小車-彈簧-小車簡諧振動過程實驗分析

朱晟豪

摘要：單純從理論角度分析簡諧振動容易感到較為抽象，開展小車-彈簧-小車簡諧振動過程實驗，能夠從理論與實踐結合角度理解相關概念。基于此，通過分析簡諧振動理論，開展了簡諧振動過程實驗，發現在利用輕質彈簧連接小車，形成的系統可以做簡諧振動，運動位移按正弦變化，說明小車在變力作用下將開展變加速運動，整個系統可以維持能量守恒。

關鍵詞：小車-彈簧-小車;簡諧振動;實驗分析

引言：在高中物理的運動學知識中，簡諧運動為最基本的機械振動知識，開展實驗探索簡諧運動中位移、速度、加速度等數據的周期性變化規律，能夠更好地理解簡諧運動回復力特征。因此在掌握相關理論知識的基礎上，以小車-彈簧-小車系統為對象開展了簡諧運動過程實驗，做到進一步驗證動量守恒、質心運動理論。

1實驗理論

在簡諧運動中，輕質彈簧聯接一個質點，并保持一端固定，可以構成彈簧振子。作為振動物體，受總能可以使其達到平衡位置，且力的方向始終指向平衡位置，可以稱之為回復力[1]。回復力為零，說明物體得到平衡位置。一旦離開該位置，受回復力作用，振子將返回平衡位置，并在慣性作用下離開，因此將導致振動形成。而物體跟偏離平衡位置的位移保持正比關系，且在回復力作用下發生振動，將稱之為簡諧振動，滿足式（1）：

式中，F為回復力，k為常數，x為偏離平衡位置的位移。加速度a大小與x成正比，方向則保持相反。在簡諧運動中，a始終變化，使物體保持變加速運動。根據以往學習到位移、加速度等知識理解簡諧運動，較難體會物體運動情況，因此難以準確把握回復力等數值變化規律。將小車-彈簧-小車當成是研究對象，可以利用平滑導軌賦予系統初始勢能，使系統從初始原點位置開始運動，確認系統在彈簧回復力作用下的運動狀態，根據小車各自位置變化對系統總體受力情況展開分析，確定僅彈簧力做功狀態下的系統機械能是否守恒。經過一次全振動分析，可以較好把握簡諧運動規律。

2實驗方法

按照上述理論開展實驗，需要提前準備好兩個質量均為M的相同小車，分別設為A和B，中間利用輕質彈簧聯接，彈簧長為l，勁度系數為K。系統質心為彈簧中點，設為坐標原點，x軸則為水平向右方向，彈簧總壓縮量需要達到2d。在實驗過程中，利用運動傳感器、力傳感器進行數據采集。彈簧質量為0.007kg，相較于小車質量較輕。按照式（2）確定振動周期，可知基本不受彈簧影響。

式中，TA和TB分別為小車A和B的振動周期，與小車質量相關。在實驗一開始，先利用卡槽對兩個小車位置進行固定。將卡槽迅速拔出后，小車將發生自由運動，然后利用傳感器對小車運動情況進行檢測，確定小車A和B的運動狀態和系統質心狀態。

3實驗結果

3.1小車運動

從記錄的小車A和B的運動情況來看，小車A位移在-0.04～0.08m之間不斷波動，小車B的位移則在0.04～0.08m間波動。在兩小車波動幅值大小接近，方向相反的情況下，質心位移在原始位置發生了輕微波動，始終接近0。而發生的小幅度波動，與實驗誤差有關。因為實驗無法達到完全理想狀態，如釋放小車時無法完全保證兩個小車同時運動，測量和記錄位置變化時也將引入設備和人為誤差，導致記錄的兩個小車數據無法保證完全為同一時刻[2]。忽略這些誤差的影響，可以認為系統質心始終位于圓點，因此能夠驗證質心運動定理。根據結果可知，系統簡諧運動周期為0.349s，為確定是否準確，需要對彈簧勁度系數展開分析，通過理論求解周期值。彈簧帶有軟性特征，拉伸和壓縮過程中的力無法保證完全相同，因此需要測量，確定壓縮和拉伸的勁度系數分別為274N/m和247N/m。在彈簧彈力和小車位移保持正比、反向關系的情況下，小車諧振周期T滿足：

