通過《算學學習法》研究余介石的數學教育思想

王燦

一、《算學學習法》的歷史背景

民國時期國家的落后，社會的動蕩，促使國人更加重視文化教育，數學教育的作用也更為凸顯，所以民國時期的數學教育在學校教育中占有重要位置，它是學生學習發展的基礎性學科，是學校教育的核心課程，數學教育不僅可以讓學生獲得生存生活所必須的數學知識，也可以讓他們具有一定的數學抽象思維能力。同時近代中國政治、經濟極其落后，急需一些愛國志士投身到國家的建設中去，而民國時期的學校教育的發展，特別是數學教育的發展，可以向國家建設提供大量的人才，這促使民國時期數學發生了根本性的改革，期間在內部需要和外部刺激的相互作用下最終與世界數學教育接軌。

1922年全國教育聯合會新學制課程標準起草委員制定公布了《新學制課程綱要》，這是中國課程發展歷史上的一次重大變革，綱要中規定初中實施混合數學教學，混合數學在課堂教學實施中對于教師的要求比較高，對數學教師的數學素養以及數學知識結構、內容和各分支之間的聯系等要求較高。民國時期的數學教師隊伍中具有這樣水平的數學教師很少，存在師資缺乏的問題，而且由于初中剛入學的小學畢業生的接受能力不夠，教師在教學中有關教學方法的問題上存在困難。因此，民國時期的數學家多參與中國數學教育尤其中等數學教育中，編寫數學教材和數學學習方法。

二、作者介紹

余介石（1901-1968），字竹平，號慰慈，我國珠算家、數學教育家、科普作家。1901年2月7日出生于安徽省黟縣城的一個徽商家庭，幼時思維敏捷，聰明過人，先就讀于上海市中華工業專門學校附中，成績名列前茅，中學畢業后，1919年考入南京東南大學（1924年曾改名為中央大學，現為南京大學），在這四年學習期間，余介石勤奮好學，深得老師和同學們的贊許。1923年余介石先生大學畢業后留校任教，1924-1945年，先后執教于重慶大學、四川大學、成都金陵女子文理學院、四川大學師范學院，任教授，數學系主任。1945年秋至1949年秋兼任四川省會計專科學校教授。1954年被調入北京農業工程大學（現為中國農業大學）任數學系教授，1968年去世。

合著者孫克定（1909-2007），江蘇無錫人。1930年參加革命，曾任新四軍第三師軍工部研究室主任，第三野戰軍特種縱隊炮兵學校教授、山東大學數理系主任，上海軍管會文教處副主任。建國后歷任中科院紫金山天文臺研究員、副臺長，數學研究所、系統科學研究所研究員。1932年在南京監獄向包之靜學習世界語，熱忠在科技界推廣。建國后經常參加當地的世界語活動，曾加入世界語之友會、中華全國世界語協會和北京世界語協會。曾任中科院世界語協會顧問，晚年不顧年高仍不斷宣傳世界語，曾在《世界》雜志上發表過多篇宣傳世界語的文章。編著有：《軍工干部速成數學》、《炮兵數學講義》、《高精度三角函數算圖》、《高精度四位算尺》、《算學學習法》等。

三、數學的重要性和有用性

從世界各國都把數學作為中小學基礎課程來看，學習數學的重要性已經不言自明。但在實際教學中，經常會有學生問：我們為什么要學數學？學習數學有什么用？甚至有“數學滾出高考”的言論。看來即便是當今社會，數學的重要性和有用性還有必要在中小學生中進一步普及。早在民國時期余介石已經注意到這個問題，并在《算學學習法》中對數學的重要性和有用性有詳細的闡述。

我們知道，數學是研究數量和空間的科學。那么試問世界上哪些東西沒有數量？哪些東西不占據一定的空間？所以數學無所不在，無所不包。地球和其他星體的運行軌道，金字塔及其后各種建筑的構造形式。蜂巢，花，草及自然界里面形形色色的布置，雪花及其他結晶物以及各種物質分子間，原子間，點之間的排列，這一切的空間圖形都是數學的研究對象。宇宙中各天體的體積，質量，溫度等條件，社會中人口的增減，經濟的盛衰，國家的預算，或個人的日用賬目，以及生物的遺傳，工程的設計，制造的各種計量，這一切的數量關系也都是數學的研究對象。沒有了數學，我們非但不能推算日月食，建筑橋梁，廣播無線電，我們甚至沒有時日，不知遠近，忘卻耕種與紡織，失去計劃，演算，推量，推論的能力。所以就整個宇宙及自然而言，數學是普遍的，客觀純在的;就人類而言，數學是認識自然的重要手段之一。

