淺談“租船問題”和“雞兔同籠問題”

孫銳娟

2011年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)學(xué)生發(fā)展的生理和心理特點(diǎn)，將九年的學(xué)習(xí)時(shí)間劃分為三個(gè)學(xué)段。在各個(gè)學(xué)段中，都安排了四個(gè)部分的課程內(nèi)容。其中“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容設(shè)置的目的在于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)與方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，積累學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。^①“雞兔同籠”和“租船問題”正是來(lái)源于生活，并且把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到了生活中，這兩類問題就像溝通數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的一座橋梁。不僅能使學(xué)生建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，而且能提升學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的樂趣。

一、數(shù)學(xué)解決問題方法的多樣性

1.租船問題中已知的條件和雞兔同籠問題中已知的條件以及問題不一樣。例如人教版四年級(jí)下冊(cè)第一單元例5：已知我們一共有32人，小船租金24元，限乘4人，大船租金30元，限乘6人，問題是怎樣租船更便宜？^②這是典型的“租船問題”;再如人教版四年級(jí)下冊(cè)第9單元練習(xí)二十四中第2題：已知全班一共38人，共租了8條船，每條船都坐滿了，大船可以坐6人，小船可以坐4人，問題是大、小船各租了幾條？^③這是“雞兔同籠問題”中的變式訓(xùn)練，但是都和租船有關(guān)，如果定位不準(zhǔn)確，那便不能正確的進(jìn)行解答。這兩類問題都是已知了全班的總?cè)藬?shù)，大船和小船可以乘坐的人數(shù);不同的地方是租船問題已知大船小船租金各是多少，問題是怎樣租船更便宜，而雞兔同籠問題沒有涉及到租金，已知的是租了大船小船的具體數(shù)量，要求各租了多少條船。

2.租船問題的解題思路為首先計(jì)算出哪種船的租金便宜，就考慮先祖這種船，如果這種船沒有坐滿，再進(jìn)行調(diào)整，考慮租另一種船。調(diào)整時(shí)，要盡量把船坐滿，使船上沒有空座。例5解題過程：

24÷4=6（元） 30÷6=5（元）

6>5 大船租金便宜，所以先租大船

32÷6=5（條）……2（人）

32-24=8（人）

大船：24÷6=4（條） 小船：8÷4=2（條）

答：大船租4條，小船租2條最便宜。

在上面的解題過程中，判斷什么船租金便宜，也有一定的技巧，比如可以計(jì)算出大船和小船平均每人乘船的單價(jià)，通過比較則能夠得出哪種船便宜;在計(jì)算這兩個(gè)單價(jià)時(shí)，會(huì)遇到有余數(shù)或者商是小數(shù)的情況（小數(shù)除法為五年級(jí)上冊(cè)內(nèi)容），會(huì)導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法計(jì)算出具體得數(shù)，這時(shí)候可以考慮另外一種比較的辦法。結(jié)合生活實(shí)際，在人數(shù)相同的情況下，用錢最少的更便宜;或者在錢數(shù)相同的情況下，能乘坐的越多越便宜。

大船沒有坐滿進(jìn)行調(diào)整時(shí)，也是比較關(guān)鍵的地方，我們可以按照大船逐漸減少1條的辦法來(lái)進(jìn)行調(diào)整，如果減少一條大船，那么大船里面的6人就要做小船，就有32=6×4+4×2，即32-24=8。

3.雞兔同籠問題的解題思路有三種：分別是列表法、假設(shè)法、抬腳法（即減半法），其中列表法就是列舉出雞和兔可能存在的所有情況，再選出符合題意的一組數(shù)據(jù)。缺點(diǎn)是當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)，解題過程很繁瑣;假設(shè)法是假設(shè)全是雞或者全是兔，這時(shí)可以算出假設(shè)前后的總腳數(shù)差，再推算出兔和雞的只數(shù)，假設(shè)法解決雞兔同籠問題時(shí)方法固定，并且適用范圍廣;抬腳法（即減半法），即假設(shè)雞和兔各抬起一半的腳，這時(shí)候可以算出雞和兔腳的數(shù)量的一半是多少，再算出減半后腳的數(shù)量與頭的總數(shù)之差，便是兔子的只數(shù)。抬腳法計(jì)算簡(jiǎn)便，但是具有一定的局限性，僅適用于雞兔同籠問題和龜鶴問題等;總體來(lái)說(shuō)，假設(shè)法適用的范圍更廣。

