在游戲中完成公倍數(shù)概念的建模

方芳

[摘 要]“建模”其實(shí)就是一種“數(shù)學(xué)化”途徑，其本質(zhì)是將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行模型化處理。文章以“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”展示課為例，展示教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生“建模”探索“尾巴再接”的秘密：求出兩個(gè)正多邊形邊數(shù)的公倍數(shù)。教學(xué)中，情境、問(wèn)題與概念三位一體，使得學(xué)生有效儲(chǔ)存了最小公倍數(shù)的模型編碼。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模;公倍數(shù);游戲

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）32-0051-02

“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”的數(shù)學(xué)模型到底是什么樣子呢？全國(guó)第十一屆小學(xué)數(shù)學(xué)展示課廣東省選送的“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”一課為我們呈現(xiàn)了精彩的答案。該展示課通過(guò)探索“尾巴再接”的秘密，把一堂數(shù)學(xué)課上得有聲有色，令人嘆為觀止。現(xiàn)分享其中的精彩片段，以饗讀者。

一、初次游戲，感到有難度

【教學(xué)片段1】

師：今天，咱們一起玩一個(gè)游戲好嗎？請(qǐng)看這個(gè)圖形（如圖1-1左側(cè)部分），它是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正六邊形。而這個(gè)圖形（如圖1-1右側(cè)部分）從某種意義上可以看成一個(gè)正四邊形。兩個(gè)圖形拼接起來(lái)是一只淘氣的松鼠！接下來(lái)我們要玩的游戲就是移動(dòng)這兩個(gè)圖形。

師：固定正六邊形，讓正四邊形繞正六邊形定向旋轉(zhuǎn)，可以明顯看到在正四邊形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，松鼠的尾巴——

生（齊）：斷開(kāi)了！（如圖1-2）

師：從開(kāi)始旋轉(zhuǎn)那一刻起，正四邊形轉(zhuǎn)動(dòng)幾下，松鼠的尾巴又能回位？到底需要轉(zhuǎn)動(dòng)幾次？從何判斷？

師：這樣吧，老師來(lái)模擬轉(zhuǎn)動(dòng)，你們跟著節(jié)奏一下一下地?cái)?shù)！

（教師轉(zhuǎn)動(dòng)圖片，學(xué)生跟著轉(zhuǎn)動(dòng)的節(jié)奏點(diǎn)計(jì)數(shù)）

師（轉(zhuǎn)動(dòng)到第6下時(shí)突然停頓）：尾巴回位了嗎？

（沒(méi)有得到學(xué)生肯定的回答，教師繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)圖片，學(xué)生繼續(xù)跟著教師轉(zhuǎn)動(dòng)的節(jié)奏計(jì)數(shù)。當(dāng)教師轉(zhuǎn)到第12下時(shí)，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)松鼠的尾巴回位了。）

師：如果繼續(xù)往下轉(zhuǎn)動(dòng)正四邊形，旋轉(zhuǎn)到第幾下時(shí)松鼠的尾巴可以重新回位？（24下！）如果繼續(xù)不停地往下旋轉(zhuǎn)呢？（36下！）如果繼續(xù)往下推演，尾巴可以接回多少次？這個(gè)有趣的續(xù)接尾巴的游戲就叫作“尾巴再植術(shù)”。

這節(jié)課的游戲?qū)雱e具一格，它并非簡(jiǎn)單粗暴地將數(shù)學(xué)知識(shí)編入游戲活動(dòng)中，把游戲當(dāng)成一種誘餌，一旦學(xué)生入局，馬上停止游戲，直奔數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。而是通過(guò)設(shè)置懸念“‘尾巴再植術(shù)游戲與‘公倍數(shù)和最小公倍數(shù)有什么關(guān)聯(lián)呢？”吊足學(xué)生的胃口，激發(fā)他們的探究欲。游戲情節(jié)，既脫胎于現(xiàn)實(shí)情境，又超脫于現(xiàn)實(shí)情境，看似低幼實(shí)則蘊(yùn)含玄機(jī)，答案看似近在眼前卻又云遮霧繞，這種近在咫尺卻又觸不可及的感覺(jué)深深“誘惑”著學(xué)生不斷探究下去。

二、再次游戲，轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)

