關于魏爾斯特拉斯在數(shù)學分析中的兩個重要貢獻

高 義

(北方民族大學數(shù)學與信息科學學院，寧夏銀川 750021)

0 引言

魏爾斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)是世界上著名的領軍數(shù)學家之一，由于在柯西(Cauchy，1789-1857)、阿貝爾(Abel，1802—1829)等開創(chuàng)的數(shù)學分析的嚴格化潮流中，以ε-δ語言系統(tǒng)建立了實分析和復分析的基礎，被譽為“現(xiàn)代分析之父”[1].他在冪級數(shù)理論、實分析、復變函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、無窮乘積、變分學、雙線型與二次型、整函數(shù)、橢圓函數(shù)論等諸多領域中做出了偉大的貢獻.在大學《數(shù)學分析》教材中，魏爾斯特拉斯的名字多次出現(xiàn)，令人印象深刻，如魏爾斯特拉斯致密性定理，即有界數(shù)列必有收斂子列；關于函數(shù)一致收斂的魏爾斯特拉斯判別方法；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理；處處連續(xù)但處處不可導函數(shù)的例子；魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理等.魏爾斯特拉斯值得世人無比敬仰的另一個原因是他的鍥而不舍的精神，他40歲之前無人知曉，從大學畢業(yè)就在鄉(xiāng)村中學教書，只是一個默默無聞的中學老師，盡管教學任務多么繁重，條件多么艱苦，他從沒有放棄對數(shù)學的研究，其數(shù)學成果終于在他40歲之后獲得世人的矚目[2].魏爾斯特拉斯不僅在數(shù)學研究上做出了影響深遠的工作，而且在教學上也成績斐然，并培養(yǎng)了大批的著名數(shù)學家，如耳熟能詳?shù)目峦吡蟹蛩箍▼I(Kovalevskaya，1850-1891)、閔可夫斯基(Minkowski，1864-1909)、斯托爾茨(Stolz，1842-1905)、施瓦茨(Schwarz，1843-1921)、赫爾德(H?lder，1859-1937)、米塔-列夫勒(Mittag-Leffler，1846-1927)等[1-3].

魏爾斯特拉斯構造的處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)[3,4]無疑顛覆了人們對函數(shù)的認識觀，直到現(xiàn)在對于很多不從事大學數(shù)學教學和研究的人也感到不可思議.魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理[5,6]更是奠定了逼近論的基礎，其意義超越了連續(xù)函數(shù)可以由多項式函數(shù)逼近的這一重要發(fā)現(xiàn)的本身，使人們進一步認識到可以通過簡單的可計算函數(shù)逼近或表征復雜的函數(shù).然而，對于這兩個非常重要的工作，由于證明稍有難度和教材篇幅的限制，國內(nèi)鮮有教材在大學本科階段對其進行詳盡的介紹和證明.若不稍加引導的話，學生對這兩個工作往往不能夠引起足夠的重視.事實上，這兩個工作對于具有一定數(shù)學分析基礎的同學是不難理解的.本文主要介紹魏爾斯特拉斯在數(shù)學分析中的這兩個重要工作.首先，對魏爾斯特拉斯構造的第一個處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)給出了文獻[4]中的證明方法；其次介紹魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理，給出魏爾斯特拉斯第二逼近定理的一種構造性證明方法，進而借助文獻[6]的方法闡明了魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理的等價關系.論文對了解魏爾斯特拉斯在分析學上的貢獻有一定借鑒意義，同時對逼近論初學者有一定參考價值.

1 處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)

在微積分誕生初期乃至誕生后的兩個世紀里，人們曾直觀地認為連續(xù)函數(shù)在其定義域中不可導的點至多是可數(shù)集，很難想象處處連續(xù)處處不可導函數(shù)的存在性.然而，直到1872年，魏爾斯特拉斯構造出了一個處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)，才徹底改變了人們對連續(xù)函數(shù)的認識，引起了數(shù)學界的極大震動[3,4].此后，大量的處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)被構造出來，稱之為魏爾斯特拉斯函數(shù).進一步，人們從集合的觀點分析，魏爾斯特拉斯函數(shù)所構成的集合是第二綱集[7-9]，這意味著這樣的函數(shù)不僅存在而且有很多，遠遠多于我們常見的初等函數(shù)，對這些函數(shù)的性質(zhì)特別是幾何意義的研究也直接推動了分形幾何的創(chuàng)立[10-12].另外，魏爾斯特拉斯函數(shù)也廣泛應用于隨機過程的研究，如對布朗運動軌跡的刻畫.本節(jié)主要介紹歷史上第一個被發(fā)表的魏爾斯特拉斯函數(shù)，并給出文獻[4]中對該函數(shù)處處連續(xù)處處不可導的證明方法.

