通過數據分析來理解抽屜原理中蘊含的數學規律

周善玲

[摘 要]在抽屜原理的語境里， “不管”“總有”“至少”這些邏輯關聯詞屬于“新面孔”，學生理解起來費勁，對此，教師應該重理解內化輕結論描述，從數據分析著手，不僅指點學生發現數量變化規律，還要讓學生運用“不管”“總有”“至少”等抽象的邏輯詞來揭示規律。

[關鍵詞]抽屜原理;數據分析;數學規律

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0021-02

“抽屜原理”是人教版教材第十二冊“數學廣角”的內容，它體現的是一種排列組合的基本數學思想方法，應用廣泛。但是教材卻以一種抽象和理論的面目呈現該內容。教學時，怎樣才能將排列組合的解法簡單明了地詮釋出來？許多教師都付出過艱辛的努力，效果卻不盡如人意。

【課堂現狀】

師：有三個偉大的蘋果為人類科學做出了卓越的貢獻，你們知道嗎？

生1：一個是掉到牛頓頭上的那個蘋果。

師：見多識廣。

生2：還有喬布斯的“蘋果”手機。

師：這個被咬了一口的蘋果帶給人類全新的手機體驗方式。第三個蘋果呢？

生3：不知道。

師：西方神話中，亞當和夏娃偷吃了蘋果，締造了人類。

師：老師這里也有3個蘋果，將它們隨意裝進2個果盤里，一共有多少種不同的放法？分組合作探究，可以采用學具拼擺、稿紙上畫示意圖、分批計數等方法研究。

師：每組選派兩名代表匯報，一人解說操作方法，一人進行動作演示。

展示學生成果：（2，1）、（1，2）、（0，3）、（3，0）。

師：（2，1）和（1，2）、（0，3）和（3，0）都只是順序不同，只算作一種情況。為了辨認方便，以第一個果盤的蘋果數為基準，統一按照由多到少的順序排列。如此一來，3個蘋果裝進2個果盤里，出現兩種分裝方案（3，0）和（2，1）。

師：如果數字繼續變大呢，把4個蘋果裝進3個果盤里，共存在幾種不同的分裝方法？

展示學生成果：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

師：將4個蘋果裝進3個果盤里，先分析數量關系，什么是恒定的？

生4：無論采取何種分裝方案，3個果盤里的蘋果總數恒等于4。

生5：一個果盤里最多可以裝4個蘋果。

生6：最少可以一個都不放。

師：也就是說，無論怎么放，容量最多的果盤里會有4個、3個、2個。換言之，無論怎么設計，必然有一個果盤里放置的蘋果數不少于2個。

顯然，整個教學過程流暢有序，條理清晰。由3個蘋果引發學生的好奇心，學生通過實驗活動探究“3個蘋果裝進2個果盤”時，會將分布情況相同但是數值順序不同的方案歸并為一種方案，而且受有序思維的影響，會以某一盤為標準，按照由多到少的順序排列;接著根據活動經驗和思維方式解決“4個蘋果裝進3個果盤”怎么分配的問題時，學生輕車熟路，很快得出結論;最后，教師想通過指導學生觀察數量關系的變化規律，進一步挖掘實驗結果背后的數據，得出數學化的法則和結論，使學生的思維從感性走向理性，從定量分析走向定性分析。但理想很豐滿，現實很骨感，“無論采取哪種分裝方案，必然有一個果盤里放置的蘋果數不少于2個”這個結論最終還是由教師自問自答、自說自話。

