自制量角器探知角的度量單位和量角原理

劉靜嫻

[摘 要]用量角器量角是度量教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，不僅因?yàn)闇y(cè)量從一維線段擴(kuò)充到二維平面，而且它有別于面積度量，只能依靠實(shí)體工具來(lái)直接測(cè)量，無(wú)法通過(guò)相關(guān)基礎(chǔ)參數(shù)來(lái)計(jì)算，因此借助前面的度量單位概念來(lái)類比推理和確立角度單位，十分必要。

[關(guān)鍵詞]自制量角器;角度單位;量角;原理

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）32-0067-02

筆者有幸聆聽(tīng)了一節(jié)北師大版教材四年級(jí)“角的度量”一課，該課發(fā)人深省，許多地方值得稱道。執(zhí)教者能夠始終圍繞“學(xué)生的發(fā)展”展開(kāi)教學(xué)，教學(xué)效果出奇的好，十分難得，這需要高超的授課技巧。對(duì)于這難得一見(jiàn)的好課，筆者覺(jué)得有必要記錄下來(lái)，以期與同行切磋探討。

一、體會(huì)量角的必要性

首先，教師圍繞“角的大小指的是什么？”這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生展開(kāi)討論，并描述什么是角的大小，進(jìn)而讓學(xué)生理解什么是角的大小。再以問(wèn)題“人類研制出量角器前，是如何度量角的大小的？”觸發(fā)學(xué)生思考。

然后，教師話鋒一轉(zhuǎn)，提示道：“這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)突然，我們先來(lái)回顧一下以前的測(cè)量方法，看是否能帶來(lái)一些靈感。”學(xué)生在腦海里搜索：測(cè)量長(zhǎng)度是用1厘米、1分米這樣的線段來(lái)度量，測(cè)量面積則是用1平方厘米、1平方分米這樣的小正方形來(lái)度量，從而歸納出一個(gè)通行規(guī)則：大角可以用規(guī)定好的小角來(lái)度量。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)類比推理，喚醒學(xué)生過(guò)去測(cè)量物體的經(jīng)驗(yàn)，歸納出度量單位的制定規(guī)則與使用過(guò)程，推理出角度的測(cè)量也需要制定固定大小的角度作為角的專用度量單位，用單位角的個(gè)數(shù)去度量大角的度數(shù)。這樣不但激發(fā)了學(xué)生的探究欲，而且降低了難度，給學(xué)生鋪好了臺(tái)階，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建了度量知識(shí)的龐大體系，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)造力。】

二、體會(huì)統(tǒng)一單位的必要性

接著，分組測(cè)量、拼擺，測(cè)量某大角（給定的大角）里包含幾個(gè)單位角。有的學(xué)生測(cè)量的結(jié)果是3個(gè)小角，為3度，有的學(xué)生測(cè)量的結(jié)果是4個(gè)小角，為4度，而有的學(xué)生測(cè)量的結(jié)果是5個(gè)小角，為5度，結(jié)果各異。這時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不對(duì)勁，同一個(gè)角不可能存在幾個(gè)度數(shù)，于是學(xué)生覺(jué)察到有必要統(tǒng)一度量單位，也就是“要用同一個(gè)小角作為單位角”“要制定一個(gè)約定俗成的單位標(biāo)準(zhǔn)”。

【設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)獨(dú)具匠心，制造了認(rèn)知沖突，不但讓學(xué)生通過(guò)相互矛盾的實(shí)驗(yàn)結(jié)果覺(jué)察到單位角度出了問(wèn)題，而且還產(chǎn)生統(tǒng)一單位大小的需求。學(xué)生在活動(dòng)交流中進(jìn)一步體會(huì)到度量單位的制定需慎重，同時(shí)更加清醒地認(rèn)識(shí)到度量單位測(cè)量的運(yùn)作原理，即小角不斷累加形成大角，小角的個(gè)數(shù)就是大角的度數(shù)。此時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣空前高漲，教師再詳細(xì)介紹1度角及1度角的來(lái)歷與寫(xiě)法則水到渠成。】