【教學(xué)片段2】

師：如果重玩一次，你們有必勝的把握嗎？請(qǐng)看電子屏幕（如圖2），這一回難度升級(jí)了，不僅動(dòng)物變了，多邊形外框也變了，這回是幾邊形和幾邊形？（八邊形和五邊形）這次，需要轉(zhuǎn)動(dòng)幾下，尾巴才能回位？老師來(lái)模擬旋轉(zhuǎn)，你們跟著老師的節(jié)奏計(jì)數(shù)。

師：誰(shuí)運(yùn)氣好猜中了？掌聲鼓勵(lì)！

師：我再提供一些類(lèi)似的多邊形組合（出示“五邊形+四邊形”“八邊形+四邊形”的組合，如圖3），你們自行組隊(duì)，按照前面的玩法，先猜測(cè)結(jié)果，再手動(dòng)旋轉(zhuǎn)，最后利用數(shù)據(jù)制表。下面請(qǐng)大家小組合作來(lái)玩這個(gè)游戲。

首次玩這個(gè)游戲，學(xué)生大都感到新奇，只是因?yàn)樨澩?第二次玩這個(gè)游戲，教師提出了附加條件和游戲任務(wù)，要求學(xué)生在游戲中注意并回答：“哪里變了？更重要的是哪些因素變了？”看似輕描淡寫(xiě)的無(wú)心一問(wèn)，實(shí)則是精心設(shè)計(jì)，悄無(wú)聲息地將學(xué)生的注意力從玩耍中轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)思考：從兩個(gè)多邊形邊數(shù)來(lái)分析，第一次時(shí)兩個(gè)邊數(shù)6和4為一對(duì)非互質(zhì)數(shù)，第二次時(shí)兩個(gè)邊數(shù)8和5為互質(zhì)關(guān)系;從尾巴回位所需的最低轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)看，第一次次數(shù)少，第二次次數(shù)多;從操作形式看，第一次屬于手動(dòng)操作，第二次屬于模擬操作。學(xué)生從前兩次游戲活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)是間接的，但是這個(gè)過(guò)程不可忽略，學(xué)生沒(méi)有這個(gè)間接經(jīng)驗(yàn)就沒(méi)有接著去猜想、驗(yàn)證的動(dòng)機(jī)和基礎(chǔ)。學(xué)生一邊操作、一邊記錄數(shù)據(jù)、一邊前后對(duì)比和推理反思，隨著游戲的深入，他們會(huì)逐漸意識(shí)到，事情沒(méi)有表面看到的那么簡(jiǎn)單，背后另有玄機(jī)。兩組多邊形的邊數(shù)也是精心設(shè)計(jì)的，一組互質(zhì)，另一組互為因倍數(shù)，有利于學(xué)生對(duì)比辨析并從異同點(diǎn)中總結(jié)出規(guī)律。

三、建立模型，初步歸納

【教學(xué)片段3】

師：剛才，我們一共玩了三次續(xù)接尾巴的游戲，第一次，猜對(duì)的人屈指可數(shù);第二次，猜對(duì)的人接二連三;第三次，猜對(duì)的人如雨后春筍。你們是不是掌握了什么訣竅？斷尾后首次再接成功所需的次數(shù)與什么有關(guān)？這個(gè)關(guān)系究竟是什么？先請(qǐng)大家小組討論，然后展示匯報(bào)。

生1：兩個(gè)多邊形的邊數(shù)相乘的積，就是首次續(xù)尾成功的次數(shù)。

師：請(qǐng)舉例說(shuō)明。

生1：比如說(shuō)四邊形和六邊形，因?yàn)?乘6等于24，所以最低限度轉(zhuǎn)動(dòng)24下就能續(xù)接斷尾。又如正五邊形和正八邊形，因?yàn)?乘8等于40，所以續(xù)接尾巴成功的最低次數(shù)是40。同理，四八三十二、四五二十，32和20也都是相應(yīng)的最低次數(shù)。

師：其他小組有何異議？

生2：他們的發(fā)現(xiàn)有一定的道理，但是不夠周密，所得乘積數(shù)不一定是尾巴首次回位所需的最低轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)，比如“四六二十四”的24就不是最低次數(shù)，最低次數(shù)應(yīng)是12，而24是第二次尾巴回位的次數(shù)。

師：雖然兩個(gè)圖形的邊數(shù)所構(gòu)成的乘積必定是斷尾回位的次數(shù)，但是不一定是最低次數(shù)，一些其他非邊數(shù)乘積的次數(shù)，也能實(shí)現(xiàn)尾巴回位。

