也談二次無理數(shù)展成多重特定無窮連分數(shù)

孔慶海

【摘要】文章給出了把二次無理數(shù)展成其整數(shù)部分與一個特定二重無窮循環(huán)連分數(shù)的和，以及展成其整數(shù)部分與一個特定三重無窮循環(huán)連分數(shù)的和，給出部分常用展式，并給出了兩個有趣的事實， 希望能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

【關鍵詞】無理數(shù);二重無窮連分數(shù);三重無窮連分數(shù)

定理1設a，b是正整數(shù)，且b≤a，則二重無窮連分數(shù)

ba+ba+ba+… =a2+4b2-a2.

證設這個二重無窮連分數(shù)的值為k，

顯然 0

于是k=a2+4b2-a2，

即ba+ba+ba+…=a2+4b2-a2，

或a2+4b2=a2+ba+ba+ba+….

于是只要取合適的正整數(shù)a，b（b≤a）的值，就可以把二次無理數(shù)展成一個正整數(shù)與特定二重無窮循環(huán)連分數(shù)的和的形式.只要取a=2n，n∈N+，顯然可得到下面的推論.

推論

n2+b=n+b2n+b2n+b2n+…，（b≤2n）.

為方便，將上式記作

n2+b=（n|b，2n），b≤2n.

于是有如下展式：

2=1+12+12+12+…，（n=1，b=1），

記作2=（1|1，2）;

3=1+22+22+22+…，（n=1，b=2），

記作 3=（1|2，2），

類似地，

5=（2|1，4）， 6=（2|2，4），

7=（2|3，4）， 8=（2|4，4），

10=（3|1，6）， 11=（3|2，6），

12=（3|3，6）， 13=（3|4，6），

14=（3|5，6）， 17=（4|1，8），

18=（4|2，8），19=（4|3，8），

20=（4|4，8），21=（4|5，8），

22=（4|6，8），23=（4|7，8），

……

10001=（100|1，200），

1234400=（1111|79，2222）.

定理2設a，b，c是正整數(shù)，且b≤a，b≤c，a≠c，

則三重無窮連分數(shù)

ba+bc+ba+bc+b…=a2c2+4abc2a-c2.

證設這個三重無窮連分數(shù)的值為k，

顯然 0

于是k=a2c2+4abc2a-c2，

即ba+bc+ba+bc+b…=a2c2+4abc2a-c2，

或c24+bca=c2+ba+bc+ba+bc+b….

特別地，取c=2n，n∈N+， 顯然可得到下面的推論.

推論

n2+2bna=n+ba+b2n+ba+b2n+b…，（b≤a，b≤2n，a≠2n）.

為方便，將上式記作

n2+2bna=（nb，a，b，2n），a≠2n，b≤a，b≤2n.

這樣，只要取合適的正整數(shù)a，b，n的值，就可以把某些二次無理數(shù)展成一個正整數(shù)與特定三重無窮循環(huán)連分數(shù)的形式.有趣的是：（1）符合這種特定要求的展法不唯一;（2）有的無理數(shù)不能展成這種特定要求三重無窮循環(huán)連分數(shù)的形式，例如7，14，21，23等.

下面是一些無理數(shù)展成上述三重無窮連分數(shù)的形式.

2=1+24+22+24+22+…，（n=1，a=4，b=2），

記作 2=（1|2，4，2，2）;

3=1+11+12+11+12+…，（n=1，a=b=1），

記作 3=（1|1，1，1，2）.

類似地，

5=（2|b，4b，b，4），（b=2，3，4），

6=（2|b，2b，b，4），（b=1，3，4），

8=（2|b，b，b，4），（b=1，2，3），

10=（3|b，6b，b，6），（b=2，3，4，5，6），

11=（3|b，3b，b，6），（b=1，3，4，5，6），

12=（3|b，2b，b，6），（b=1，2，4，5，6），

13=（3|2b，3b，2b，6），（b=1，3），

15=（3|b，b，b，6），（b=1，2，3，4，5），

17=（4|b，8b，b，8），（b=2，3，4，5，6，7，8），

18=（4|b，4b，b，8），（b=1，3，4，5，6，7，8），

19=（4|6，16，6，8），

22=（4|3，4，3，8），

24=（4|b，b，b，8），（b=1，2，3，4，5，6，7），

……

10001=（100|b，200b，b，200），（b=2，3，...，200），

1234400=（1111|79b，2222b，79b，2222），（b=2，3，…，28）.

【參考文獻】

[1] 趙義超.也談連分數(shù)[J].文教資料，2005（25）：164-165.

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[3] 李復中.初等數(shù)論選講[M].長春：東北師范大學出版社，1984.