在游戲中完成公倍數概念的建模

方芳

[摘 要]“建模”其實就是一種“數學化”途徑，其本質是將數學知識進行模型化處理。文章以“公倍數和最小公倍數”展示課為例，展示教師通過引導學生“建模”探索“尾巴再接”的秘密：求出兩個正多邊形邊數的公倍數。教學中，情境、問題與概念三位一體，使得學生有效儲存了最小公倍數的模型編碼。

[關鍵詞]數學建模;公倍數;游戲

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0051-02

“公倍數和最小公倍數”的數學模型到底是什么樣子呢？全國第十一屆小學數學展示課廣東省選送的“公倍數和最小公倍數”一課為我們呈現了精彩的答案。該展示課通過探索“尾巴再接”的秘密，把一堂數學課上得有聲有色，令人嘆為觀止。現分享其中的精彩片段，以饗讀者。

一、初次游戲，感到有難度

【教學片段1】

師：今天，咱們一起玩一個游戲好嗎？請看這個圖形（如圖1-1左側部分），它是一個標準的正六邊形。而這個圖形（如圖1-1右側部分）從某種意義上可以看成一個正四邊形。兩個圖形拼接起來是一只淘氣的松鼠！接下來我們要玩的游戲就是移動這兩個圖形。

師：固定正六邊形，讓正四邊形繞正六邊形定向旋轉，可以明顯看到在正四邊形旋轉的過程中，松鼠的尾巴——

生（齊）：斷開了！（如圖1-2）

師：從開始旋轉那一刻起，正四邊形轉動幾下，松鼠的尾巴又能回位？到底需要轉動幾次？從何判斷？

師：這樣吧，老師來模擬轉動，你們跟著節奏一下一下地數！

（教師轉動圖片，學生跟著轉動的節奏點計數）

師（轉動到第6下時突然停頓）：尾巴回位了嗎？

（沒有得到學生肯定的回答，教師繼續轉動圖片，學生繼續跟著教師轉動的節奏計數。當教師轉到第12下時，學生驚奇地發現松鼠的尾巴回位了。）

師：如果繼續往下轉動正四邊形，旋轉到第幾下時松鼠的尾巴可以重新回位？（24下！）如果繼續不停地往下旋轉呢？（36下！）如果繼續往下推演，尾巴可以接回多少次？這個有趣的續接尾巴的游戲就叫作“尾巴再植術”。

這節課的游戲導入別具一格，它并非簡單粗暴地將數學知識編入游戲活動中，把游戲當成一種誘餌，一旦學生入局，馬上停止游戲，直奔數學知識的學習。而是通過設置懸念“‘尾巴再植術游戲與‘公倍數和最小公倍數有什么關聯呢？”吊足學生的胃口，激發他們的探究欲。游戲情節，既脫胎于現實情境，又超脫于現實情境，看似低幼實則蘊含玄機，答案看似近在眼前卻又云遮霧繞，這種近在咫尺卻又觸不可及的感覺深深“誘惑”著學生不斷探究下去。

二、再次游戲，轉向數學

【教學片段2】

師：如果重玩一次，你們有必勝的把握嗎？請看電子屏幕（如圖2），這一回難度升級了，不僅動物變了，多邊形外框也變了，這回是幾邊形和幾邊形？（八邊形和五邊形）這次，需要轉動幾下，尾巴才能回位？老師來模擬旋轉，你們跟著老師的節奏計數。

師：誰運氣好猜中了？掌聲鼓勵！

師：我再提供一些類似的多邊形組合（出示“五邊形+四邊形”“八邊形+四邊形”的組合，如圖3），你們自行組隊，按照前面的玩法，先猜測結果，再手動旋轉，最后利用數據制表。下面請大家小組合作來玩這個游戲。

首次玩這個游戲，學生大都感到新奇，只是因為貪玩;第二次玩這個游戲，教師提出了附加條件和游戲任務，要求學生在游戲中注意并回答：“哪里變了？更重要的是哪些因素變了？”看似輕描淡寫的無心一問，實則是精心設計，悄無聲息地將學生的注意力從玩耍中轉移到數學思考：從兩個多邊形邊數來分析，第一次時兩個邊數6和4為一對非互質數，第二次時兩個邊數8和5為互質關系;從尾巴回位所需的最低轉動次數看，第一次次數少，第二次次數多;從操作形式看，第一次屬于手動操作，第二次屬于模擬操作。學生從前兩次游戲活動中獲得的經驗是間接的，但是這個過程不可忽略，學生沒有這個間接經驗就沒有接著去猜想、驗證的動機和基礎。學生一邊操作、一邊記錄數據、一邊前后對比和推理反思，隨著游戲的深入，他們會逐漸意識到，事情沒有表面看到的那么簡單，背后另有玄機。兩組多邊形的邊數也是精心設計的，一組互質，另一組互為因倍數，有利于學生對比辨析并從異同點中總結出規律。