數學是科學中最基本的一種理論科學。如物理、化學、生物等，都少不了數學，而應用的科學，更以數學的測定為樞紐。都離不了數學。甚至最抽象的藝術如音樂，在節奏上，拍子以及作曲，和聲等也必須有數學的幫助。所以數學可以稱為“科學界的女王”。

學習數學給與我們一種精神上的訓練，使我們的思維及行動有系統，精密，完整，無論什么都有根據合邏輯，這種習慣是最有用的。別的東西常常有假，數學卻不能有假。別的東西可以馬虎，數學卻不能絲毫茍且。作文可以有修辭工整，言無之物的文章，音樂可以有油腔滑調，社會科學也可以有似是而非的理論，就在自然科學中也常有不怎樣可靠的假定，這些都可以濫竽充數，暫時蒙混過去，可在數學的領域里面，這絕對不行。數學是最有系統最為嚴密，最為完整的學問。在數學里絕對沒有矛盾不符，絕對沒有漏洞，即使因為我們自己的錯誤帶進了矛盾，那也可以立即發掘出來，真偽顯然，取舍立斷。數學就像一個有組織的軍隊，異己分子是參雜不進去的，數學也像一座大建筑物壁壘森嚴，每一部分都是必要的，所以數學給與我們系統、精密、完整的思維訓練是其他學科不能替代的。

數學學習可以使同學們具備一定的抽象思維和推理能力。數學是又抽象又客觀的學科，我們只能用冷靜的理智去面對。學習數學不像學習語文那樣以記憶為主，也不像學習藝術那樣以感覺及情緒為主。數學是純粹的推理，靠思考與悟性，感覺和記憶對于數學只有間接作用，而情緒在數學里完全用不著，所以學習數學必須首尾貫注，一絲不茍，把全部了解才行。一個經過數學思維熏陶的人，其思維更具有邏輯性，而善于理性思維的人，往往更具有創新思維，在工作中足智多謀，游刃有余;相反，不善于獨立思考的人，往往人云亦云。

總之我們要在學習數學的過程中，感受數學的力量，體會數學的美，領悟數學的思想方法，并學會應用數學解決遇到的實際問題。不管是打算將來以數學研究及數學教育為事業的人，還是準備從事自然科學及工程，或者文學、藝術、政治經濟或其他方面的人等，都得把數學學好。

四、《算學學習法》中所體現的數學教育思想

1.重視數學觀和數學學習興趣的培養。

數學觀，即對數學的看法和理解，任何人在研究數學之前都要弄清楚“什么是數學”和“數學的價值”等問題。它直接影響學生學習的態度，影響數學教師的教學思想。

《算學學習法》開篇便是“數學的重要性和有用性”，其中寫到，算學是研究數量和空間的科學，世界上一切東西都有數量可稽，都占據一定的空間，可見算學無所不在，無所不包，進而舉例說明，可以看出數學是“科學界的女王”，從而激起讀者對數學的崇拜和濃厚的興趣。那么數學既然這樣有用而又這樣重要，所以每個人都得學習它，應用它，并企圖進一步發展它，這就要求我們必須在中學時代打好基礎，激發學生對中學數學學習的興趣。

書中第二節寫到數學的特點—數學沒有假的。算學像一座大建筑物，壁壘森嚴，每一部分都是必要的。算學又像是有組織的軍隊，異己分子是參雜不進去的。所以我們學習數學，這給予我們一種精神上的訓練，訓練我們的思維及行動必須系統，精密嚴正而完整，做事有根據合邏輯。而這種習慣在生活和學習中都很重要，可見學習數學的重要。那么它究竟是什么樣的科學？這么獨特又這么重要？從而激發了學生對數學學習的興趣，想進一步了解它，研究它。

書中還多次提出興趣的重要性。比如有些人認為自己天生不愿意學習數學，其原因可能是一開始對數學有了壞的印象，從而失去興趣，不努力去學導致的。再比如有些人見了數字就害怕也是因為他對數字沒有興趣。可見數學學習興趣對數學學習至關重要。

