基于課堂觀察的新教師MPCK 比較與提升
——以“19.1.2 函數的圖象（1）”同課異構為例

陳燕梅

（廈門第一中學，福建 廈門 361000）

一、MPCK 理論的含義與發展

影響教師專業成長的因素主要包括對學科知識的了解、對學生的認識以及教學策略的選擇.［1］舒爾曼1986 年提出PCK 理論后，立即引起各國學者關注，他通過實踐考察，發現PCK 最能區分學科專家與教學專家、高成效教師與低成效教師.［2］隨著PCK 理論的拓展和推廣，數學教師特有的學科教學知識從PCK 泛學科的研究中獨立出來，形成MPCK（數學教學內容知識）理論，它包括數學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）、有關數學學習的知識（CK）以及教育技術知識（TK）.［3］

筆者參與廈門一中一次公開教研活動，初中數學三位入職未滿一年的新教師（以下稱為教師A、教師B、教師C）以“19.1.2 函數的圖形（1）”同課異構.基于課堂觀察研究他們的MPCK 水平狀況，探索為促進教師專業發展學校需提供的系統支持.

二、基于課堂觀察的MPCK 比較應用

《19.1.2 函數的圖象（1）》選自義務教育課程標準實驗教科書《數學》（人教版）八年級下冊，是第19 章“函數的圖象”第1 節第2 課時的內容.本節課在已學的直角坐標系的基礎上，以具體函數為例，學習能形象化地表示函數的重要工具，即函數的圖象.學生通過具體實例了解圖象的意義，經歷畫函數圖象的過程，學會通過觀察和分析函數圖象獲取信息.本節主要內容有三個部分，具體如下：

（一）了解圖象意義，經歷畫圖過程

1.教師A

課件展示生活中的三張函數圖象，分別是：中國GDP 增長圖、心電圖、廈門一周天氣變化圖，讓學生思考：

問題1：為什么我們喜歡用圖象來展示變化，這樣做的好處是什么？

問題2：這些圖象是如何被繪制出來的？

問題3：正方形的面積S與邊長x的函數解析式為___，其中自變x的取值范圍____.

問題4：類比氣溫圖的繪制，你覺得我們能畫出這個函數的圖象嗎？若能，應該怎么做？

建立平面直角坐標系，把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.

問題5：滿足這個解析式的點有多少個？我們可能將這無數個點都描出來嗎？實際上我們只能描出其中有限個點，同時想象出其他點的位置.

2.教師B

有些問題中的函數關系很難列式子表示，但是可以用圖來直觀地反映，例如，用心電圖表示心臟部位的圖形（課件顯示）.

問題1：正方形面積S與邊長x之間的函數解析式是什么？

問題2：這里自變量的取值范圍是什么？

問題3：列表：填寫表格

注意：在畫函數圖象的過程中，將自變量作為橫坐標，將函數值作為縱坐標；用空心圈表示不在曲線的點；用平滑曲線去連接畫出的點；圖象（解析式、列表法）只是函數的一種表示方法，應符合函數的定義.

3.教師C

問題1：同學們，今天我們學習函數的圖象，看到這個標題你能想到什么？

追問1：說到圖，我們來看一下這幅圖，這是心電圖，反映了生物電流與時間的關系.那么這幅圖的自變量是什么？

追問2：如果你是醫生，你能通過這幅圖看出哪里波動大，哪里波動小嗎？

問題2：對于已知解析式的函數，是否也能通過畫圖更加直觀認識函數關系呢？

追問1：這個函數的自變量是什么？

追問2：對于這個函數，x可以取哪些值，能取-0.5嗎？為什么呢？

追問3：自變量的取值范圍是什么？

追問4：x能取0.5 嗎？

追問5：x還能取哪些值？請同學們自己寫出幾個x 的值，并算出與之對應的函數值.

追問6：同學們，我們之前學習過什么知識和有序數對相關？

追問7：在坐標系中，這些是什么呢？

追問8：取多少個點合適呢？

追問9：這個圖中，誰是自變量，誰是函數值？

評析：函數的圖象以幾何形式直觀地表示變量間的單值對應關系，是研究函數的重要工具.

從MK 上看，三位教師均能認識到函數圖象的意義，教學中重視函數圖象的直觀特點，注意“把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標”，并畫出函數圖象，較為準確地把握本節的核心內容之一.然而，學習函數的圖象不僅要了解它的一般意義和畫法，更重要的是引導學生體會如何以數形結合研究問題，為后續基于圖象研究函數的性質作下鋪墊.在此環節，教師A 在函數解析式S=x2后，直接列表、描點和連線，并沒有說明環節之間如何建立聯系，為什么從解析式想到圖象；教師B 和C 都通過有序數對將自變量和函數與平面直角坐標系中的點對應起來，讓新知識的發生和發展過程更加自然而然.

