巧妙構造輔助線解決與中點有關的問題

車帥

【摘要】初三數學中考復習面臨時間緊、知識點多等問題，所以幫助學生建立知識體系是事半功倍的復習方法.添加適當的輔助線解決幾何問題一直是教學的重點和難點，本文就遇到中點常作輔助線的方法做一下總結.

【關鍵詞】中線倍長;中位線;三線合一;垂徑定理

方法一：倍長中線，構造全等三角形

基本圖形所謂倍長中線，就是把中線或過中點的線段延長一倍，構造全等三角形，從而轉移邊角關系.如圖1，D為BC中點，延長AD到E，使得AD=DE，連接EC，可得到△ABD≌△ECD? EC=AB，∠E=∠BAE，∠B=∠ECDAB∥EC.

例1如圖2，△ABC中，D為BC中點，AB=5，AD=6，AC=13，求證：AB⊥AD.

分析點D是BC的中點，想到中線倍長法構造全等三角形轉移邊角關系，利用勾股定理逆定理證明AB⊥AD.

證明延長AD到E，使得DE=AD=6.

∵D是BC中點，∴BD=DC.

∵∠ADC=∠BDE，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE=AC=13.

∵AB=5，AE=12，∴∠EAB=90°，

∴AB⊥AD.

例2如圖3，BD平分∠ABC交AC于D，點E為CD上一點，且AD=DE，EF∥BC交BD于F，

求證：AB=EF.

分析由AD=DE，想到延長BD到K，使得BD=DK，構造△ADB≌△EDK，由平行線性質、角平分線性質、等量代換，得∠DFE=∠K，最后由等角對等邊證得EF=AB.

證明延長BD到K，使得BD=DK，連接KE.

∵AD=DE，∠ADB=∠KDE，BD=DK，

∴△ADB≌△EDK（SAS），

∴AB=KE，∠ABD=∠K.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC.

∵EF∥BC，

∴∠DFE=∠DBC，

∴∠DFE=∠K，∴EF=EK，∴EF=AB.

注意，當遇到平行線和中點時，一般不選擇中線倍長的方法，因為會涉及證明三點共線，此時可以選擇延長線段，構造八字形.如圖4，已知AB∥CD，E為BC中點，延長AE交CD于點P，則△ABE≌△PCEAE=EP.

例3已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，DE⊥CE，求證：AD+BC=DC.

分析“平行線+中點”考慮構造八字形，通過證△AEF≌△BEC，得到相等線段，利用中垂線性質證得結論.

證明延長CE交DA的延長線于點F，連接AF.

∵AD∥BC，∴∠F=∠ECB.

∵E是AB的中點，∴AE=BE.

∵∠AEF=∠CEB，∴△AEF≌△BEC，

∴AF=BC，EF=EC.

∵DE⊥CE，∴DE是CF的中垂線，

∴DF=DC，∴DC=DF=AD+AF=AD+BC.

有時題中有中點但沒有平行線，這時要作平行構造八字形，如圖6，過C作CD∥AB，延長AE交CD于點P，則△ABE≌△PCEAE=EP.

例4如圖7，已知△ABC中，AB=AC，D，E分別是AB，BC上的點，連接DE并延長與AC的延長線交于點F，若DE=EF，求證：BD=CF.

分析E是DF的中點，想到通過作平行線構造八字形△DEK≌△FECCF=DK，再利用等角對等邊得到BD=DK，通過等量代換得到BD=CF.

圖7證明過點D作DK∥AC交BC于點K.

∵DK∥AC，∴∠F=∠KDE，∠ACB=∠DKB.

∵DE=EF，∠DEK=∠FEC，

∴△DEK≌△FEC，∴CF=DK.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

∴∠ABC=∠DKB，∴DB=DK=CF.

方法二：知一中點，找另一中點構造三角形中位線

基本圖形如圖8，在△ABC中，D為AB中點，可找另一邊AC的中點構造三角形中位線，利用三角形的中位線平行且等于第三邊的一半去解決線段相等及平行等問題.

例5如圖9，在△ABC中，AD為BC邊上的中線.已知AC=5，AD=4，求AB的取值范圍.

分析已知D是BC中點，可找AC的中點E構造三角形中位線，利用三角形三邊關系求出DE的取值范圍，再利用三角形中位線等于第三邊的一半求出AB的取值范圍.

解取AC中點E，連接DE.

∵E是AC中點，

∴AE=12AC=52.

∴32

∵D是BC中點，

∴DE是△ABC的中位線.