三、建立模型，初步歸納

【教學片段3】

師：剛才，我們一共玩了三次續接尾巴的游戲，第一次，猜對的人屈指可數;第二次，猜對的人接二連三;第三次，猜對的人如雨后春筍。你們是不是掌握了什么訣竅？斷尾后首次再接成功所需的次數與什么有關？這個關系究竟是什么？先請大家小組討論，然后展示匯報。

生1：兩個多邊形的邊數相乘的積，就是首次續尾成功的次數。

師：請舉例說明。

生1：比如說四邊形和六邊形，因為4乘6等于24，所以最低限度轉動24下就能續接斷尾。又如正五邊形和正八邊形，因為5乘8等于40，所以續接尾巴成功的最低次數是40。同理，四八三十二、四五二十，32和20也都是相應的最低次數。

師：其他小組有何異議？

生2：他們的發現有一定的道理，但是不夠周密，所得乘積數不一定是尾巴首次回位所需的最低轉動次數，比如“四六二十四”的24就不是最低次數，最低次數應是12，而24是第二次尾巴回位的次數。

師：雖然兩個圖形的邊數所構成的乘積必定是斷尾回位的次數，但是不一定是最低次數，一些其他非邊數乘積的次數，也能實現尾巴回位。

生3：尾巴回位的轉動次數，既是圖1-1左側圖形邊數的倍數，又是圖1-2右側圖形邊數的倍數。

師：你能結合具體數據詳細說明嗎？

生3：比如說12、24、36都是能夠實現斷尾回位的次數，這三個數都同時是6和4的倍數。

師：其他組有什么意見？

生4：結論一樣，40、80、120都同時是8和5的倍數。

師：其他小組有無異議？（沒人反對）那好！一致全票通過！

課堂上教師以退為進，充分信賴學生，學生步步深入，思維得到了極大的發散。學習其實是一個學生重構個性化經驗認知的過程，在經驗積累越來越多時，學生就會迫切需要分享自己的新發現，以實現自我價值，得到集體認同。相同的游戲活動，不同的學生收獲不一樣。在個性化的表述中，學生的思維是率真質樸的，盡管粗糙，但很真實。交流時學生激烈爭辯，真理越辯越明，規律慢慢浮出水面。課堂上學生個個心細如發，思考的過程被完整地展示出來。

四、完善模型，概念出爐

師：經過剛才的交流匯報，我們歸納出斷尾再續的秘訣是兩個正多邊形邊數的公倍數，斷尾首次回位所需的轉動次數就是它們的最小公倍數。如果再次玩這個游戲，你們有必勝的信心嗎？例如正八邊形和正六邊形（如圖4），要推算出尾巴回位時，正六邊形轉動的最低次數，實際上就是求8和6的——

生1：最小公倍數！（24）

師：你能用文字詳細描述這個結論嗎？

生1：先分別找出6的若干個倍數和8的若干個倍數，再找出它們的交集。

師：生1是先寫出6的一些倍數，再寫出8的一些倍數，然后找出它們的共同倍數。剛才老師巡視時，發現其他做法，你們幫忙鑒別一下。（屏幕演示，略）

生2：6的一倍不是8的倍數，6的二倍不是8的倍數，6的三倍18不是8的倍數，6的四倍24是8的倍數。

師：他的做法其實就是先列舉出6的一些倍數，再來逐個鑒別是不是8的倍數。能聽明白嗎？

生3：能。

師：你們還有其他意見嗎？

生4：這種做法其實就是在6的所有倍數集合中檢索8的倍數。我覺得在這里8大一些，應該反過來用8的倍數來測試更科學，這樣測試的次數少一些。

在小學階段，“建模”其實就是一種“數學化”途徑，其本質就是將數學知識進行模型化處理。本文中，教師引導學生“建模”，步步誘導學生發現斷尾回位的秘訣：求出兩個正多邊形邊數的公倍數。當學生的活動經驗極大豐富，思維趨于成熟時，教師就將新知做抽象化處理，使其“數學化”。最后，情境、問題與概念三位一體，只要提到公倍數，“斷尾續接”的情境馬上浮現于腦海，可見學生已經儲存了最小公倍數的模型編碼。

（責編 黃春香）