從PK 上看，三位教師都精心設計層層遞進的問題，努力啟發學生思考，但個別問題的設置缺乏針對性，學生不知如何回答.如教師C 的“追問6：同學們，我們之前學習過什么知識和有序數對相關？”，與有序數對相關的知識非常多，學生不知從何回答起.在實際課堂中，三位教師給予學生思考的時間和思維空間有限，如教師B 在填表格時直接告訴學生“有序數對”，并非引導學生自己去發現.有時學生還未回答，教師就著急說出答案；或是當學生的答案未在教師的預設范圍內時，教師并未尊重課堂生成進行有針對性地引導和啟發.如教師C，當學生沒有想到自變量和函數對應“有序數對”，卻回答“坐標”時，教師并無理會，堅持按照預設的情形繼續上課.

從CK 上看，學生在教師的引導下，經歷列表、描點和連線，積極參與課堂學習，體驗畫函數圖象的過程，感受圖象的意義.

從TK 上看，三位教師均使用課件展示主要內容，特別是展示直觀但難畫的函數圖象，明顯提高了課堂效率.教師C 使用幾何畫板，隨著列表數據量的增大，平面直角坐標系中顯示的點逐步增多，不斷增加、逐漸密集的點可直觀地看出函數圖象的構成過程，學生進一步理解函數圖象，明確用平滑曲線連接的方法，讓信息技術成為學生學習數學和解決問題的有力工具.

（二）觀察函數圖象，獲取讀圖方法

三位教師的教學內容：

思考：圖1 是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了北京的春季某天氣溫T 如何隨時間t的變化而變化.你從圖象中得到了哪些信息？

圖1

評析：這個“思考”欄目是為學習通過圖象分析函數的變化趨勢而設計的，由圖象分析數量的變化規律是研究問題的方法之一.這里的氣溫變化情況難以用確切的解析式表達，只能通過分析儀器自動繪制的氣溫變化曲線得到相關信息.

從MK 和PK 上看，三位教師均能解讀此圖象的信息，理解教材的意圖，以此為載體滲透讀圖的方法.教師A 從最值、變化趨勢和具體數值三方面指導學生看圖，并進行方法小結，即“解答圖象信息題主要運用數形結合思想，化圖象信息為數字信息”，同時歸納解題主要步驟：“一是理解橫、縱坐標表示的意義；二是從表達式判定函數與自變量的關系；三是關注圖象中端點、拐點等特殊點的實際意義.”教師B 根據教材中設置的問題逐一分析函數圖象的信息.教師C 引導學生在識圖和分析的過程中歸納出“最值、變化趨勢、自變量與函數對應”三種常用的方法，特別是請學生上臺，在所展示的圖象中直接找到某一個點所對應的函數值，直觀清晰.盡管如此，教學中有些內容的呈現并沒有充分尊重學生現有的知識起點和認知規律，如教師B 關于“拐點”的說法并非初中階段學生所了解的；教師C 沒有解釋何為“最值”，對于初學函數圖象的學生而言，顯然較為抽象.

從CK 上看，三位教師都明確學生在課堂上的主體作用，努力提高學生課堂參與的積極性和主動性.教師A 引導學生“和同桌說一說，你從圖中得到什么信息？你一條我一條”；教師B 鼓勵學生“和同桌PK一下”，并請學生站起來依次回答問題；教師C 組織學生“先獨立思考2分鐘，再小組合作交流3分鐘”.學生在合作學習中進一步提高數學表達和與人交流溝通的能力，共享智慧.然而在課堂上，前兩位教師沒有給予學生獨立思考的時間，學生容易受思維較自己敏捷的學生的影響，難以深度思考.教師C 雖分別設置獨立思考和合作交流的時間，但固定的時間限制在實際教學中并沒有根據現場情況靈活調整.

（三）解析函數圖象，理解生活數學

如圖2，小明家、食堂、圖書館在同一條直線上.小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家.其中x 表示時間，y 表示小明離家的距離，根據圖象回答下列問題：

圖2

（1）食堂離小明家多遠？小明從家到食堂用了多少時間？

（2）小明在食堂吃早餐用了多少時間？

（3）食堂離圖書館多遠？小明從食堂到圖書館用了多少時間？

（4）小明讀報用了多長時間？

（5）圖書館離小明家多遠？小明從圖書館回家的平均速度是多少？

評析：此函數的圖象是由幾條線段構成的折線，其中每條線段代表一個階段的活動.三位教師均以課本例題中的實際問題為素材，使學生感受到數學源于生活.

從MK 和PK 上看，三位教師均能很好地理解函數圖象的實際意義，圍繞著突破關鍵點引導學生進行分析.其中，教師A 和教師B 直接呈現背景知識，進而結合上一個教學環節中讀圖的方法引導學生分析；教師C 則先呈現無任何實際背景的圖象，讓學生鞏固讀圖的方法，而后讓學生看圖講小明的故事，并鼓勵學生課后講更豐富的故事.學生體會函數圖象的生活實際意義，激活思維.三種不同的教學策略均能達到異曲同工之妙，但以實際為背景引導學生理解圖象，應給予學生更充足的時間.

