“找次品”問題的再研究

陳海飛

[摘 要]“找次品”是人教版教材五年級下冊數學廣角的內容，和“打電話”一樣，屬于解題策略和方案優化問題，這類問題具有強烈而明顯的操作性和實踐性，需要通過實踐探究總結出一般策略，進而建立一般的解題模型。

[關鍵詞]找次品;輕重;至少;次數;分組

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0029-02

有一篇論文（以下稱“論文A”）分析了一道關于找次品的練習題：“一批產品共有6件，其中1件是次品，從外觀上無法分辨，只有質量略有差異，如何找出次品？用天平稱，至少稱幾次能確保找出次品？”并提出“一般通過分一分、稱一稱、找一找三個步驟，至少稱4次能確保找出次品”。文章作者還引導學生大膽猜想“正常情況下，如果提前告知次品是重于或輕于正品，產品數量介于3[n-1]與3[n]之間，能確保找出次品的最少稱量次數就是n”，并在后文中驗證了這個猜想，形成結論。

一、觀點對撞

而另一篇論文（以下稱“論文B”）則對論文A的結論予以駁斥，它不僅以檢測有1件次品的4件產品為例來反駁，還以有1件次品的14件產品為例，詳述了在不知道次品與正品誰輕誰重的前提下，找出次品的一般流程。按論文B的論述，當產品數量為14時，至少稱5次才可以確保找出次品。論文B還論證了3～76件產品找次品（不知次品與正品誰輕誰重）的檢測流程，并歸納出一般公式：當產品數量大于6時，產品數量與找出次品所需的最少稱量次數存在這樣的數量關系：當2[n-1]< [產品數量-49] <[2n]時，能確保找出次品的最少稱量次數是（n+4）次。

例如：在不知道次品與正品誰輕誰重時，如果產品數量為9，由于[9-49] = [59]，2[-1]< [59] <[20]，0+4=4，那么能確保找出次品的最少稱量次數是4;如果產品數量為14，由于[14-49] = [109]，2[0] <[109] <[21]，1+4=5，那么能確保找出次品的最少稱量次數為5。

筆者對論文B的結論持保留意見。下面，筆者同樣以14件產品為例來闡述個人意見。筆者的操作方法是：

首先把14件產品隨機編號為1～14，然后按照編號分成三組：a1組為1～5號，b1組為6～10號，c1組為11～14號。第一次稱a1、b1兩組，可能出現兩種結果。

（1）天平平衡。那么次品在c1組中，第二次可以稱11號和12號，也可能有兩種結果。①天平平衡，則次品必然是13號或14號。第三次可以稱11號（已證實為正品）和13號，若天平平衡，則次品是14號;若天平傾斜，則次品是13號。②天平傾斜，則次品不是11號就是12號，13號和14號必為正品。第三次可以稱11號和13號，若天平平衡，則次品必是12號;若天平傾斜，則11號為次品。

（2）天平傾斜。則次品在a1、b1兩組的某一組中，不妨將這兩組產品混合，再分為（3，3，4）三組，第二次稱（3，3）兩組，也可能有兩種結果。①天平平衡，則次品在“4”組中，按4件產品找次品的步驟，至少稱2次能確保找出次品。因此，至少要稱4次。②天平傾斜（假設左“3”組重于右“3”組），則次品必然在這兩組中，第三次則可在“4”組中取出3件產品與左“3”組對比稱量。若天平平衡，則次品必然在右“3”組中，同時可以推知次品偏輕，那么第四次可在右“3”組中任取2件產品對比稱量，若天平平衡，則沒放到天平上的那件為次品;若天平傾斜，則較輕的那件是次品。若天平傾斜，則次品在左“3”組中，同時推知次品重于正品，那么第四次可在左“3”組中任取2件對比稱量，若天平平衡，則次品是沒放到天平上的那件;若天平傾斜，則較重那件是次品。

二、操作驗證

通過上述操作方法可知，當產品數量為14時，至少稱4次即可確保找出次品，并非論文B中所說的5次。由此可見，論文B也有漏洞。那么在一批產品中，當不知次品比正品輕還是重時（只含1件次品），如何盡快找出它呢？筆者以為仍需降低層級，從最簡單的情況開始考慮。為敘述方便，設產品數量為n，依次編號為1～n，按照編號分為a2、b2、c2三組。

