基于分步優化的區間模型修正方法

秦仙蓉 陸慧澄 張曉輝 孫遠韜 張 氫

同濟大學機械與能源工程學院 上海 201804

0 引言

工程機械在國家現代化發展和城鎮化建設中扮演著十分重要的角色。建立結構有限元模型，代替制造周期長、成本高昂的實物模型進行性能監測以保證其結構安全十分常見[1]。在建立有限元模型的過程中，通常會對一些設計細節進行一定的假定和近似處理，這會造成有限元模型與實際結構存在差異[2]。因此，有必要進行有限元模型修正，使計算得到的響應值與實測值趨于一致，以提高精度。

對于機械結構而言，由于設計制造、裝配及連接方式的不同等原因，會造成機械結構的模態指標呈現一定的分散特征，故在工程實際中考慮不確定性問題對模型修正有重要意義。若結構參數為區間不確定參數，則機械結構的模態頻率也為區間值，求解這種含區間參數的模態頻率問題即為模態頻率的區間分析問題。姜東等[3]在假設參數不確定性范圍較小的情況下，推導了參數中值和參數半徑的迭代公式，并對復合材料板結構進行區間修正。方圣恩等[4]結合響應面模型和區間算法提出了區間響應面模型，解決了區間運算過程中的區間擴張問題，并通過區間響應的上下界建立優化目標函數，避免了復雜的區間參數靈敏度計算，提高了修正效率。駱勇鵬等[5]利用二次多項式響應面和模態區間分析理論，提出了區間逆響應面修正方法，修正結果表明該方法可有效控制區間過估計現象，且計算效率較高。秦仙蓉等[6]基于Kriging替代模型及多目標遺傳算法對岸邊集裝箱起重機結構進行了不確定性有限元模型修正。姜東等[7]基于攝動法，針對參數不確定性較小的模型修正問題，推導了待修正參數均值和協方差矩陣的迭代格式。杜永峰等[8]提出了一種小波Shannon熵與最小標準差相結合的方法對復Morlet小波的中心頻率與帶寬參數同時進行優化，其優化后可準確地識別結構的密集模態參數，并且具有一定的抗噪性能。

本文提出以分步優化策略和區間分析方法為核心的模型修正方法，將區間修正轉化為中值修正與半徑修正分步進行，提高修正效率，在半徑修正中采用區間攝動法和Chebyshev多項式法提高修正精度。并將上述方法與替代模型相結合，解決了該方法應用于復雜有限元模型修正時重復調用有限元模型浪費時間成本的問題。通過三個算例驗證了本文方法的合理性以及精度。

1 不確定性模型修正方法數學模型

若有n維區間參數向量x={x1，…，xi，…，xn}，根據區間分析方法將其分解為中值向量xc與半徑向量Δx和的形式，即

式中：e∈[-1，1]，δx∈[-Δx，Δx]。

本文提出的區間模型修正方法的核心策略是分步優化，先修正參數中值，再基于修正后的參數中值，修正參數半徑，最終得到參數區間。該法將區間修正問題轉化為求解參數中值和參數半徑的優化問題。

參數中值修正的目標函數為

式中：fc為參數中值優化目標函數，xc為參數中值，和分別為有限元模型和實測的固有頻率中值，m為參與修正的模態階次，LBc和UBc分別為參數中值優化時約束優化所設置的上下界。

參數半徑修正的目標函數為

式中：fr為參數半徑優化目標函數，Δx為參數半徑，和分別為有限元和實測的模態頻率半徑，m為參與修正的模態階次，LBr和UBr分別為參數半徑優化時約束優化所設置的上下界。

結合圖1所示的基于分步優化的區間模型修正流程圖對修正過程進行描述：1)選取有限元模型修正變量，并構建初始區間；2)通過數值計算的頻率響應區間和實測的頻率區間分別構建參數區間中值和半徑的優化目標函數；3)通過一次確定性修正對參數中值進行修正優化；4)通過2種區間分析方法對參數半徑進行不確定性修正優化；5)得到參數區間，完成修正。

圖1 基于分步優化的區間模型修正流程圖

2 區間分析方法

在修正參數半徑時，本文引入基于區間攝動法和Chebyshev多項式的區間分析方法對式(3)所示的目標函數進行求解，其中區間攝動法能有效地提高修正效率，Chebyshev多項式在區間范圍內具有最佳平方逼近的性質，通過在區間范圍內進行插值計算可近似得到輸出的區間范圍，且精度高[9]。