本書講到數學游戲對于數學的正規學習是很有幫助的，它可以增進學生的興趣，啟發對于數學的好奇心，使人不知不覺地跨入數學的領域。不論是有沒有受過教育的人，對于數學上奇妙有趣的問題總是樂于加以思索，能夠得著正確的解答就感到莫大的快樂，這是基于人類共同的求知欲和創造欲，我們如果能把這因勢利導，對數學教學大有益處。我們注重的不在于猜謎似的去猜出數學游戲的答案，而在于用正確的數學理論導出解答來，譬如流行的一首歌謠“一百饅頭一百僧，大僧一人得三個，小僧三人一個分，問有幾多饅頭幾多僧？”這是個很有趣的數學問題。我們可以設大僧x人，則小僧就有（100-x）人，則有 解得x=25，所以大僧25人，小僧75人。數學游戲不僅可以提高數學的趣味性，而且還能表示出數學的推理方法及應用。雖然是游戲題，但我們還得把它看成同正式題一樣做，數學可以用在游戲上，但游戲卻不能用在數學上。

2.關注學生數學學習心理。

現代教育心理學認為，學生的學習心理決定學習的效果，學生的學習活動是智力因素和非智力因素共同參與的過程，學習效果是兩種因素相互作用的產物。學生數學學習心理表現成為影響數學教學質量的一個重要因素，調查結果顯示在數學差生中，40%是由智力因素造成的，由非智力因素造成的占57%。傳統的數學教學注重向學生傳授數學知識，忽視對學生學習心理的研究。余介石在《算學學習法》中已經意識到關注數學學習心理，克服數學學習心理障礙對數學學習起到的積極作用。文中對于學生認為的“學習數學是苦事和難事”，“天生不進數學”，“見了數字就害怕”等問題予以了詳細的講解。

2.1數學學習并非苦事也并非難事

我們常常聽到有人說我見到數學就頭痛，或者說數學是最難學的一門功課。果真數學是這樣難學可怕嗎？實際上并不是這樣。如果說學習數學很苦很難，那么學習別的課程何嘗不苦何嘗不難？學英語要記單詞和語法，語文要學作文，史地要記人名、地名、年代等等，甚至音樂畫畫都得記五線譜，學寫生。嚴格來說，任何一門學問或藝術，在學習過程中都得經過一番刻骨的訓練，而各種課程的學習，也各有其特殊困難之點。不過這些困難都不是不可超越的絕對困難，這些只是相對的困難，是在發展過程中難以避免的困難。大家想必都有這種經驗，經過了艱難的困苦，到后來自然會感到無上的樂趣，足以把學習時的努力與辛苦抵償而有余。譬如把一個難題找到解答，或者把一條較為深刻的定理了解清楚，那時就感到有說不出的愉快。又如我們打破從算術到代數的難關，回過頭來弄算術，就感到較以前容易得多。所以苦樂是相生的，難易是相成的，而苦后之樂，難中之易，卻要超過原來的苦與難，這無論是在讀書、做事都是如此，不獨在學習數學才這樣。

總結起來說，數學學習不是一件絕對困難的事，當然也不是絕對容易的事。數學正和我們所學的別的科目相仿，也并不比別的科目特別困難，只是各科有各科的特殊困難點就是了。學習就像爬山一樣，我們向山上爬去，自然是很費力的，但越爬得高越能看到前所未有的美景，我們自會覺得心曠神怡。但如果我們只是站著不動而空想向上飛騰，這當然絕對不可能的。勞而后獲這條規律，無論在哪里都適用。

2.2所謂“天生不近數學”

