比和歸納猜想與知識儲備建立聯系，尋找最有利問題解決的理解方式。因此，教師應鼓勵學生在數學學習中積極思考和探索，尤其是鼓勵學生展開批評與自我批評，引導學生進行批判性思維訓練，鼓勵學生用準確的語言表達自己的不同想法與見解，引導學生進行多維度思考。另外，教師應堅持“多角度、多層次、低位度、易學易懂逐步升級”的教學原則，讓學生養成多元化問題表征的良好學習習慣。

四、對廣義結構不良數學問題教育價值的思考

（一）廣義結構不良數學問題有利于“高階思維”的培養

以美國著名教育學家本杰明·布魯姆1956 年版的“教育目標分類學”中認知目標分類為基礎，經過泰勒等學者修改后，將學生的數學思維劃分為六個層次：記憶、理解和運用，分析、評價和創造。前三個層次屬于低階思維，后三個層次屬于高階思維。高階思維通常伴隨著新知識、新技能的獲得。發展學生高階思維獲取高級知識是數學教學的終極目標。由于結構不良問題一般來源于真實生活，這類問題能夠幫助學生擺脫由結構良好問題產生的低階思維。廣義結構不良數學問題幫助形成學生學習的外部情境、建構學生學習的心理場景、打造學生學習的實踐場域，有利于引導學生深度思考、深度體驗，從而發展學生高階思維實現獲得高級知識的目標。例如上文中提到的觀點1，有些人只簡單考慮設備損耗與收益，而忽略了設備的使用年限。

（二）廣義結構不良數學問題有利于“能產性思維”的培養

當前，廣大師生對狹義結構不良數學問題普遍適應，學生在自主建構中已經形成相應的解題策略。而面對題目條件完整，問題表征明確，但解題路徑不確定的廣義結構不良數學問題，普遍表現出極大的排斥和不適應的否定反應，甚至認為他們是有歧義的錯題（例如上文中提到的觀點2）。

德國心理學家韋特海默（M.Wertheimer）提出：“能產性思維”是指面對一個問題時能產生一個新的解決方案。結構不良問題的解決過程更傾向于是一種前所謂有的開創性過程。問題解決者沒有可借鑒的模式，需要具體問題具體分析，權衡不同影響因子之間的利弊，最終確定最優的解決方案。結構良好問題往往與學生已經解決過的問題相同或相似，學生只需調用已知的解決路徑就可以合理解決問題。而結構不良問題往往沒有明確的解題路徑，需要學生進行合理的猜想、大膽的推測，發現和創造一個“新”的問題解決方案。［4］例如上文中提到的觀點3，他們會從不同的兩個算法驗證猜想的合理性，進一步發現，兩種算法實際上是殊途同歸。顯然，這種廣義結構不良數學問題調動了學生的能產性思維，促進了學生問題解決能力的發展。

（三）廣義結構不良數學問題有利于“批判性思維”的培養

解決結構良好數學問題時，學生只需要再現其習得的知識和技能就能解決問題，這使學生逐漸形成“惰性思維”和“定勢思維”，不利于其在具體情境中有效地遷移。反思是批判性思維的一種體現，而數學學科的反思是指主體主動地對已完成的思維過程進行周密且有批判性的再思考，是對已形成的數學思想、方法和知識從另一角度，以另一種方式進行再認識，從而得到新的認識，或提出疑問作為新的思考起點。

在學習上習慣使用批判性思維的學生普遍更加敢于嘗試、探索和創新，這類學生善于運用自己的推理能力和客觀性去分析問題，也往往會得出較好的結論和較理想的結果。由于廣義結構不良數學問題解決沒有固定的解決方案，需要學生不斷地反思判斷，理解問題，提出可能的解決方案，對方案的有效性不斷地進行監控、評估來實施方案等。因此，教師在教學反饋中鼓勵學生進行自我反思，有利于學生檢查自己是否達到目標，下一步決定做什么，以及此問題對彼問題的解決有何啟示，自己獲得了什么新知識新策略，是否有所提高和收獲。這種批判性思維幫助學生明確方向、理清思路，提高解決問題的能力。例如上文中提到的觀點3，對兩種算法得出的年均收益不一樣產生困惑的那位教師在微信工作群中就感慨：“提出的還算是有價值的問題，交流是一件好事！”

（四）廣義結構不良數學問題有利于“發散性思維”的培養

發散性思維的基本特點是創新性，“一題多解”“舉一反三”“學以致用”“合情推理理”等新的問題思路、新的思考方法都屬于發散性思維，發散性思維有利于培養創新思維。教學的目的就是幫助學生在原有觀念的基礎上產生新的更精彩的觀念。因此，數學考試評價中應增加應用型、探究型、開放型等廣義結構不良問題的比重，有利于發展學生的發散性思維。另外，教師需要采取激勵式評價方式，讓學生樹立學習信心，強化學生的創新動力，培養學生的發散性思維。例如，若把例3 題目中“從年均收益角度分析”和4 個選項刪除，則可改編為結論開放型結構不良試題。學生從不同角度分析可以有不同的結論，如更換一次設備的總收益的結果就同年均收益的結果不同。另外，還可改編成條件開放型結構不良試題，是更換一次設備還是可不斷更換設備。若是前者，則用更換一次設備的總收益來決策更合理；若是可不斷更換設備，則用年均收益來決策更合理。