2.1 基于區間攝動法的區間分析法

區間攝動法[10]的核心是函數一階泰勒展開，它僅需計算響應在某一點處偏導數矩陣，無需進行多次有限元計算來判斷頻率的上下界。

將響應f在區間參數中值xc處進行泰勒級數展開，若x的變化區間較小，僅保留其常數項和一階項[11]，如式(4)所示

對于式(4)中的偏導數矩陣求解問題，常需要先行求解剛度矩陣和質量矩陣的偏導數矩陣。然而對于復雜的機械結構而言，其剛度和質量矩陣無法得到[12,13]。本文利用中心差分法來近似求解響應對參數的偏導數矩陣?？梢缘玫巾憫獏^間的半徑為

2.2 基于Chebyshev多項式的區間分析法

Chebyshev多項式[14]無需知道參數與頻率的單調性關系，可通過求解張量積得到Chebyshev多項式系數，再基于插值點和多項式公式得到頻率的區間范圍。

對于區間變量xI，則f(x)的Chebyshev多項式區間表達為

式中：k為Chebyshev多項式階次，θI=[0，π]。

因此，函數f(x)的求解問題轉換成求解其Chebyshev多項式系數fi的問題，根據Chebyshev基函數的正交性和Gaussie-Chebyshev積分公式可得

式中：xj為Chebyshev多項式的插值點，xj=cosθj(j=1，2，…，p)；p為插值點數量，p=k+1。

上述將函數f(x)展開成Chebyshev多項式是一維問題，即只有一個區間不確定性參數。對于有n個區間不確定性參數而言，其Chebyshev多項式可利用n個一維Chebyshev多項式的張量積形式來構造，即

式中：θi=arccosxi∈ [0，π]。

則n維k階Chebyshev多項式的公式為

根據式(6)將式(9)轉化成區間函數形式

式中：fi1,…,in為Chebyshev多項式系數，l為Ci1,i2,…,ik下標中含0的個數。

可得響應區間的半徑

3 均勻簡支梁數值算例

本節采用一根均勻簡支梁[15]作為數值算例，如圖2所示。并與其他文獻中的區間模型修正方法進行了對比。

圖2 均勻簡支梁結構

均勻簡支梁的各參數的取值如表1所示。

表1 均勻簡支梁結構參數

根據文獻[15]的靈敏度分析結果，選取梁的密度和截面寬度作為不確定性待修正參數。假設兩個參數的真實區間為[2 125, 2 375]和[0.263,0.288]，利用拉丁超立方抽樣方法在真實區間內抽樣50次并計算得到真實頻率區間，如表2所示。

表2 均勻簡支梁模態頻率的真實區間 Hz

兩個參數的初始區間設為[2 000，3 000]、[0.2，0.3]，根據圖1步驟對參數中值和參數半徑進行修正，得到修正后的參數區間。將修正結果與區間響應面模型直接修正參數區間上下限的[4]修正結果進行對比，如表3所示。

表3 均勻簡支梁修正后的的參數區間

區間響應面擬合流程如圖3所示，參數為密度和截面寬度，參數區間為初始區間，通過拉丁超立方抽樣100次構建響應面。

圖3 區間響應面構建方法

通過對比，可以看出：本文方法比區間響應面模型修正方法精度更高。經過本文提出的方法修正后，區間上下界最大誤差由26.3%降低到了1.0%以下。

4 工程案例

本文以圖4所示的某型塔式起重機（以下簡稱塔機）為對象構建有限元模型。塔身、起重臂、平衡臂、塔頂等金屬結構采用梁單元進行建模；起重臂和平衡臂的拉桿采用桿單元進行建模；將標準節之間與加強節之間采用固結處理，起重臂各節臂之間，拉桿與塔頂之間、兩臂與回轉塔身之間采用鉸接連接。將附屬構件以等效質量的形式設置在相應的位置上。

圖4 某型塔機

在修正前需選定不確定參數，基于塔機有限元模型，選取塔身標準節主肢長度、平衡臂平臺端相互鉸接的斜腹底邊距離、上塔身水平腹桿長度、塔身水平腹桿長度、起重臂下弦桿壁厚、平衡臂尾部主梁高度、塔身主肢截面寬度、塔身主肢截面厚度、彈性模量、泊松比，10個參數進行Sobol全局靈敏度分析，對應前5階頻率每個參數都有5個靈敏度指標，其綜合靈敏度采用加權疊加的形式計算，權重系數皆取0.2，靈敏度分析結果如圖5所示。選取4個靈敏度較高的參數作為不確定性待修正參數，以有限元模型各參數初始值為中值，以4個參數的初始中值為基準，對4個參數歸一化進行歸一化處理后，皆取[0.75, 1.25]為4個參數的初始區間，如表4所示。

