以問題解決之“形”，促思維生長之“神”

繆美媛

【摘 要】“在問題解決后繼續前進”，不僅能夠充分發掘習題的價值，更能有效提升學生的思維。因此，問題的解決，不僅僅是為了鞏固學生原有的認識，更重要的是使學生獲取更一般的策略，形成新的認知，有效地發展數學思維。本文從“進行恰當追問，深化原有的知識結構;回顧解題過程，提升解決問題的水平;反思解題結果，優化解決問題的策略;分析錯誤根源，生成新的教學資源”這四個方面闡述了以問題解決之“形”，促思維生長之“神”的具體做法。

【關鍵詞】問題解決 深化認識 提升思維

“在問題解決后繼續前進”不僅能夠充分發掘習題的價值，更能有效提升學生的思維。但是在實際教學中，很多教師對這一點的認識遠遠不夠，在處理習題時，往往只滿足于學生獲得正確的答案。

數學教育家波利亞說過：“即使相當好的學生，找到問題的答案并寫出漂亮的答句之后，就合上書本找點別的事情來做，這樣他們就失去了一次自我提升絕佳機會。” 確實如此，很多情況下，學生在問題解決的過程中，會帶來一些零散的、模糊的、感性的認識，但“問題解決”的能力并沒有獲得相應的提升。因此，在問題解決之后繼續前進，不僅僅是為了鞏固學生原有的認識，更重要的是使學生獲取更一般的策略，形成新的認知，有效地發展數學思維。

一、進行恰當追問，深化原有的知識結構

數學問題解決的過程往往伴隨著對數的概念抽象和數量關系的建構。在解決問題的過程中，學生并不一定都是進行理性思考，很多時候依賴的是直覺和對例題的簡單模仿。如果教師能夠在學生解決問題之后，適時適當地追問，把習題和本節課的學習內容相結合，讓學生不斷地思考、交流，學生就會在思考的過程中，深化對原有知識結構的認知。

在蘇教版數學三年級下冊“認識分數”的教學中，筆者設計了3個核心問題，讓學生自主探索：

第一個問題：“8個桃子平均分成4份，每份是幾分之幾？”（如圖1）學生下意識地得到了“，，”三種不同的答案，產生這樣的疑惑和分歧是在筆者意料之中的。學生形成認知上的沖突，就會迫不及待地想通過動手操作來驗證，并在操作驗證中明確解決問題的方法。經過操作，學生進一步清晰地感知了“一個整體”的含義。

緊接著，課件中隱去8個桃子和虛線（如圖2），筆者提問第二個問題：“想一想，你會表示8個桃子的之外，還會表示多少個桃子的？”這個問題是對“一個整體”這個概念的擴展。問題剛一拋出，學生就紛紛表達自己的想法，有的說“20個桃子的”，有的說“28個桃子的”，還有的說“一筐桃的”“一車桃的”，等等。

圍繞這幅圖，筆者提出第三個問題：“無論是多少個桃，只要怎樣就可以得到這些桃的？”學生回答道：“無論多少個桃，都可以看成一個整體，只要把這個整體平均分成4份，表示這樣的一份，就可以用這個分數來表示。”學生在回答的同時，添加虛線，并顯示（如圖3）。通過以上的操作和建模，學生已經拋卻了分數的非本質屬性。盡管整體個數在不斷變化，但只要是平均分成4份，表示這樣的1份，就可以用來表示，這樣的總結說明學生已經清晰地建立了“一個整體的”這一分數的概念，初步形成了分數的模型。在變中尋求不變，為學生理解分數的本質屬性奠定了良好的基礎。

二、回顧解題過程，提升解決問題的水平

弗賴登塔爾認為，數學的發現來自直覺，而分析直覺理解的原因是通向證明的道路。這就是說：學生在問題解決的過程中獲得的經驗，必須借助回顧反思，才能有意識地思考問題解決背后潛藏的數學實質，學生的思維才能真正深入到數學化的過程之中，才能有效地提高學生問題解決的水平。

基于課標“四基”的要求，在三年級下冊《長方形和正方形的面積計算》這節課的設計時，筆者著重思考了以下兩個問題：

（1）長、正方形面積計算公式的獲得，學生該經歷怎樣的學習過程？

公式的背后，濃縮了一系列的操作推理過程。是讓學生實際測量后歸納和驗證，還是引導其逐步深入地操作、想象、推理、歸納？毋庸置疑，體驗的深刻必然促進理解的深入。基于此，在充分把握了長方形面積公式本質的基礎上，依據學情，本節課精心設計了難度漸增的三個層次的探索活動，引導學生主動探索、自主發現面積公式：第一層次，同桌合作用1cm2的小正方形直接測量1號長方形的面積;第二層次，1個小正方形都不能用，測量出2號長方形面積;第三層次，想象計算，逐步抽象出長方形的面積公式。

（2）除了收獲一個計算公式，這節課學生還能收獲些什么？

公式的獲得當然是本節課的主要目標，但是，教學也不能僅僅止步于知識技能的習得。除此之外，我們還能給學生些什么？結合公式的探索過程，通過幾個小環節的引導梳理，本節課，還著力讓學生感受了“簡單入手—發現規律—總結方法”這一數學問題解決方法，從而為學生今后的學習埋下研究的“種子”，長方形的面積計算成了學生后續學習中知識和方法上的雙重“跳板”。