1.當產品數量為3時，需稱2次。操作如下：

第一次，稱1號和2號。（1）天平平衡，則3號必然是次品。（2）天平傾斜，則第二次稱1號和3號（確認為正品），若天平平衡，則2號是次品;若天平傾斜，則1號是次品。

2.當產品數量為4時，至少稱2次。操作如下：

第一次，稱1號和2號。（1）天平平衡，則次品為3號或4號，第二次稱1號和3號。若天平平衡，則可以確定4號為次品;若天平傾斜，則3號定為次品。（2）天平傾斜，則次品為1號或2號，第二次稱1號和3號，若天平平衡，則可推知2號為次品;若天平傾斜，則1號為次品。

3.當產品數量為5時，至少稱3次。操作如下：

把5件產品分成（2，2，1）三組，先稱（2，2）兩組。（1）天平平衡，則直接確認5號是次品。（2）天平傾斜，則次品在（2，2）兩組中，再按4件產品找次品的步驟來處理，至少還需稱2次，一共是3次。

4.當產品數量為6時，至少稱3次。操作如下：

把6件產品分成（2，2，2）三組，然后稱前（2，2）兩組。（1）天平平衡，則判斷次品為5號或6號。再稱1號和5號，若天平平衡，則判斷6號為次品;若天平傾斜，則5號為次品。（2）天平傾斜，則次品在前（2，2）兩組中，再按4件產品找次品的步驟操作，至少還需稱2次，一共是3次。

5.當產品數量為7～10時，也至少需稱3次。具體操作略。

這也說明，論文B中，產品數量為9時至少稱4次才能確保找到次品的結論是錯誤的。

三、原理探索

筆者通過大量操作驗證得出一組實驗數據。

從上表可以看出，當產品數量大于2，且不知道次品與正品誰輕誰重時，產品數量與確保找到次品至少要稱的次數存在這樣的數量關系：當[3n]+1<產品數量≤[3n+1]+ 1時，至少稱（n+2）次可以保證找到次品。例如當產品數量為4時，由于[30]+1<4≤[31]+ 1，即n =0，所以至少要稱0+2=2（次）。又如當產品數量為14時，由于[32]+1<14≤[33]+ 1，即n=2，所以至少要稱2+2=4（次）。

筆者在操作實踐后發現，在不知次品與正品誰輕誰重時，為了盡快找出次品，分組很關鍵，分組和操作時應遵循如下原則：

一是盡量將產品平分成三組（a、b、c），如果實在無法平分成三組，至少要保證其中兩組（a組與b組）的產品數量相等，且c組的產品數量與它們的相差1，第一次稱時選擇a、b兩組。

二是當[3n]+1<產品數量≤[3n+1]+1時，a（b）組的產品數量≤[3n]，且c組的產品數量≤[3n]+1。例如當產品數量是5～10時，由于[31]+1<產品數量≤[31+1]+1，即n =1，所以a、b兩組的產品數量不超過3（[31]），同時c組的產品數量不超過4（[31]+1），這樣首次稱量時，若天平平衡，則次品范圍可以縮小到c組中。由于c組的產品數量≤[3n]+ 1，所以至少稱（n + 1）次即可找出次品。還是以產品數量是5～10時為例，由于 [31]+1<產品數量≤[31+1]+ 1，即n=1，所以a、b兩組的產品數量不多于3（[31]），同時c組的產品數量不超過4（[31]+1）。

當稱a、b兩組時，若天平平衡，那么次品可以鎖定在c組中，因為c組的產品數量不超過4，所以找出次品要稱的次數不超過2次，總次數也不超過3次。

三是考慮到如果首次稱量時天平傾斜，則次品在a、b兩組中，所以在分組時還應考慮到二次稱量后確定次品所在組別，同時還應能夠判斷出次品是輕于還是重于正品。例如產品數量為70時，若分成（20，20，30）三組，當（20，20）組平衡時，次品在30件組中。由于30>28，根據前述理論可知，在不知道次品是輕于還是重于正品的情況下，30件產品無法稱4次保證找到次品;若分成（25，25，20）三組時，在稱（25，25）組傾斜后，鎖定次品在這兩組產品共50件中，第二次無論怎么稱，既無法確定次品在a組還是在b組，也無法獲知次品是輕于還是重于正品，這樣對于50件產品，同樣無法保證在4次稱量內找出次品。而如果分成（21，21，28）三組，若天平平衡，則次品在c組的28件產品中，按前述理論稱4次即可找出次品;若天平傾斜，則次品在a、b兩組的某一組中，記住a、b傾斜的情況，第二次在c組中取21件產品與a組對比稱量，即可判斷出次品所在組別，并確定次品是輕于還是重于正品，按理論已知次品輕或重于正品的前提下，21件產品只需稱3次即可找出次品，共5次即可找出次品。根據上述原則，分成（22，22，26）三組或（23，23，24）三組，同樣稱5次即可保證找出次品。

（責編 吳美玲）