∴AB=2DE，∴3

方法三：中點遇等腰三角形，莫忘“三線合一”

基本圖形如圖10，當等腰三角形ABC中有底邊中點D時，常連底邊中線，利用等腰三角形底邊中線、頂角平分線、底邊高重合去解決垂直、角相等等問題.

例6如圖11，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，E為BC邊上的中點，若EF⊥AC于點F，求EF的長.

分析“等腰+中點”考慮三線合一，所以連接AE得到Rt△AEC，進而用等面積法求直角三角形斜邊上的高.

解連接AE.

∵AB=AC，E為BC中點，

∴AE⊥BC，CE=12BC=6.

由勾股定理，得AE=8.

∵EF⊥AC，

由等面積法，得AE·CE=AC·EF，

∴6×8=10EF，

∴EF=245.

方法四：中點遇直角三角形，考慮直角三角形斜邊中線等于斜邊一半

基本圖形如圖12，當D是Rt△ABC的斜邊中點時，連接ADAD=12BCAD=CD=BD△ABD和△ADC是等腰三角形.

例7如圖13，在△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中點，E，F分別是AC，BC延長線上的點，且CE=CF=12AB，求∠EMF的度數.

分析由M是直角三角形斜邊上的中點，想到連接CM，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半CM=12AB，因為CE=CF=12AB△CEM和△CFM是等腰三角形∠F=∠FMC和∠E=∠EMC，進而利用外角可求得∠EMF的度數.

解連接CM.

∵∠ACB=90°，M是AB中點，

∴CM=12AB.

∵CE=CF=12AB，∴CM=CF=CE.

∴∠E=∠CME，∠F=∠CMF.

∵∠ACM=∠F+∠CMF，∠MCB=∠E+∠CME，

∴∠FME=∠CMF+∠CME=12∠ACB=45°.

方法五：遇到中點，過中點作平行線，得到相似三角形

基本圖形如圖14，D是AB中點，過D作DE∥BC交AC于點E△ADE∽△ABCADAB=AEAC，根據D是AB中點AE[]AC=AD[]AB=1[]2E是AC中點DE是△ABC的中位線.

方法五和方法二可以互相推得，在應用時可以選擇最合適的添加輔助線的方法.

例8如圖15，已知AD，BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，垂足為點F，AD=BE=4，求AC的長.

分析過BC中點D作DK∥AC，可巧妙地構造一組相似三角形△BDK，△BCE和一組全等三角形△ABF，△DBF，運用相似三角形、全等三角形的性質，可得到AC與AE的數量關系以及DF，KF的長，運用勾股定理求出DK，進而求出AC的長.

解過點D作DK∥AC，交BE于點K.

∵AD⊥BE，∴∠AFB=∠DFB=90°.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE.

∵BF=BF，∴△ABF≌△DBF.

∴AF=DF.∵DK∥AC，

∴∠AEK=∠DKE，∠KDF=∠EAF，

∴△DKF≌△AEF，∴KF=FE，DK=AE.

∵DK∥AC，D是BC的中點，

∴K是BE的中點，∴DK是△BCE的中位線，

∴CE=2DK，∴AC=3DK.∵BE=AD=4，∴DF=2，KF=1.

由勾股定理，得DK=5，

∴AC=35.

方法六：圓中遇到弦、弧中點，考慮垂徑定理及其推論、圓心角定理、圓周角定理

基本圖形如圖16，當點F為弦AB的中點時，連接OF并延長交圓于點C，D，則直徑CD平分弦AB所對應的優弧和劣弧，且垂直于AB.

如圖17，當點B是CD的中點時，可知CB=BD，∠COB=∠BOD，∠CAB=∠BAD.

例9如圖18，已知F，G分別是弦AB，CD的中點，AB=CD，求證：∠AFG=∠CGF.

分析連接弦心距OF，OG，得到∠OFA=∠OGC=90°，由OF=OG，得到∠OFG=∠OGF，最后用等式的基本性質推出答案.

證明連接弦心距OF，OG.

∵AF=BF，DG=CG，∴OF⊥AB，OG⊥CD.

∴∠OFA=∠OGC=90°.

由勾股定理，得OF=OG，

∴∠OFG=∠OGF.

∴∠OFA-∠OFG=∠OGC-∠OGF，

∴∠AFG=∠CGF.

以上是對遇到中點常作輔助線方法的一個總結，這幾種輔助線添加方法不是相互獨立的，有些是可以相互推導的，所以，做題過程中究竟添加何種輔助線，或是添加幾條輔助線更合適，要因題而異，靈活應對.有些題可能添加輔助線的方式不止一種，究竟添加哪一種更合適，需要大家對這幾種輔助線添加方法的實質理解清晰、透徹.