基于以上思考，在課末，筆者引導學生反思：“這節課你有什么收獲？”學生們紛紛發表觀點。一個學生說：“我學會了求長方形和正方形的面積方法，長方形的面積=長×寬，正方形的面積=邊長×邊長。”另一個學生說：“我不僅學會了怎么計算面積，我還知道了研究問題，可以從簡單的開始。”還有一個學生說：“我知道了研究問題要多找幾個例子，經過觀察、實驗、數據分析和思考，就能找到里面的奧秘。”……雖然學生的語言是稚嫩的，但是思考卻越來越深刻了。今后，學生再遇到此類問題，就可以進行方法和思想的遷移，這種能力具有生長力，學生解決問題的能力在回顧中獲得了實實在在的提高。

三、反思解題結果，優化解決問題的策略

學生的探究呈現出不同的結果，這就反映出學生思維水平的不同。教師既要關注結果的正確與否，更要借助結果的表達，透視學生的思維，進而提升學生的思維，優化解決問題的策略。

學生在認識了因數和倍數后，接下來就要研究一個數的因數和倍數。筆者出示例題：寫出36的所有因數。

首先放手讓學生嘗試去寫，在巡視時有意識地尋找學生的答案。在交流反饋中呈現學生三種不同寫法：

（1）36的因數有：3，9，12，6，4，36，1;

（2）36的因數有：1，36，2，18，3，12，4，9，6;

（3）36的因數有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。

然后把三份學習單的答案放在投影上，問：“你知道三位同學是怎樣想的嗎？”讓所有學生一起反思他們的思考。在交流中學生逐漸認識到：第一種方法是想到一個寫一個，思維比較亂，這樣容易遺漏;第二種方法是一對一對地找，先想1×幾，再想2×幾，接著3×幾，找的時候還很有順序，這樣就不會遺漏;第三種方法也是一對一對地尋找，但它比第二種方法更好，好在寫完后，所有的因數是按從小到大的順序排列的，是怎么做到的呢？原來是在寫的時候一前一后，這樣就排成了一組從小到大排列的數，顯得更加有序。在這樣的反思中，學生逐步形成了“成對尋找”“分組書寫”“有序思考”的策略。

四、分析錯誤原因，生成新的教學資源

在學習的過程中，學生犯錯誤是在所難免的。犯錯并不是一件壞事，一些典型的錯誤如果能夠及時地捕捉，反而會成為非常好的教學資源，讓課堂有“生成”的精彩，并起到防微杜漸的作用。因此，在課堂教學中，教師要鼓勵學生真實地表達自己的想法，并引導其他學生共同分析錯誤的原因。

教學蘇教版數學四年級下冊《軸對稱圖形》一課時，筆者呈現了長方形、正方形、平行四邊形、圓，一起探究這些平面圖形是不是軸對稱圖形。在研究到平行四邊形時，學生產生了分歧：大部分學生認為平行四邊形是軸對稱圖形，只有極少學生則認為平行四邊形不是軸對稱圖形。

隨即，筆者問：“口說無憑，你怎么說服同學？”這時，一個學生拿出一個平行四邊形，通過對折說明了平行四邊形不是軸對稱圖形。其他學生仍有疑問：“換個方向再對折也許可以重合。”于是，學生們嘗試了將平行四邊形朝多個方向對折，發現仍然不能完全重合，這才形成了一致的結論：平行四邊形不是軸對稱圖形。

而筆者卻沒有就此止步，而是引導全班學生思考：“為什么剛才很多同學會把平行四邊形誤認為是軸對稱圖形？”學生反思自己的思考，有的說：“因為我沒有操作，是憑感覺的。”有的說：“沿對角線對折，兩邊的形狀和大小完全相同。”還有的說：“沿對角線對折，感覺會重合。”筆者接著說：“從剛才這些同學的回答中，你得到了什么啟示？”學生紛紛舉手發言，有的說“判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，不能憑感覺，而要借助對折，看一看對折后兩邊的圖形能不能完全重合。”有的說：“即使對折后兩邊的圖形形狀、大小都相同，也不一定是軸對稱圖形。”還有的說：“很多圖形看起來像軸對稱圖形，但不一定是。”“數學不能憑感覺做出判斷，而要真正深入地去思考。”……由此可見，很多貌似粗心的錯誤，如果做進一步的分析，往往都能找到更深層次的原因，或是認知層面的，或是思維層面的，或是心理層面的。教師有意地回避錯誤或者無視錯誤也就在無形中浪費了一次絕佳的教育契機和一個絕好的教育資源。

綜上所述，筆者認為數學教師絕不能滿足于在問題解決之后，只給學生一個正面的肯定，而要深入鉆研問題，挖掘問題蘊含的教學價值，更要細致觀察學生的解答過程，準確把握學生的思維水平，設計恰當的問題，做出恰當的引領，使每一個學生都能夠借問題解決之“形”，促思維生長之“神”。