三、發(fā)明量角器，理解量角原理

定好了統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的角度單位（1度），接著進(jìn)行初次測(cè)量：以1度角為單位角，估測(cè)5度、10度角的大小;以10度角為單位角，估測(cè)20度、60度角的大小。在檢驗(yàn)估測(cè)結(jié)果的時(shí)候，課件展示1度角、10度角不斷疊加鋪滿大角的過(guò)程，讓學(xué)生在計(jì)數(shù)的過(guò)程中感受角度和長(zhǎng)度一樣可以連續(xù)密鋪疊加。

【設(shè)計(jì)意圖：估測(cè)是教學(xué)的一大難點(diǎn)，因?yàn)樾W(xué)生從未體驗(yàn)過(guò)幾何特性上的疊加，即通過(guò)幾何形狀上的疊加來(lái)推算理解數(shù)量上的疊加，而教師讓學(xué)生用1度作為單位角來(lái)估測(cè)5度角，轉(zhuǎn)而又將5度作為單位角來(lái)估測(cè)10度角，再轉(zhuǎn)而將10度作為單位角去估測(cè)20度、60度角，層層遞進(jìn)，不斷更換度量單位，有序擴(kuò)大度量單位，使單位角這個(gè)表象更加完整和立體，同時(shí)學(xué)生的度量意識(shí)也有所加強(qiáng)。】

教師提問(wèn)：“用1度的角作單位可以度量任何大小的角，那是不是就代表每個(gè)角都得一五一十地一度一度地去連接覆蓋？（出示一個(gè)60度角）這個(gè)角也需要用1度角去一個(gè)個(gè)度量嗎？（學(xué)生自然而然地想到了用量角器）如果不用量角器，我們自力更生，自創(chuàng)一個(gè)單位角去度量，可以嗎？”（明明有量角器，為何要舍近求遠(yuǎn)、舍易求難，自創(chuàng)單位角呢？到底搞什么名堂？作為旁觀者，筆者心里不禁犯嘀咕：為什么不順應(yīng)“民心”，從量角器開(kāi)始研究，非要設(shè)置障礙呢？）

學(xué)生集體商議后得出的法子是“用1度角拼出一個(gè)合適的大小”，創(chuàng)造一個(gè)新單位角，再來(lái)測(cè)量就方便得多，這樣數(shù)數(shù)的次數(shù)會(huì)變少。拼成的新單位可以是直角、周角。

課件演示用1度角組接成一個(gè)半圓形簡(jiǎn)易量角器，所有1度角的頂點(diǎn)集中在一個(gè)定點(diǎn)上，此點(diǎn)就是量角器的中心點(diǎn);接著討論該怎么使用，如何擺放，如何讀數(shù)。有的學(xué)生一板一眼地?cái)?shù)出1度角的個(gè)數(shù)，有的半途而廢，嫌煩瑣。于是教師引導(dǎo)學(xué)生改良量角器，標(biāo)上刻度，這樣就不用一個(gè)個(gè)去數(shù)了。學(xué)生進(jìn)一步改進(jìn)工藝：1度一個(gè)間隔標(biāo)出刻線太密集，難以辨認(rèn)，10度一個(gè)間隔標(biāo)出刻線較為合理。學(xué)生嘗試用自制量角器量角。

由教師量出圖1中角1、角2的度數(shù)，學(xué)生通過(guò)觀察反思，指出并糾正教師操作的不當(dāng)之處，總結(jié)出量角的一般方法。學(xué)生在測(cè)量角3的度數(shù)時(shí)，出現(xiàn)40度和140度兩種結(jié)果。學(xué)生發(fā)現(xiàn)角度的開(kāi)口方向與量角器的讀數(shù)方向相反，無(wú)法正確讀數(shù)，需進(jìn)一步改進(jìn)量角器：在外層再反向標(biāo)明一圈刻度，形成內(nèi)外兩圈刻度，同一位置兩圈刻度數(shù)的示數(shù)和為180度。這樣制成的量角器就比較合格了。