生3：尾巴回位的轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)，既是圖1-1左側(cè)圖形邊數(shù)的倍數(shù)，又是圖1-2右側(cè)圖形邊數(shù)的倍數(shù)。

師：你能結(jié)合具體數(shù)據(jù)詳細(xì)說(shuō)明嗎？

生3：比如說(shuō)12、24、36都是能夠?qū)崿F(xiàn)斷尾回位的次數(shù)，這三個(gè)數(shù)都同時(shí)是6和4的倍數(shù)。

師：其他組有什么意見(jiàn)？

生4：結(jié)論一樣，40、80、120都同時(shí)是8和5的倍數(shù)。

師：其他小組有無(wú)異議？（沒(méi)人反對(duì)）那好！一致全票通過(guò)！

課堂上教師以退為進(jìn)，充分信賴(lài)學(xué)生，學(xué)生步步深入，思維得到了極大的發(fā)散。學(xué)習(xí)其實(shí)是一個(gè)學(xué)生重構(gòu)個(gè)性化經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知的過(guò)程，在經(jīng)驗(yàn)積累越來(lái)越多時(shí)，學(xué)生就會(huì)迫切需要分享自己的新發(fā)現(xiàn)，以實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值，得到集體認(rèn)同。相同的游戲活動(dòng)，不同的學(xué)生收獲不一樣。在個(gè)性化的表述中，學(xué)生的思維是率真質(zhì)樸的，盡管粗糙，但很真實(shí)。交流時(shí)學(xué)生激烈爭(zhēng)辯，真理越辯越明，規(guī)律慢慢浮出水面。課堂上學(xué)生個(gè)個(gè)心細(xì)如發(fā)，思考的過(guò)程被完整地展示出來(lái)。

四、完善模型，概念出爐

師：經(jīng)過(guò)剛才的交流匯報(bào)，我們歸納出斷尾再續(xù)的秘訣是兩個(gè)正多邊形邊數(shù)的公倍數(shù)，斷尾首次回位所需的轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。如果再次玩這個(gè)游戲，你們有必勝的信心嗎？例如正八邊形和正六邊形（如圖4），要推算出尾巴回位時(shí)，正六邊形轉(zhuǎn)動(dòng)的最低次數(shù)，實(shí)際上就是求8和6的——

生1：最小公倍數(shù)！（24）

師：你能用文字詳細(xì)描述這個(gè)結(jié)論嗎？

生1：先分別找出6的若干個(gè)倍數(shù)和8的若干個(gè)倍數(shù)，再找出它們的交集。

師：生1是先寫(xiě)出6的一些倍數(shù)，再寫(xiě)出8的一些倍數(shù)，然后找出它們的共同倍數(shù)。剛才老師巡視時(shí)，發(fā)現(xiàn)其他做法，你們幫忙鑒別一下。（屏幕演示，略）

生2：6的一倍不是8的倍數(shù)，6的二倍不是8的倍數(shù)，6的三倍18不是8的倍數(shù)，6的四倍24是8的倍數(shù)。

師：他的做法其實(shí)就是先列舉出6的一些倍數(shù)，再來(lái)逐個(gè)鑒別是不是8的倍數(shù)。能聽(tīng)明白嗎？

生3：能。

師：你們還有其他意見(jiàn)嗎？

生4：這種做法其實(shí)就是在6的所有倍數(shù)集合中檢索8的倍數(shù)。我覺(jué)得在這里8大一些，應(yīng)該反過(guò)來(lái)用8的倍數(shù)來(lái)測(cè)試更科學(xué)，這樣測(cè)試的次數(shù)少一些。

在小學(xué)階段，“建模”其實(shí)就是一種“數(shù)學(xué)化”途徑，其本質(zhì)就是將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行模型化處理。本文中，教師引導(dǎo)學(xué)生“建模”，步步誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)斷尾回位的秘訣：求出兩個(gè)正多邊形邊數(shù)的公倍數(shù)。當(dāng)學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)極大豐富，思維趨于成熟時(shí)，教師就將新知做抽象化處理，使其“數(shù)學(xué)化”。最后，情境、問(wèn)題與概念三位一體，只要提到公倍數(shù)，“斷尾續(xù)接”的情境馬上浮現(xiàn)于腦海，可見(jiàn)學(xué)生已經(jīng)儲(chǔ)存了最小公倍數(shù)的模型編碼。

（責(zé)編 黃春香）