分類討論思想在初中二次函數問題中的應用

【摘要】分類討論思想在數學解題中占據著重要位置，特別是在二次函數問題的求解過程中，其應用顯得尤為關鍵.本文通過具體實例演示分類討論在解決二次函數問題時的步驟和方法，展示這一思想幫助學生系統理解二次函數概念、提高解題效率和能力的過程，闡明分類討論思想在數學教學中的重要作用.

【關鍵詞】分類討論；二次函數；初中數學

1 引言

二次函數問題因其形式多樣、情境復雜，往往需要借助于分類討論的思想來細致分析，從而尋求精確解答.這一思想不僅能幫助學生深入理解二次函數的性質和圖象，還能夠提高學生解決實際問題的能力.通過對二次函數問題進行分類討論，學生可以學會如何根據不同的函數表達式、頂點位置或對稱軸等特征，采取不同的解題策略，進而更加靈活地掌握和應用二次函數知識.本文以兩道習題為例，分別討論分類討論思想在定義問題和發現規律方面的應用價值.

2 試題呈現

例1 已知函數fx=x2－a+1x+1.

（1）解關于x的不等式fx>－a+1；

（2）當a=0時，對x1，x2∈t，t+1，都有fx1－fx2<4恒成立，求實數t的取值范圍.

例2 已知函數fx=x2+1－kx+2－k.

（1）解關于x的不等式fx<2；

（2）若函數fx在區間－1，1上有兩個不同的零點，求實數k的取值范圍.

3 思路分析

例1思路 在第（1）問中，通過討論二次函數的“零點”關系，對二次函數的解集情況進行多類別劃分，該小問的本質是“零點”的分類討論.此外，在解題過程中，學生還可能碰到“開口方向”的分類討論以及“有無實數解”的分類討論，討論結果取決于含參方程中參數的位置.在第（2）問中，圍繞二次函數對稱軸進行討論，分別討論了“條件區間”在對稱軸左側、右側以及跨對稱軸的幾種情況.而在“條件區間”跨對稱軸的分類中，又涉及fx1和fx2的大小分類，劃分之精準已經到達了較難的水平.

例2思路 在第（1）問中，與例1類似，同樣涉及二次函數零點的分類討論，可見分類討論思想在二次函數相關問題中應用的重要性，而經過這兩個問題的總結.不難發現，涉及“零點”問題的討論，其規律和特點基本相同，都是將函數整理成x+1x－k=0的形式，然后對參數進行討論.在第（2）問中，雖然未涉及分類討論，但其實已經在解題過程中，運用了“隱含分類討論”的思路，例如，當我們看到“兩個不同的零點”，首先應該想到“零點分類”，將該條件轉化為Δ>0，當我們看到兩個根的范圍后，應該聯想到f1和f－1的“正負值”分類，同時還要保證對稱軸在“條件區間”－1，1內.因此解決該問題過程中雖未分類討論，但是已經在我們掌握的“分類思維”中，得到了已知條件運用的規律和特點，即分類討論思想在二次函數問題中的重要性之一.

4 解法探究

例1解析

（1）由fx>－a+1，

可得x2－a+1x+1>－a+1，

即x－1x－a>0.

當a<1時，由x－1x－a>0，可得x>1或x<a；

當a=1時，由x－1x－a>0，可得x≠1；

當a>1時，由x－1x－a>0，可得x>a或x<1，

綜上，當a<1時，原不等式的解集為{x∣x>1或x<a}；

當a=1時，原不等式的解集為x∣x≠1；

當a>1時，原不等式的解集為{x∣x>a或x<1}.

（2）當a=0時，fx=x2－x+1，

①當t≥12時，fx=x2－x+1在t，t+1上單調遞增，fx在區間t，t+1上的值域為t2－t+1，t2+t+1，若對x1，x2∈t，1+1，都有fx1－fx2<4恒成立，則有2t<4t≥12，解得12≤t<2；

②當0<t<12時，fx=x2－x+1在t，12上單調遞減，在12，t+1上單調遞增，fx在區間t，t+1上的值域為34，t2+t+1，

若對x1，x2∈t，t+1，都有|f（x1）－f（x2）|<4恒成立，

則有t2+t+14<40<t<12，解得0<t<12；

③當-12<t≤0時，fx=x2－x+1在t，12上單調遞減，在12，t+1上單調遞增，fx在區間t，t+1上的值域為34，t2－t+1，若對x1，x2∈t，t+1，都有fx1－fx2<4恒成立，則有t2－t+1<4且-12<t≤0，解得-12<t≤0；

④當t≤-12時，fx=x2－x+1在t，t+1上單調遞減，fx在區間t，t+1上的值域為t2+t+1，t2－t+1，若對x1，x2∈t，t+1，都有fx1－fx2<4恒成立，則有2t<4t≤-12，解得-2<t≤-12.

綜上，實數t的取值范圍為－2，2.

例2解析 （1）因為fx=x2+1－kx+2－k，

且fx<2，

即x2+1－kx－k<0，

即x+1x－k<0.

令x+1x－k=0，

解得x=－1或x=k.

當k=－1時，此時（x+1）2<0，故原不等式的解集為；

當k>－1時，不等式的解集為－1，k；

當k<－1時，不等式的解集為k，－1.

（2）函數fx在區間－1，1上有兩個不同的零點，轉化為方程x2+1－kx+2－k=0在－1，1上有兩個不同的根，

所以Δ=（1－k）2－42－k>0－1<k－12<11+1－k+2－k>01－1－k+2－k>0，

解得22－1<k<2，

故實數k的取值范圍為22－1，2.

5 結語

由例1可見，分類討論思想可以幫助學生更加精確地定義和劃分問題.通過將問題按照不同的條件或情況進行分類，可以更清晰地理解問題的本質和要求，從而更好地解決問題.由例2可見，分類討論思想可以幫助我們發現問題中的規律和特點.通過將問題按照不同的情況進行分類，可以發現不同情況下的共性和差異，從而找到問題的規律和特點，為問題的解決提供線索和思路.通過分類討論思想，學生可以有效地將復雜的問題分解成多個簡單的子問題，更加直觀地分析和解決.

參考文獻：

［1］辛海霞.分類討論思想在初中數學教學中的滲透［J］.陜西教育（教學版），2024（03）：41-43.

［2］袁健風.分類討論思想在初中數學解題教學中的滲透［J］.數理化解題研究，2023（35）：83-85.

［3］謝文秀.用分類討論思想優化初中數學解題教學［J］.數理化解題研究，2023（35）：98-100.