從CK 上看，學生能夠主動運用新學的讀圖方法進行分析，理解不同時段圖象的含義，對分段函數有初步認識.部分學生主動分享自己的想法，甚至以故事命題.學生可結合實際背景加深對圖象意義的了解，然而多數學生的學習方式較為常規.

三、提升MPCK 的學校系統支持策略

（一）充分了解學情，創新評價優化MPCK

2020 年10 月，中共中央國務院印發《深化新時代教育評價改革總體方案》，指出堅決克服唯分數、唯升學、唯文憑、唯帽子的頑瘴痼疾，提高教育治理能力和水平.創新教育評價改革，需將對教師的教學評價從成績導向轉向關注教育教學的過程.教學過程的科學和有效建立在教師理解學生，對學生課前學情客觀全面認識的基礎上，教師能夠清晰學生在學習本節課之前的知識儲備和活動經驗有哪些，在本節之后還會學習什么.在本次同課異構研討中，出現教師A 讓學生類比氣溫圖的繪制畫函數的圖象，而事實上多數學生根本不會；也出現教師B 將上一節課函數定義相關的內容與本節新知“函數的圖象”一起重新教學，體現新教師在對教學起點的認識上需進一步研究.理解教學起點，是每一位數學教師自身業務水平提高、教學過程科學有效的基礎.學校在課堂教學評價或教學研討中，可將其作為一項重要的指標，引導教師關注課前學情評價，真正做到理解學生，讓學生在課堂上有更大的收獲，在數學上獲得更好的發展.

（二）認真研讀教材，集體備課共享MPCK

教材是課堂教學之本，教師應精準理解教材，才能創造性地使用教材，挖掘教材中的教學資源和育人價值.《19.1.2 函數的圖象（1）》這節課對于新教師而言，難點在于對教材的準確理解.在課前交談中，幾位新教師都表示備課過程中曾困惑“后續的新課中將會學習畫圖，本節中第一個教學環節要不要讓學生畫函數的圖象？”，也曾困惑“怎樣引導學生畫圖？”，還曾困惑“測溫儀記錄的圖象這一環節教學重點在哪？”……因為困惑所以思考，因為糾結所以選擇，這一切正是逐步深入教學研究的過程.日常教學研究的有效策略是集體備課。以集體備課促進青年教師專業成長，除學校需建立完善的集體備課制度外，還需教師將集體備課成為一種文化自覺，共享智慧，促進理解，減輕負擔，合作共贏.

（三）教師通力合作，師徒帶教發展MPCK

新教師是經過重重考核選拔的，素質高，能力強，精力旺盛.因教學經驗不足而帶來的影響往往是暫時的，有些新教師初登講臺后很快站穩講臺，如此影響基本不存在.廈門一中有許多青年教師在省市技能大賽、一師一優課、單元教學設計中獲獎，青年教師的成長離不開老教師的用心帶教，傾情奉獻.本次同課異構的三位新教師課堂教學雖還不盡完美，但基本達成本節的教學目標；三位教師均能夠在上課前提供給聽課教師一份完整且規范的教學設計，這與入職以來師傅的帶教和指導息息相關.學校對師徒帶教應堅持落實相關的規章制度，積極推進政策支持，充分發揮師傅的榜樣力量和指導力度，構建團隊攜手前行的校園文化.唯有師徒帶教落地于平時的每一個教育教學環節，才能助力青年教師理解教學，真正提升他們的專業素養.

（四）利用校本培訓，聚焦共性提升MPCK

在新課改背景下，教師需要系統化地學習，更新教學理念，創新教學策略.青年教師接收新理念新知識快，學校組織系統的校本培訓，有利于教師更快、更全面地學習和內化，提升學科素養.本次同課異構的三位新教師在教學中都存在較為著急，難以就預設與生成的不同在課堂中妥善地處理等相關問題，這也是許多青年教師在教學中存在的困惑.學校相關部門可加強調研，針對日常教學困惑，聚焦共性問題，以專題的形式進行培訓，切實提高校本教研的針對性和有效性.

每一次公開課，既是教師展示和挑戰自我的機會，也是優化教師MPCK 的重要平臺.基于課堂觀察，新教師素質高、能力強，他們的MPCK 存在不足但發展的潛力很大.學校應落實系統支持策略，重視課前學情科學評價，發揮團隊力量精心備課，傳承與優化師徒帶教制度，堅持有效的校本培訓等.提升教師MPCK，是教師不斷反思、自我追求和學校共同努力的結晶，最終構建師生和諧的魅力課堂.