【設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)的初衷是為了完善量角器。然而在加工改進(jìn)的過(guò)程中，卻有意外的收獲：學(xué)生不僅知道了角的一邊與量角器0刻線的哪半段重合，讀數(shù)時(shí)的起始刻度就是哪半段，另一條邊指向的刻度數(shù)就是被測(cè)角的大小，量角原理就是從量角器上找出一個(gè)和待測(cè)角大小相同的角。】

四、使用量角器，掌握測(cè)量方法

教師先出示鈍角和銳角，讓學(xué)生判斷應(yīng)該順著哪一圈刻度讀數(shù)，然后出示只畫(huà)了一條邊的角，這條邊正好指向50度刻度線（如圖2），讓學(xué)生猜測(cè)它的度數(shù)。學(xué)生猜測(cè)可能是50度或130度。課件出示70度角（如圖3），由學(xué)生解釋70度是怎么得到的。

【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察對(duì)比自制量角器與正規(guī)量角器，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)量角器，并在正規(guī)量角器上定角、畫(huà)角、量角，鞏固和總結(jié)測(cè)量方法。】

五、教學(xué)思考

本節(jié)課給筆者留下的深刻印象主要有三方面：

一是教學(xué)設(shè)計(jì)能做到為學(xué)生量體裁衣。課前，教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查采訪，發(fā)現(xiàn)了很多問(wèn)題。如學(xué)生對(duì)角的大小的感知很模糊，對(duì)量角器的結(jié)構(gòu)和工作原理一知半解，對(duì)測(cè)量要領(lǐng)和測(cè)量方法也知之甚少。為此，設(shè)計(jì)了自制量角器環(huán)節(jié)，讓學(xué)生邊制作邊思考測(cè)量原理，從而深刻理解角的大小概念。

二是能按學(xué)生的思路循循善誘。從學(xué)生熟悉的長(zhǎng)度、面積的度量單位入手，遷移類比到角的單位的制定與測(cè)量，推導(dǎo)出大角可以用小角來(lái)量，但是小角要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，順利引出角的度量單位——1度角。有了1度角作單位，可以估測(cè)5度角的大小，再將5度角定為大一級(jí)的單位估測(cè)10度角的大小，然后將10度角作為更大一級(jí)的單位，估測(cè)20度、60度角的大小。按這個(gè)思路，任何角都可以估測(cè)，但是如何精確測(cè)量呢？角的度量工具應(yīng)運(yùn)而生。

學(xué)生將1度角不斷疊加，制成一個(gè)簡(jiǎn)易量角器。該如何標(biāo)記刻度呢？經(jīng)過(guò)研究，統(tǒng)一認(rèn)為10度作為一個(gè)間隔較為科學(xué)。接著就要付諸實(shí)踐，投入使用。當(dāng)測(cè)量圖1中的角3時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不對(duì)勁。就這樣，學(xué)生在不斷化解認(rèn)知沖突的過(guò)程中，改進(jìn)和完善了量角器，同時(shí)對(duì)量角原理也有了一個(gè)透徹深刻的認(rèn)識(shí)，思維更縝密，思路更清晰。

三是能根據(jù)學(xué)生思維的發(fā)展方向來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)。在實(shí)際教學(xué)中，因?yàn)榱拷瞧鞯钠占岸群芨撸械慕處煾纱嘧寣W(xué)生拿來(lái)就用，在使用中再慢慢理解量角原理，掌握量角、畫(huà)角方法，形成操作技能。這是不符合思維發(fā)展規(guī)律的，學(xué)生可能會(huì)懷疑量角器的必要性，因而產(chǎn)生制造量角器這一現(xiàn)實(shí)需求才是思維的起點(diǎn)。

本節(jié)課依靠豐富的有啟發(fā)意義的活動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生成和演變的過(guò)程，真正實(shí)現(xiàn)以學(xué)定教，按需供給，這樣的課堂才是鮮活的。

（責(zé)編 羅 艷）