基于等效原理求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的插值方法研究

苗正 牛放 花少震

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2105-5042-6439

摘? 要：為了提高等效法求非均質(zhì)或者不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的精度，該文以非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂為研究對(duì)象，研究了拉格朗日插值法、牛頓插值法、拋物線插值法在根據(jù)等效原理求非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的精度與截?cái)嗾`差。通過(guò)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)拋物線插值法的精度最低，拉格朗日插值法與牛頓插值法的截?cái)嗾`差較小。綜合精度和誤差分析可以得出，牛頓插值法在等效法求非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量上具有較高精度，該研究可以為等效法求非均質(zhì)或者不規(guī)則幾何體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量提供參考。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量? ?等效原理? ?插值方法? ?截?cái)嗾`差

中圖分類號(hào)：O302? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2021）08（a）-0164-04

Study on Interpolation Method of Moment of Inertia Based on Equivalent Principle

MIAO Zheng? ?NIU Fang? ?HUA Shaozhen*

（School of Mechanical Engineering， Henan Institute of Technology， Xinxiang， Henan Province， 453003 China）

Abstract： In order to improve the accuracy of calculating the moment of inertia of heterogeneous or irregular geometry based on the equivalent method， heterogeneous engine rocker arm has been taken as the research object， then the Lagrange interpolation method， Newton interpolation method and parabola interpolation method were studied based on the equivalent principle to calculate the accuracy and truncation error of the moment of inertia of. Through comparative analysis， it is found that the accuracy of parabola interpolation method is the lowest， and the truncation error of Lagrange interpolation method and Newton interpolation method is smaller. Comprehensive accuracy and error analysis can be concluded that Newton interpolation method has high accuracy in the equivalent method to calculate the moment of inertia of heterogeneous engine rocker arm. This study can provide a reference for the equivalent method to calculate the moment of inertia of heterogeneous or irregular geometry.

Key Words： Moment of inertia; Equivalent principle; Interpolation method; Truncation error

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量[1]，是航空航天、儀器儀表、汽車、電力等行業(yè)中重要的參量。由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只和轉(zhuǎn)軸的位置、剛體的質(zhì)量分布以及港田的形狀有關(guān)，所以對(duì)于一些非均質(zhì)的幾何體或者形狀復(fù)雜的幾何體，一般通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段，基于等效原理，采用插值手段測(cè)定。吉丹霞等人[2]利用等效法研究了變速箱中不同輪系等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法;仝哲旭等人[3]通過(guò)設(shè)計(jì)非接觸平面渦卷彈簧，測(cè)量了正弦扭矩標(biāo)準(zhǔn)裝置氣浮軸系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;趙亞燊等人[4]利用等效法計(jì)算了窄輪距拖拉機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。周艷明等人[5]研究了三線擺實(shí)驗(yàn)中大擺角對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，徐錢欣等人[6]、陳坤波等人[7]、陳慶東等人[8]利用改進(jìn)的三線擺降低了實(shí)驗(yàn)誤差。目前，已有研究主要側(cè)重于等效法的測(cè)量應(yīng)用以及對(duì)三線擺實(shí)驗(yàn)裝置的改進(jìn)，對(duì)等效原理中用插值法的研究較少。該文以非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂為研究對(duì)象，采用三線擺實(shí)驗(yàn)，根據(jù)等效原理，研究不同插值方法對(duì)等效原理的適用性，通過(guò)精度及誤差分析，優(yōu)化對(duì)插值方法的選擇。

1? 實(shí)驗(yàn)裝置及實(shí)驗(yàn)原理

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

該研究所采用的實(shí)驗(yàn)裝置為ZME-Ⅰ型實(shí)驗(yàn)臺(tái)，主要由柜體、風(fēng)振模型支架、三線擺、不銹鋼頂罩等部分組成，如圖1（a）所示。圖1（b）為實(shí)驗(yàn)中所采用均質(zhì)圓柱體和非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂。運(yùn)用此設(shè)備的三線擺可以測(cè)得規(guī)則和不規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)周期，并可以調(diào)節(jié)三線擺的吊線長(zhǎng)度，從而得到不同吊線長(zhǎng)度下物體的轉(zhuǎn)動(dòng)周期。

三線擺吊線線長(zhǎng)選用60 cm，等重圓柱體直徑d=18 cm，高h(yuǎn)=20.7 mm，圓柱體密度ρ=7.8 g/cm3。分別取兩圓柱體中心距s為30、40、50、60 mm。

