彈性力學在路面結構中的應用

徐利鑫

（中大檢測（湖南）股份有限公司，湖南 長沙 410205）

引言

路面結構設計及病害研究對保證路面使用性能的要求起到重要作用。瀝青及水泥路面結構分別采用彈性層狀體系及彈性地基板體系，根據彈性力學進行分析計算應力應變及位移，來設計合理的路面結構[1-6]。對于路面結構病害的產生機理及解決方法，可以通過彈性力學與其他力學理論進行聯合分析[7-24]。

1 瀝青路面結構設計

1.1 彈性層狀體系

瀝青路面屬于非線性的彈-黏-塑性體，較高行車速度下黏-塑性變形數量很小，將其視作線性彈性體，并應用彈性層狀體系理論進行分析計算[1-2]。以計算路面永久變形量、層底拉應力、層底拉應變及路基頂面壓應變為設計標準，進行路面設計。

1.1.1 基本假設

層狀彈性體系是由若干個彈性層組成，上面各層具有一定厚度，最下一層為彈性半空間體，見圖1[3]。應用彈性力學方法求解彈性層狀體系的應力、變形和位移等分量時，假設層間完全連續、完全光滑、不完全連續與滑動，不計自重。

圖1 彈性層狀體系示意

1.1.2 分析過程

將車輪荷載簡化為圓形均布荷載，分為軸對稱荷載（垂直荷載）和非軸對稱荷載（水平荷載）。在柱坐標中，彈性層狀體系內微分單元體應力分量為三個法向應力σr、σθ和σz，以及三對剪應力τrz=τzr、τrθ=τθr、τθz=τzθ。

（1）軸對稱荷載的求解[4]

各應力應變和位移變量是r與z的函數，因此，三對剪應力只剩下一對τrz=τzr。其中，應力-應變關系物理方程：

式中：E—彈性模量，MPa；μ—泊松比，無量綱。

通過軸對稱幾何方程和應力協調方程求解得到應力分量、應變分量及位移分量，最后通過第一類零階貝塞爾函數，求解得到各應力分量和位移分量表達式。

（2）非軸對稱荷載的求解[5]

應力應變物理方程：

由幾何方程得到應力分量表達：

通過平衡方程和變形協調方程得到應力分量、應變分量和位移分量，最后通過第一類k階貝塞爾函數，求解得到各應力分量和位移分量表達式。

2 水泥路面結構設計

2.1 彈性地基板

水泥混凝土路面剛度較大、變形小，一般處于彈性工作階段，水泥混凝土板下基礎受到的壓力較小、變形小，都將其視為彈性體[6]。水泥混凝土板與被簡化為Winkler地基或彈性半空間體地基共同構成了彈性地基板理論的核心模型[3]。根據不同的簡化彈性地基，主要有兩種荷載應力分析方法：美國波特蘭水泥協會（PAC）設計法和彈性地基板體系（SEFS）。

2.1.1 基本假設與彈性曲面微分方程[4]

水泥混凝土路面符合小撓度薄板理論的三個基本假定。根據水泥混凝土板的各項應力分量均為z的奇函數，在垂直于厚度方向的截面上力的和為零，據此得到板的彈性曲面微分方程：

式中：D—由層間連接條件和邊界條件確定的參數；w—變形，cm；p—板頂外荷載，kN；q—地基反力，kN。

2.1.2 PAC設計法[4]

基于Winkler地基，可以通過彈性力學分析三種不同車輪荷載位置下板的撓度和彎矩，見圖2。

圖2 三種荷載位置

（1）荷載作用于板中（位置①），荷載中心處板底最大彎拉應力：

式中：P—荷載，kN；l—板寬，cm；R—荷載半徑，cm；h—深度，cm

（2）荷載作用于邊緣中部（位置②），荷位下板底最大彎拉應力：

（3）荷載作用于板角隅（位置③），最大彎拉應力產生在板表面離荷載圓中心x1的分角線上：

2.1.3 SEFS[4]

按照基層和面層的組合不同，水泥混凝土路面結構分析有三種力學模型：彈性地基單層板模型、彈性地基雙層板模型（層間接觸面完全光滑）、復合板模型（層間接觸面完全連續）[3]。

（1）彈性半空間體地基單層板

根據彈性半空間體地基假設，以及圓形車輪荷載的特點，將問題轉化為無限大地基上的無線大圓板上作用軸對稱豎向荷載q（r），得出豎向位移：

當荷載位于板中時見圖3，水泥混凝土板內徑向彎矩與切向彎矩：

圖3 作用于板中心的均布荷載

式中：α—與板彎曲剛度有關的彈性特征系數；R—荷載半徑，cm；C—隨α、R值變化的參數。

車輪荷載距計算點一定距離，可以視為集中荷載，見圖4，則集中荷載作用點r處板在單位寬度內的彎矩：

圖4 距作用點為r處的彎矩

式中：A、B—隨α、R值變化的參數。

（2）彈性半空間體地基分離式雙層板

分離式雙層板上下層承受的總彎矩為上下層各自承受的彎矩之和，同時兩層板間的彎矩分配與其剛度分配有關，分析時只需要計算兩層板的抗彎剛度D1、D2，然后按照D=D1+D2計算彎矩。