在用假設(shè)法解決雞兔同籠問題時(shí)，假設(shè)全部是雞，可以首先算出兔的數(shù)量;反之，可以先計(jì)算出雞的數(shù)量，然后根據(jù)雞兔的總數(shù)分別算出另外一種的數(shù)量。

二、算理的遷移拓展和變式題型

以租船問題為典型的問題還有很多，比如春游租車，已知我校共有老師14人，學(xué)生326人，大車可坐40人，租金900元，小車可坐20人，租金500元，問題是怎樣租車最省錢？解題過程為：

大車40人租金900元，小車40人租金500×2=1000（元），大車租金更便宜，則：

（14+326）÷40=8（輛）……20（人）

340-320=20（人）

大船：320÷40=8（輛） 小船：20÷20=1（輛）

答：大船租8輛，小船租1輛最省錢。

對(duì)于雞兔同籠問題來(lái)說(shuō)，它的拓展比較廣。“龜鶴問題”與“雞兔同籠問題”與其相比也就是換湯不換藥，它們的本質(zhì)是一樣的。例如：籃球比賽中，張鵬投了15個(gè)球，進(jìn)了9個(gè)，3分線外投中一球記3分，3分線內(nèi)投中記2分，在比賽中張鵬總共得了21分，如果張鵬沒有罰球，他在這場(chǎng)比賽中投進(jìn)了幾個(gè)3分球？

假設(shè)張鵬投進(jìn)的都是3分球，則：

9×3=27（分）

27-21=6（分） 2分球少得的分

3-2=1（分） 每個(gè)2分球比3分球少得的分

2分球：6÷1=6（個(gè)）

3分球：9-6=3（個(gè)）

答：他在這場(chǎng)比賽中投進(jìn)了3個(gè)3分球。

再如：三個(gè)選手答題，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題扣6分，3號(hào)選手搶答了8題，最后得分64分，她答對(duì)了幾題？

假設(shè)她都答對(duì)，則：

8×10=80（分）

80-64=16（分） 答錯(cuò)的題少得的分

10+6=16（分） 答錯(cuò)1題少得的分

答錯(cuò)：16÷16=1（題）

答對(duì)：8-1=7（題）

答：她答對(duì)了7題。

在這道題中，答對(duì)一題和答錯(cuò)一題相差多少分，要注意答錯(cuò)是扣分的，在學(xué)過的知識(shí)里要用加法。這些問題都可以用“雞兔同籠問題”中的假設(shè)法來(lái)進(jìn)行解決，方便、快捷。抬腳法的局限性也在這里體現(xiàn)了出來(lái)。

三、從綜合與實(shí)踐認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值

有人說(shuō)：“數(shù)學(xué)是冰冷的美麗”，數(shù)學(xué)課一貫的“冰冷”面孔如果不改變，就難以喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。^④在此，葉老師提倡“故事教學(xué)法”，以喚起學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓數(shù)學(xué)課堂充滿韻味，學(xué)生也向往著深入探究。這也是綜合與實(shí)踐與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一條紐帶，連接著生活實(shí)踐與數(shù)學(xué)知識(shí)，你中有我，我中有你;在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，并把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)踐中。在課堂教學(xué)中講授這兩類問題時(shí)，要具有啟發(fā)性、對(duì)比性。啟發(fā)式教學(xué)強(qiáng)調(diào)教師從學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、思想水平、學(xué)習(xí)方法、接受能力等實(shí)際出發(fā)，運(yùn)用各種手段充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生充分展開思維，主動(dòng)地去獲取知識(shí)，真正達(dá)到發(fā)展智力和培養(yǎng)能力的目的。^⑤對(duì)比性的教學(xué)方式，有助于學(xué)生正確區(qū)分各知識(shí)點(diǎn)的異同，建立探索對(duì)比的思維，培養(yǎng)學(xué)生探索問題的熱情，使學(xué)生愛上數(shù)學(xué)！

注釋：

①《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，北京：北京師范大學(xué)出版社，2012年1月第1版，第4頁(yè)

②《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)》，北京：人民教育出版社，2014年10月第1版，第10頁(yè)

③《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)》，北京：人民教育出版社，2014年10月第1版，第106頁(yè)

④《可以這樣教數(shù)學(xué)》，上海：華東師范大學(xué)出版社，2012年8月第一版，第200頁(yè)

⑤《有效備課、上課、聽課、評(píng)課》，福州：福建教育出版社，2012年8月第4版，第112頁(yè)