1.2 實(shí)驗(yàn)原理

該文通過(guò)使用三線擺測(cè)量圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方法，使用了等效法來(lái)測(cè)量非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在實(shí)驗(yàn)中同時(shí)放置兩個(gè)同樣三線擺，使它們下降到相同的位置，一個(gè)三線擺放置非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂，另一個(gè)三線擺放置兩個(gè)相同的均質(zhì)圓柱，兩個(gè)均質(zhì)圓柱的重量與非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的重量一致，通過(guò)不斷調(diào)節(jié)兩個(gè)等效均質(zhì)圓柱體之間的中心距s，向放置有非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的擺動(dòng)周期逼近。當(dāng)兩個(gè)三線擺系統(tǒng)的擺動(dòng)周期相同時(shí)，則可以大致認(rèn)為均質(zhì)圓柱與發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一致的，而放置有均質(zhì)圓柱體的三線擺系統(tǒng)，可以計(jì)算得出非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1.3 實(shí)驗(yàn)方法

在已知等重圓柱體的物理參數(shù)后，兩圓柱對(duì)中心軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論計(jì)算公式為：

式中，s為兩均質(zhì)圓柱體的中心距，具體情況見(jiàn)圖2所示。

通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)測(cè)得轉(zhuǎn)動(dòng)周期，并通過(guò)式（1）計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值，如表1所示。

為了使測(cè)量的非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)周期精度較高，多次實(shí)驗(yàn)后刨除明顯有差異的，選取5組實(shí)驗(yàn)，測(cè)試5次搖臂轉(zhuǎn)動(dòng)10次的時(shí)間，得到搖臂扭動(dòng)周期，并取平均值得到平均周期。實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)如表2所示。

2? 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

該文將運(yùn)用牛頓插值法、拉格朗日插值法、拋物線插值法估算非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2.1 牛頓插值法

2.1.1 使用牛頓插值法對(duì)非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行插值

通過(guò)表1的得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)代入得到牛頓插值多項(xiàng)式：

其中：

將代入式（2），得到，此時(shí)的就是由牛頓插值法估計(jì)的非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

即非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2.1.2 牛頓插值法的誤差分析

使用牛頓插值法分析轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，不在插值節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值會(huì)有截?cái)嗾`差，牛頓插值法的插值余項(xiàng)為：

其中，，得到：

即牛頓插值法計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的截?cái)嗾`差為：

2.2 拉格朗日插值法

2.2.1 使用拉格朗日插值法對(duì)非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行插值

通過(guò)表1得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到拉格朗日插值多項(xiàng)式：

式（3）中，，，，。

將代入式（3），得到，此時(shí)就是由拉格朗日插值法擬合的非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

即非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2.2.2 拉格朗日插值法截?cái)嗾`差分析

因?yàn)槭褂美窭嗜斩囗?xiàng)式擬合離散數(shù)據(jù)，不在插值節(jié)點(diǎn)上的值會(huì)有誤差，用截?cái)嗾`差表示，截?cái)嗾`差也稱為拉格朗日插值余項(xiàng)，而拉格朗日插值函數(shù)的截?cái)嗾`差為：

則通過(guò)拉格朗日多項(xiàng)式計(jì)算的截?cái)嗾`差為：

其中，，得到：

即拉格朗日插值法計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的截?cái)嗾`差。

2.3 拋物線插值法

2.3.1 使用拋物線插值法對(duì)非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行插值

利用表1的得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，使用逐次線性插值法分析轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因?yàn)闇y(cè)得的非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的平均周期為1.052s，故取與1.052最近三點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)，即：，，三點(diǎn)。

將3個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)代入得到擬合二次多項(xiàng)式：

（5）

式（5）中，

將代入式（5），得到，此時(shí)的L（1.052）就是通過(guò)拋物線插值法擬合的非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

即非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2.3.2 物線插值法截?cái)嗾`差分析

拋物線插值法的插值余項(xiàng)為：

則拋物線插值法計(jì)算的插值余項(xiàng)為：

其中，，于是有：

即拋物線插值法計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的截?cái)嗾`差≤。

通過(guò)牛頓插值法、拉格朗日插值法、拋物線插值法估算非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并計(jì)算了使用3種方法的誤差，得出的分析，見(jiàn)圖3。

3? 結(jié)論

基于等效法原理測(cè)量了與非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂等重的均質(zhì)圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)周期，為了找到一種基于等效法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方面精度較高、計(jì)算方便的插值法，分別使用拉格朗日插值法、牛頓插值法、拋物線插值法對(duì)非均質(zhì)發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行插值，通過(guò)文中分析，主要得出以下結(jié)論。

（1）牛頓插值法與拉格朗日插值法的插值余項(xiàng)相同，這兩種插值方法的截?cái)嗾`差為≤。

（2）拋物線插值法得到的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值，由于拋物線為二次多項(xiàng)式，得到的截?cái)嗾`差≤，誤差相對(duì)于前兩個(gè)插值方法較大。

（3）而對(duì)于截?cái)嗾`差相同的拉格朗日插值法與牛頓插值法，牛頓插值法相對(duì)于拉格朗日插值法計(jì)算更加簡(jiǎn)便、快捷。拉格朗日插值法在新增數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)只能再次計(jì)算拉格朗日插值多項(xiàng)式，而牛頓插值法則不需要。

（4）3種插值法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行插值計(jì)算時(shí)，使用牛頓插值法更加方便。

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