表4 塔機結構不確定性修正參數

圖5 塔機修正變量對前5階頻率的靈敏度

與第3小節梁算例不同的是：塔機是復雜機械結構，其響應頻率區間求解依賴于有限元模型，如在修正時反復調用有限元模型進行目標函數計算顯然是效率低下的，尤其是Chebyshev多項式法需要計算參數插值點組合時的頻率，計算成本呈指數級上升。

針對上述問題，在塔機案例中將本文提出的區間修正方法和替代模型相結合進行修正，替代模型選擇梁算例中用于對比的區間響應面模型。引入區間響應面模型后的修正步驟與圖1無異，僅在求解中值與半徑目標函數時，以區間響應面模型替代有限元模型完成求解。同樣將修正結果與區間響應面直接修正區間上下限的方法[4]進行對比。

區間響應面的構建方法如下，通過拉丁超立方抽樣方法在4個參數初始區間內抽樣100次，調用有限元模型計算樣本對應的頻率，擬合各階頻率的區間響應面模型，該模型后續將同時運用于3種修正方法中。

4.1 塔機實例

在該型塔機工作狀態下，采用無線環境激勵試驗模態測試分析系統DH5907A對其進行風振響應實測，得到塔機實測前5階模態頻率中值與半徑如表5所示。

表5 塔機實測頻率中值和半徑（實例） Hz

結合表5中的實測頻率中值和頻率中值的響應面模型建立中值與半徑修正的目標函數，按圖1所示的流程完成參數中值與半徑的修正。再用區間響應面模型直接修正區間上下限[4]，3種方法修正后的參數區間如表6所示。

由表6可知，參數2經過本文方法修正后的區間為點區間（即區間半徑為零，僅有區間中值），其原因是實測頻率的波動非常小。

表6 塔機結構修正后的的參數區間（實例）

由于塔機實例中的已知條件為真實頻率區間而非真實參數區間，為了驗證修正效果，通過參數區間計算對應的頻率區間，并轉化成中值與區間半徑的表達形式如表7所示。

表7 塔機結構修正后的頻率中值和頻率半徑（實例） Hz

由表7可知，3種方法修正的頻率區間中值相同，這是實測頻率的波動非常小，模型修正的不確定性也非常小，導致最終修正后得到的頻率中值非常接近；頻率區間的半徑由于實測頻率波動過小，3種方法修正效果皆不理想，但可以明顯看出本文提出的方法結合區間響應面模型后的修正結果體現了第四階實測頻率波動最大的趨勢，而區間模型直接修正上下限則無法做到，且除第三階實測頻率外，修正精度都更高。

4.2 塔機數值算例

由于塔機的實測頻率波動程度較小，前述雖體現了本文提出的以分步優化策略和區間分析方法為核心的不確定性模型修正方法結合替代模型的可行性，但還無法體現其在修正復雜結構區間模型時的精度。

因此，根據梁算例的流程構造一個塔機數值算例以進一步驗證本文方法的精度與適用性。為保證算例具備可信度，不確定性參數仍如表4所示，以4個參數的初始中值為基準，對3個參數歸一化進行歸一化處理后，分別取 [0.94, 1]、[0.94, 1]、[0.94, 1]、[0.97, 1.03]為 4個參數的真實區間，利用拉丁超立方抽樣方法在參數的真實區間內抽樣50次得到塔機前5階頻率的中值和半徑表8所示。

表8 塔機實測頻率中值和半徑（數值算例）Hz

按照圖1中的修正流程，以與4.1小節同樣的3種方法數值算例中的4個不確定性參數進行修正，所得的修正后塔機結構的參數區間如表9所示，本文提出的方法結合區間響應面模型后的修正精度比以相同的區間響應面模型直接修正區間上下限更高，其誤差都在0.5%以下，而反觀區間響應面模型直接修正區間上下限的方法，第1個參數與第3個參數的修正誤差都大于1.0%。

表9 塔機結構修正后的的參數區間（數值算例）

5 結論

本文提出一種以分步優化策略和區間分析方法為核心的模型修正方法，根據分步優化策略，首先修正參數中值，其次用區間攝動法與Chebyshev多項式法修正參數半徑，完成區間模型修正。得到如下結論：

1）本文所提出的區間模型修正方法可高精度地修正含區間參數的均勻簡支梁模型，且修正效果優于區間響應面模型直接修正參數區間上下限的修正方法。

2）本文提出的區間模型修正方法可應用于復雜結構的模型修正中，為避免反復調用有限元模型浪費計算成本，可將本文方法與替代模型結合使用，運用替代模型代為計算每一步迭代中的目標函數。由本文兩個塔機算例可看出，結合本文方法與區間響應面模型極大提升了修正塔機模型的效率，且精度高于以同樣的區間響應面模型直接修正區間上下限的方法。在實測頻率響應區間較小的情況下，其修正結果仍能反映頻率的真實波動趨勢。