（3）彈性半空間體地基結合式雙層板

結合式雙層板由于結合緊密，與單層板一樣只有一個中面，但需通過兩板橫斷面上內力之和為零這一條件求得。總彎矩的求解過程與SEFS一樣，上下板的最大彎拉應力取決于各自的彈性模量取值與板的厚度。

3 路面結構病害

3.1 裂縫

霍典[7]基于線彈性力學、斷裂力學等基本原理，使用ABAQUS有限元軟件模擬分析垂直荷載單獨作用、垂直荷載與水平荷載同時作用、溫度與荷載耦合作用下的瀝青路面結構受力情況及由上而下裂縫開裂機理。高嫄嫄[8]將水泥路面視為地基上的彈性板，將瀝青路面視為各向同性的多層彈性體，分別建立含裂紋的理論分析模型，分析含裂紋路面在車輛荷載作用下路面內部應力分布狀態及影響裂紋尖端應力分布的因素，以此對路面的及時維修做出合理的判斷。張翔宇[9]和曹彩芹[10]利用線彈性力學、傳熱學和有限元原理，建立路面結構三維模型，分析垂直荷載、水平荷載、溫度荷載及其相互組合對瀝青路面作用的力學響應，研究瀝青路面表面開裂的機理，發現水平荷載是瀝青路面裂縫擴展的主要因素。

3.2 車轍

王東升[11]通過完善現有層狀彈性體系理論解，進而提出瀝青路面力學圖譜分析法，構建了黏-彈-塑性體系路面結構演化近似分析法，解釋了流動型車轍的實際現象。田野[12]將瀝青混凝土視為線彈性材料，對車轍區的行車荷載作用及其它影響因素下的瀝青混凝土路面進行研究分析，發現提高基層的模量可以在一定程度上減小流動型車轍的發生。LUKASZ[13]等通過使用基于彈性的模型瀝青路面流變模型，發現使用流變模型對瀝青層底部的應變的影響比高溫下路面的位移更顯著。

3.3 板底脫空及凹陷

朱武輝[14]將路面在動載荷下的激勵響應簡化為小撓度薄板的振動，得出路面振動噪聲的聲壓大小取決于路面結構邊界振動速度的法向分量，據此設計了基于路面振動理論分析設計的路面結構連續性檢測儀。李宏波[15]用彈性力學理論推導地表不均勻變形引起瀝青路面結構附加應力的解析表達式，得出設縫瀝青路面結構可以減小路面破壞 概率。

3.4 車輛荷載作用

曹丹丹[16]利用BISAR軟件進行彈性層狀理論路面結構層力學響應分析，得到荷載移動過程中分析點處的力學響應曲線。馬曉寧[17]依據層狀彈性應力和位移的理論研究，得到了軸對稱層狀路面體系的應力位移計算的理論解，并通過路面動力響應的分析，揭示了在移動荷載作用下路面實際工作受力狀態的變化規律。EVGENIYA[18]通過對多層半無限空間動態應變應力條件的力學和數學模擬，提出了一種根據現場試驗結果計算柔性路面阻尼系數的方法。

3.5 高模量瀝青

徐占磊[20]和韓勝超[21]根據彈性層狀理論體系，建立了瀝青路面三維有限元模型，發現高模量瀝青混凝土可顯著降低路面結構的剪應變值，抑制車轍等永久變形的產生，并推薦合理的模量范圍及合理的設置層位。車法[22]分析了影響特殊路段瀝青路面車轍形成的主要原因，得出上中下面層最大剪應力回歸公式。楊春亮[23]利用力學模型對高模量瀝青混凝土路面結構彈性力學響應進行分析，得出高模量瀝青結構中的力學變化特性，以此得出最佳的高模量瀝青路面厚度方案。HAN[24]等通過力學模型發現高模量瀝青黏結劑（HMABs）的彈性和剛性均高于純黏結劑，用HMABs代替黏結劑可顯著降低瀝青層厚度。

4 結語

（1）瀝青路面結構設計采用層狀彈性體系理論來求解路面結構永久變形量、層底拉應力、層底拉應力及路基頂面壓應變。（2）水泥路面結構設計采用彈性地基板理論。PAC設計法采用Winkler地基上的彈性薄板理論，得出板的最大彎拉應力。SEFS采用彈性半空間體地基上彈性薄板力學模型進行荷載應力分析，得出板的最大彎拉應力。（3）通過彈性力學、黏彈性力學和有限元等理論，揭示路面結構病害（裂縫、車轍、板底脫空等）原理及受力情況，并提出相關的解決方法。（4）對于路面結構層狀體系理論主要是靜載彈性層狀體系理論，但移動荷載彈塑性層狀體系理論才是最符合實際情況的路面結構層狀體系理論；路面結構并不是完全線彈性體，存在一定的不可恢復變形，也受氣候影響。這些與道路實際使用情況有差距，導致結果存在誤差。因此，彈性力學應該結合黏彈性力學、斷裂力學、流體力學以及有限元分析等理論進行路面結構研究。