【教學改進】抽屜原理的結論是這節課的難點，難度過大，就要分散攻克，數據分析依然是有效的突破口。

師：把4個蘋果裝進3個果盤，一共有幾種分裝方案？

（學生先用學具代替蘋果拼擺，然后在紙上畫出示意圖，分塊記數）

展示學生成果：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

師：還有其他方案嗎？

生：沒有了。

1.初步觀察，檢查確認感知

師：觀察以上四種方案。各種方案里，蘋果數最多的果盤最多時能達到多少？是第幾種？為什么？

生1：顯然是第一種分裝方案，因為所有的蘋果都放進這一個果盤了。

師：所有蘋果集中于一盤，數目最多。那么最少是多少呢？這又是為什么？

生2：裝有蘋果最多的果盤里的蘋果數最少時是2個，也就是第3種和第4種分裝方案，因為蘋果最大限度地平均分散了。

師：裝有蘋果最多的果盤里的蘋果數由4個、3個到2個，為何一路下降？

生3：因為將剩下的蘋果轉移到其他果盤了。

師：也就是說，要讓最大量變少，其他果盤就要多分擔、多分攤。

2.再次觀察，總結規律

師：回過頭來綜合對比分析各種不同的放法，蘋果數最多的果盤，在數量上有什么變化規律？

生4：逐漸遞減。

生5：但是有最低值，最少有2個蘋果。

師：“最少有2個蘋果”，用數學的專業邏輯術語，應該說成“至少有2個蘋果”。（板書：至少）

師：換言之，不管怎么放，數量最多的那個果盤里至少有2個蘋果。那是不是意味著每個果盤都是這個標準？

生6：不一定。有的果盤達到不少于2個的標準，有的則少于2個蘋果。

師：能概括一下嗎？

生7：把4個蘋果裝進3個果盤，無論采取哪種分裝方案，至少有2個蘋果會裝進同一個果盤。

師：這種現象是偶然還是必然？

生8：必然的。

師：把4個蘋果裝進3個果盤，無論采取哪種分裝方案，必然會發生某一個果盤里至少放進2個蘋果的現象。換成數學專業語言就是：把4個蘋果裝進3個果盤里，至少會有2個蘋果裝進同一個果盤里。（板書：至少）

師：這個結論是我們通過實踐活動驗證出來的。

3.三次觀察，假設推導

師：對比四種裝法，哪種更能直觀地反映這個結論呢？為什么？

生9：第四種更能直觀地反映這個結論。因為蘋果被最大限度地平分到各個果盤，避免兩極分化。

師：如果要讓裝的蘋果最多的果盤的蘋果數量最少，你覺得該怎么操作？

生10：先在每個果盤里裝1個蘋果，剩下的那個無論裝到哪個果盤，這個果盤里就會出現2個蘋果。

師：這其實是假設法，先假設每個果盤里裝1個蘋果，這種做法其實就是哪種分配方案？

生11：平均分。

師：剩余的1個如何安置？

生12：隨機放進一個盤里，那么這個果盤一共就有2個蘋果。

師：只有平均分才能盡可能讓各個果盤數量最少，不至于出現“冒尖”的。平均分后，還多1個，只能塞進某一個果盤里，不可避免出現有個果盤里裝了2個蘋果。誰能用算式來表達這個規律？

生13：4÷3=1……1。

師：商1和余數1各自表示什么意義？

師：在探究把4個蘋果放進3個果盤一共有幾種方法的問題中，主要采取兩種研究法，一是一一列舉所有擺放法，二是運用假設法來揭示其中的數學規律，你更傾向于哪種方法？

【教學反思】

首先，抽屜原理的應用十分廣泛，其背后的深刻數學規律，學生卻鮮有涉足，更不要說用算式去證明和推導了。教師指導學生利用學具操作或者畫示意圖來解說這種現象，通過解說達到理解內化“抽屜原理”的目的，這就是數學證明的低級形式和初級階段。通過這樣的方式訓練培養學生的邏輯思維能力，能為學生以后學習嚴謹專業的數學證明打下基礎。因此教學這部分內容時，重在指引學生將生活問題進行“數學化”處理，幫助他們積累數學活動經驗，體會用數學理論解釋生活現象的樂趣和科學性。

其次，重理解輕發現。理解是先出示結論，然后解釋這個結論，還是邊理解邊生成結論？顯然，對于結論描述的術語里涉及的“不管”“總有”“至少”等邏輯關聯詞，需要與學生的口語互譯互通，才能讓溝通更為順暢。教師要將文字性和語言性的學習素材納入學生已有話語體系里，融為一體，學生才能從原有知識結構中找到與新知高度相關的連接點。這樣，新舊知識在學生的頭腦中就會交匯合流，碰撞出智慧的火花，學生對新知的認知也更加自信和深刻，同時原有的知識也會得到提升和升華，這些語言文字上隱性的學習素材就能轉化為學生的認知結構。

最后，數據分析是歸納出抽屜原理結論的必由之路。小學階段慣用的數據分析法是對比分析法，通過對比多組數據的差異和增減關聯性，從而揭示其背后隱藏的事物變化規律，其特點是直觀反映事物數量方面的變化規律，并且可以將這種規律用數學運算進行量化。

（責編 金 鈴）