1.1 魏爾斯特拉斯函數(shù)

1872年，魏爾斯特拉斯構造出如下的函數(shù)[3,4,7,13]:

(1)

1.2 魏爾斯特拉斯函數(shù)性質(zhì)的證明

定理1.1函數(shù)(1.1)在實軸上處處連續(xù)處處不可導.

證明：這里的證明主要基于文獻[4]的方法.由于

|bncosanπx|≤bn

固定x∈(-∞,+∞)，對每個正整數(shù)m，令αm是一個最接近amx的整數(shù)，并且令

xm=amx-αm

(2)

(3)

(4)

因此，有

ym

考慮

(5)

首先估計第一項I，對于n=0,1,…,m-1，利用微分中值定理，得

(6)

其次，估計第二項J.因為a是一個正奇整數(shù)，αm是一個整數(shù)，則有

cos(an+mymπ)=cos(anπ(αm-1))=(-1)αm-1

(7)

(-1)αmcos(amxπ)+1=(-1)αmcos((xm+αm)π)+1=cos(xmπ)+1≥1.

這樣，

(8)

因此

(9)

即

|I|<|J|

(10)

結合式(6)和(9)，則有

其中β>0.因此

由x∈(-∞,+∞)的任意性，知f(x)在(-∞,+∞)處處不可導.

注1.1 最新的文獻[14]給出了上面類似的證明.

注1.2 文獻[3,15-17]討論的是關于荷蘭數(shù)學家Van der Waerden于1930年給出的處處連續(xù)處處不可導函數(shù)的例子的證明，該函數(shù)寫為:

(11)

2 魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理

設C[a,b]表示閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)全體，C2π表示以2π為周期的連續(xù)函數(shù)全體.1885年，魏爾斯特拉斯首先指出用多項式逼近連續(xù)函數(shù)是可能的，后人稱之為Weierstrass逼近定理.

定理2.1[6]若f(x)∈C[a,b]，則對于任意給定的正數(shù)ε，都存在代數(shù)多項式p(x)，使得對于一切x∈[a,b]，滿足不等式

|f(x)-p(x)|<ε

(12)

定理2.2[6]若f(x)∈C2π，則對于任意給定的正數(shù)ε，都存在三角多項式t(x)，使得對于一切x∈(-∞,+∞)，滿足不等式

|f(x)-t(x)|<ε

(13)

定理2.1被稱為魏爾斯特拉斯第一逼近定理，定理2.2被稱為魏爾斯特拉斯第二逼近定理，這兩個定理在數(shù)學分析中具有非常重要的地位，著名逼近論專家A.F.Timan對魏爾斯特拉斯逼近定理曾這樣評價[4]:

The basis of the theory of approximation of functions of a real variable is a theorem discovered by Weierstrass which is of great importance in the development of the whole of mathematical analysis.

關于定理2.1和定理2.2的證明有很多文獻專門討論過，一般利用分析法和構造法去證明，經(jīng)典的構造法如借助伯恩斯坦(Bernstein)多項式證明定理2.1，借助費耶(Fejér)和證明定理2.2，我們將結果寫作如下.

定義2.1[5]若f(x)∈C[0,1]，稱多項式

(14)

為f(x)的n次Bernstein多項式或Bernstein算子.

定理2.3[5]若f(x)∈C[0,1]，則Bernstein算子Bn(f;x)在[0,1]上一致收斂于f(x).

關于定理2.2的證明，有如下的構造方法.

定義2.2[19]若f(x)∈C2π，稱積分

(15)

為Fejér和或Fejér算子.

定理2.4[19]若f(x)∈C2π，則Fejér算子σn(f;x)在全實軸上一致收斂于f(x).

本節(jié)主要在已有文獻的基礎上，借助瓦勒·布然(Vallée Poussin)算子對定理2.2給出另一種構造性證明.同時，討論了定理2.1和定理2.2之間的等價性.