式中，K1和K2分別為壓縮和拉伸階段的勁度系數，最終可以確定系統周期為0.362s，與實驗值之間的誤差達到3.6%，驗證了試驗結果符合要求。通過認真觀察，也可以發現小車A和B做反向運動時，呈現出對稱美、和諧美，說明系統處于平衡狀態。遠離平衡位置，在彈簧作用下，小車將開始減速，反之距離平衡位置越近將開始加速運動。位移與時間之間關系帶有正弦函數規律，因此振動曲線為正弦，發生的振動為簡諧運動。

3.2能量守恒

從能量守恒角度展開分析，需要分別判斷系統動量和機械能是否守恒。根據以往學習到的知識，可知小車A和B在相反運動過程中，保持速度反相變化，同時振幅相同，最終速度峰值將造成導軌摩擦力作用下逐漸減小。將小車和彈簧看成是一個整體，位于中間位置的彈簧產生的線性回復力相當于內力，與每個小車承受的摩擦力大小相等，方向相反[3]。在各種力的相互作用下，系統總體受到的外力為零，因此能夠保持動量守恒。在不同時刻對小車A和B的速度最大值VA和VB展開分析，然后進行小車A和B的做功驗算，能夠得到表1。根據實驗結果可知，系統總動量P合基本接近零，即維持了初動量，能夠維持系統能量守恒。

對系統機械能展開分析，可知在簡諧振動過程中，光滑導軌依然會對小車產生摩擦力，導致系統總的機械能減少。對小車在均減速期間運動狀態展開分析，可以確定摩擦力大小。根據小車速度變化，可知小車加速度達到0.0371m/s2，摩擦力約為0.0321N。在小車并未被放開時，彈簧壓縮至最大，系統機械能達到0.0347J。根據實驗不同時刻小車位置，對系統機械能展開分析，可以確定摩擦力作用下機械能變化情況。通過分析，可以發現小車機械能從0.0347J逐漸下降至0.0171J。根據摩擦力進行做功補償，重新進行機械能分析，能夠確定在不同時段小車機械能始終維持在0.0335～0.358J之間，誤差在0.1～3.6%范圍內。由此可見，忽略導軌產生的摩擦力作用，在理想狀態下系統機械能在初始值周圍發生小幅度波動。根據以往學習到的知識可知，彈簧壓縮時也無法確認全部在一維內發生形變，因此將導致實驗誤差的產生。排除誤差影響，實驗結果可以說明系統機械能守恒，說明簡諧運動可以看成是彈簧振子運動，遵循機械運動規律。

結論：簡諧運動具有往復性、周期性的特點，小車靜止位置為平衡位置，利用輕質彈簧連接可以構成彈簧振子，在平動過程中彈簧中心為質點。在彈簧力作用下，振子將發生運動，彈力將指向平衡位置，使系統發生變加速運動，位移呈正弦變化。依靠彈簧傳力，使系統維持能量守恒，可以使小車運動平穩。掌握簡諧運動規律，不僅要求熟練運用加速度、位移等知識，也要求了解運動過程與規律，從而為判斷物體是否做簡諧運動提供有力支持。

參考文獻：

[1]米儀琳.簡諧振動在非慣性系中的動力學分析[J].物理通報，2021（07）：15-19.

[2]官邦貴，高海濤，左緒忠，等.利用彈簧振子在豎直方向做簡諧振動實驗測量重力加速度[J].韶關學院學報，2021，42（06）：28-32.

[3]呂佩偉，王小貞，馬靖.簡諧振動實驗中彈簧有效質量的測量及誤差分析[J].福建輕紡，2021（04）：26-28.