自制量角器探知角的度量單位和量角原理

劉靜嫻

[摘 要]用量角器量角是度量教學的一個難點，不僅因為測量從一維線段擴充到二維平面，而且它有別于面積度量，只能依靠實體工具來直接測量，無法通過相關基礎參數來計算，因此借助前面的度量單位概念來類比推理和確立角度單位，十分必要。

[關鍵詞]自制量角器;角度單位;量角;原理

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0067-02

筆者有幸聆聽了一節北師大版教材四年級“角的度量”一課，該課發人深省，許多地方值得稱道。執教者能夠始終圍繞“學生的發展”展開教學，教學效果出奇的好，十分難得，這需要高超的授課技巧。對于這難得一見的好課，筆者覺得有必要記錄下來，以期與同行切磋探討。

一、體會量角的必要性

首先，教師圍繞“角的大小指的是什么？”這個問題，請學生展開討論，并描述什么是角的大小，進而讓學生理解什么是角的大小。再以問題“人類研制出量角器前，是如何度量角的大小的？”觸發學生思考。

然后，教師話鋒一轉，提示道：“這個問題有點突然，我們先來回顧一下以前的測量方法，看是否能帶來一些靈感。”學生在腦海里搜索：測量長度是用1厘米、1分米這樣的線段來度量，測量面積則是用1平方厘米、1平方分米這樣的小正方形來度量，從而歸納出一個通行規則：大角可以用規定好的小角來度量。

【設計意圖：通過類比推理，喚醒學生過去測量物體的經驗，歸納出度量單位的制定規則與使用過程，推理出角度的測量也需要制定固定大小的角度作為角的專用度量單位，用單位角的個數去度量大角的度數。這樣不但激發了學生的探究欲，而且降低了難度，給學生鋪好了臺階，引導學生構建了度量知識的龐大體系，發展了學生的創造力。】

二、體會統一單位的必要性

接著，分組測量、拼擺，測量某大角（給定的大角）里包含幾個單位角。有的學生測量的結果是3個小角，為3度，有的學生測量的結果是4個小角，為4度，而有的學生測量的結果是5個小角，為5度，結果各異。這時學生發現不對勁，同一個角不可能存在幾個度數，于是學生覺察到有必要統一度量單位，也就是“要用同一個小角作為單位角”“要制定一個約定俗成的單位標準”。

【設計意圖：這個環節獨具匠心，制造了認知沖突，不但讓學生通過相互矛盾的實驗結果覺察到單位角度出了問題，而且還產生統一單位大小的需求。學生在活動交流中進一步體會到度量單位的制定需慎重，同時更加清醒地認識到度量單位測量的運作原理，即小角不斷累加形成大角，小角的個數就是大角的度數。此時，學生的學習興趣空前高漲，教師再詳細介紹1度角及1度角的來歷與寫法則水到渠成。】

三、發明量角器，理解量角原理

定好了統一標準的角度單位（1度），接著進行初次測量：以1度角為單位角，估測5度、10度角的大小;以10度角為單位角，估測20度、60度角的大小。在檢驗估測結果的時候，課件展示1度角、10度角不斷疊加鋪滿大角的過程，讓學生在計數的過程中感受角度和長度一樣可以連續密鋪疊加。

【設計意圖：估測是教學的一大難點，因為小學生從未體驗過幾何特性上的疊加，即通過幾何形狀上的疊加來推算理解數量上的疊加，而教師讓學生用1度作為單位角來估測5度角，轉而又將5度作為單位角來估測10度角，再轉而將10度作為單位角去估測20度、60度角，層層遞進，不斷更換度量單位，有序擴大度量單位，使單位角這個表象更加完整和立體，同時學生的度量意識也有所加強。】

教師提問：“用1度的角作單位可以度量任何大小的角，那是不是就代表每個角都得一五一十地一度一度地去連接覆蓋？（出示一個60度角）這個角也需要用1度角去一個個度量嗎？（學生自然而然地想到了用量角器）如果不用量角器，我們自力更生，自創一個單位角去度量，可以嗎？”（明明有量角器，為何要舍近求遠、舍易求難，自創單位角呢？到底搞什么名堂？作為旁觀者，筆者心里不禁犯嘀咕：為什么不順應“民心”，從量角器開始研究，非要設置障礙呢？）