2.1 定理2.2的證明

首先，我們引進Vallée Poussin算子.

定義2.3[5,6]若f(x)∈C2π，稱積分

(16)

為Vallée Poussin算子.

顯然，該算子為C2π到其自身的正線性算子，關于正線性算子的定義參見文獻[6].利用變量代換，算子Vn(f;x)亦可寫為:

(17)

注意到

(18)

則不難得到關于Vn(f;x)的如下性質(zhì).

引理2.1 設Vn(f;x)為Vallée Poussin算子，則

(1)Vn(1;x)=1；

(19)

(20)

(21)

為證明定理2.2，還需要引進柯羅夫金(Korovkin)定理.

定理2.5[20]設Ln(f;x)是C2π上的正線性算子序列，下列三條件滿足：

Ln(1;x)=1+αn(x)，Ln(cost;x)=cosx+βn(x)，Ln(sint;x)=sinx+γn(x)，

其中αn(x),βn(x),γn(x)在全實軸上一致收斂于零，那么對于任一f(x)∈C2π，Ln(f;x)在全實軸上也一致收斂于f(x).

定理2.6 若f(x)∈C2π，則Vallée Poussin算子Vn(f;x)在全實軸上一致收斂于f(x).

證明：由引理2.1知，Vn(1;x)，Vn(cost;x)，Vn(sint;x)在全實軸上分別一致收斂于1，cosx，sinx，于是由Korovkin定理知Vn(f;x)在全實軸上也一致收斂于f(x).

注2.1Vallée Poussin算子可以充當定理2.2所要求的三角多項式.

2.2 定理2.1和定理2.2的等價性

一個自然的問題是，定理2.1和定理2.2有什么本質(zhì)的聯(lián)系？事實上，二者是等價的，等價性的證明參見文獻[5,6].

定理2.7 魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理是等價的.

證明：這里的證明主要基于文獻[6]的方法.首先說明由定理2.1可以推出定理2.2.設f(x)∈C2π是個偶函數(shù)，則g(t)=f(arccost)是[-1,1]上的連續(xù)函數(shù)，此處arccost取主值.對任意給定的ε>0，由定理2.1，存在多項式p(t)滿足

|g(t)-p(t)|<ε，t∈[-1,1]

于是

|f(x)-p(cosx)|<ε，x∈[0,π]

由于f(x)與p(cosx)都是周期為2π的偶函數(shù)，所以上式在整個實軸上成立，而且p(cosx)是一個三角多項式，這說明定理2.2對偶函數(shù)成立.

對于一般的情形，令

h1(x)=f(x)+f(-x)，h2(x)=(f(x)-f(-x))sinx

(22)

容易看出h1(x)與h2(x)都是周期為2π的偶函數(shù).根據(jù)已經(jīng)證明的部分，對任意給定的ε>0，有三角多項式t1(x)與t2(x)，使得對于一切x∈(-∞,+∞)，適合

|hi(x)-ti(x)|<ε，i=1,2

所以

|h1(x)sin2x-t1(x)sin2x|<ε

(23)

|h2(x)sinx-t2(x)sinx|<ε

(24)

于是，有

|2f(x)sin2x-t3(x)|<2ε

(25)

(26)

因為上式是在全實軸上成立，所以

(27)

結合式(25)和(27)，有

(28)

|f(x)-t(x)|<ε

成立.

其次，證明由定理2.2可以推出定理2.1.設f∈C[-1,1]，則f(cost)是周期為2π的連續(xù)函數(shù)，由定理2.2，存在三角多項式T(x)使得

|f(cost)-T(t)|<ε， -∞

以-t代換變量t，有

|f(cost)-T(-t)|<ε

于是有

(29)

于是

(30)

即有

(31)

最后，說明在一般的閉區(qū)間[a,b]上定理2.1也成立.這里，只要利用一個變換即可:

這樣，若f(t)∈C[-1,1]，則f(x)∈C[a,b].

3 結論

本文主要討論了魏爾斯特拉斯在數(shù)學分析中的兩個偉大貢獻，一個是關于處處連續(xù)但處處不可導函數(shù)的構造，另一個是魏爾斯特拉斯基本逼近定理.論文對逼近論初學者有一定參考價值.