有人說，“我很知道數學并不是絕對地難學，因為別的人能夠學的很好，可這在我這卻又是另一回事，我天生學不會數學啊。”固然各人都有特長和所短，智力的發展在一切方面并不一致，這我們是承認的，可是某個人的天性對于某件事到底近不近卻不是一下子就可以決定的。一般說起來，對于數學有很好的天資的人固然很少，但反過來說，對于數學學習能力極低的人也占很少數。多以主要是后天的問題，先天的問題只對于極少數一部分人才值得注意。許多自以為對數學天性不近的人，實際上十有七八是被自己欺騙了，他們有的是因為在開始就得到壞的印象，從而失去興趣，不努力去學;有的是因為學習方法不當，如學幾何只是拼命背定理，學代數只是帶公式或硬記書上的方法，雖努力而難有效果;有的是因為在學習的過渡階段沒有轉換好，或跳過必要的階段，如從算術到代數，從代數到幾何的轉換過程中沒有弄清楚各部分的特征或特殊方法，或者學習三角而跳過幾何，這樣就難于繼續學習去。因為這些原因以及其他的原因就感到失望和灰心，但又不明了原因所在，或者知道了原因而不能克服，于是只得一半自慰一半自嘲地說，“我天生不近數學”，其實這種態度也就是自暴自棄的態度。即便是真的天生不近數學，對數學學習能力很低的人，對于數學也絕對不應該完全放棄。讓我們舉個例子，是否有人天性不近于說話？是否有人天生不近于寫文章？有的，有些口才拙，文思差的人就是，可是沒有口才的人雖然雖不能成為演說家，欠缺文思的人雖不能成為文人，他們無論如何總得會日常用語，以及書信，寫便條。他們雖然不近天性，但必須努力學習起來，達到社會所需最低限度的水準以上。同樣對于天生學不會數學的人也一樣，我們并不是要求大家都成為數學家，正如并不是要求大家都成為演說家或文人一樣，這讓一部分特殊的人去做好了，但我們每個人必須具備最低限度的數學知識及技能。隨便說幾樣，我們必須會計算加減乘除，會比例及簡單的方程式，會計算簡易的面積、體積，會了解并運用簡易的表格及圖解等等。這是社會所要求每個人特別是受教育的人中，知識條件的一部分。

2.3不要見了數字就害怕

為什么有些人會害怕數字呢？主要是因為他們對數字不習慣，并對這沒有興趣。他們對于數字抱有錯誤的概念，認為數字是干枯的、死板的、抽象的東西。他們不知道數字和文字一樣，可以是死的，呆的，但也可以是活的，有意義的。一篇文章里如果只有“人生于世”、“今天”、“明天”之類的語言，自然誰見了都會頭痛;做算術習題如果只做“3+5=8”，也使人久久生厭。可是我們如果提到“2018年調研研究顯示，我國中小學兒童青少年總體近視患病率已高達53.6﹪”，這個53.6﹪就不是空洞的數字，而是極有意義的，足以使人警惕。我們學習數學的目的，不是玩弄抽象的數量，在數字里面翻筋斗，而是使我們數量的關系及運算，能夠把這些應用于實際方面。雖然我們在數學里常常遇到抽象的數字，但這些只是供演習用，等我們演習的相當熟練，就應該把數字和實際的事物聯系起來，同時也就是把數學與生活打成一片。這樣我們不但不害怕數字，反而更喜歡數字，數字也就變得有意義。

3.體現數學各分科的相互聯系

數學是最有系統最為嚴密的學問，雖然在數學中分成各部門，可是這些部門并不是支離割裂各不相關的，而是相互關聯，互相連帶，稱為統一整體的。

我們知道，代數是普遍化的算術，而三角是幾何的一個特殊部門，所以代數與算術，幾何與三角，在相互間有著密切關系，所以的算術問題都可以用代數的方法來做，而有些代數題也可用于算術的方法，全部三角在其根本上必須用幾何來作為證明，而有些幾何題用三角函數來解卻更為簡便。至于代數與幾何，雖然是一個研究數量，一個研究圖形，表面上看來似乎是各不相關的，但數量與圖形在數學中卻是兩種相對應的元素，可以互相表示。這在解析幾何及其他的高等數學有詳細的探討，比如我們學習的解析幾何，就是用解析的方法來研究幾何的圖形。

在初等數學里，我們也有好多地方講到圖形與數量的關系。比如 這公式，就可以用一大一小兩個正方和相等兩個長方形合在一起組成一個更大的正方形來表示，如圖：

大正方形的面積等于兩個小正方形的面積加上兩個長方形的面積，平方和公式也就一目了然。

我們既然了解數學各部門的聯系性，就應該活學活用，在研究某一部門的時候，最好能用別的部門作為參照，在使用某種方法解答問題以后，最好能用別的方法再做一次，這不僅有趣，而且對于學習數學是非常有益的。

五、結束語

由于數學本身的嚴謹性，抽像性和廣泛性等特點，學起來確實不那么容易，這就需要一代代數學家和數學教育者潛心研究和掌握正確的教育思想方法，幫助學生習得有效的學習方法，并對數學知識應用于實際。