學生集體商議后得出的法子是“用1度角拼出一個合適的大小”，創造一個新單位角，再來測量就方便得多，這樣數數的次數會變少。拼成的新單位可以是直角、周角。

課件演示用1度角組接成一個半圓形簡易量角器，所有1度角的頂點集中在一個定點上，此點就是量角器的中心點;接著討論該怎么使用，如何擺放，如何讀數。有的學生一板一眼地數出1度角的個數，有的半途而廢，嫌煩瑣。于是教師引導學生改良量角器，標上刻度，這樣就不用一個個去數了。學生進一步改進工藝：1度一個間隔標出刻線太密集，難以辨認，10度一個間隔標出刻線較為合理。學生嘗試用自制量角器量角。

由教師量出圖1中角1、角2的度數，學生通過觀察反思，指出并糾正教師操作的不當之處，總結出量角的一般方法。學生在測量角3的度數時，出現40度和140度兩種結果。學生發現角度的開口方向與量角器的讀數方向相反，無法正確讀數，需進一步改進量角器：在外層再反向標明一圈刻度，形成內外兩圈刻度，同一位置兩圈刻度數的示數和為180度。這樣制成的量角器就比較合格了。

【設計意圖：設計這一環節的初衷是為了完善量角器。然而在加工改進的過程中，卻有意外的收獲：學生不僅知道了角的一邊與量角器0刻線的哪半段重合，讀數時的起始刻度就是哪半段，另一條邊指向的刻度數就是被測角的大小，量角原理就是從量角器上找出一個和待測角大小相同的角。】

四、使用量角器，掌握測量方法

教師先出示鈍角和銳角，讓學生判斷應該順著哪一圈刻度讀數，然后出示只畫了一條邊的角，這條邊正好指向50度刻度線（如圖2），讓學生猜測它的度數。學生猜測可能是50度或130度。課件出示70度角（如圖3），由學生解釋70度是怎么得到的。

【設計意圖：引導學生觀察對比自制量角器與正規量角器，進一步認識量角器，并在正規量角器上定角、畫角、量角，鞏固和總結測量方法。】

五、教學思考

本節課給筆者留下的深刻印象主要有三方面：

一是教學設計能做到為學生量體裁衣。課前，教師對學生進行調查采訪，發現了很多問題。如學生對角的大小的感知很模糊，對量角器的結構和工作原理一知半解，對測量要領和測量方法也知之甚少。為此，設計了自制量角器環節，讓學生邊制作邊思考測量原理，從而深刻理解角的大小概念。

二是能按學生的思路循循善誘。從學生熟悉的長度、面積的度量單位入手，遷移類比到角的單位的制定與測量，推導出大角可以用小角來量，但是小角要統一標準，順利引出角的度量單位——1度角。有了1度角作單位，可以估測5度角的大小，再將5度角定為大一級的單位估測10度角的大小，然后將10度角作為更大一級的單位，估測20度、60度角的大小。按這個思路，任何角都可以估測，但是如何精確測量呢？角的度量工具應運而生。

學生將1度角不斷疊加，制成一個簡易量角器。該如何標記刻度呢？經過研究，統一認為10度作為一個間隔較為科學。接著就要付諸實踐，投入使用。當測量圖1中的角3時，學生發現不對勁。就這樣，學生在不斷化解認知沖突的過程中，改進和完善了量角器，同時對量角原理也有了一個透徹深刻的認識，思維更縝密，思路更清晰。

三是能根據學生思維的發展方向來設計數學活動。在實際教學中，因為量角器的普及度很高，有的教師干脆讓學生拿來就用，在使用中再慢慢理解量角原理，掌握量角、畫角方法，形成操作技能。這是不符合思維發展規律的，學生可能會懷疑量角器的必要性，因而產生制造量角器這一現實需求才是思維的起點。

本節課依靠豐富的有啟發意義的活動，充分調動學生的學習積極性，讓學生經歷知識的生成和演變的過程，真正實現以學定教，按需供給，這樣的課堂才是鮮活的。

（責編 羅 艷）