數學推理：在“做”數學中蓬勃生長

黃亮

[摘 要]課程改革要求學生具備數學核心素養，而數學推理能力則是其中重要的組成部分。推理是數學思維的一種基本表現形式，它貫穿整個數學教學的始終。良好的推理能力離不開有效的實踐操作，課程標準將“做”數學確定為主要學習方式，通過動手操作，促進學生對知識的理解和掌握，從而鍛煉學生的思維能力，發展學生的推理能力。教師以“做”數學為基石，開展數學探究活動、猜想驗證活動、數學實驗活動、手工活動等，來促進學生推理能力的發展。

[關鍵詞]“做”數學;推理能力;思維

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0079-02

推理是一種思維活動。東北師范大學史寧中教授說過：“數學核心素養主要由抽象、推理和建模構成。”由此可見，推理能力是核心素養的重要組成部分，沒有推理，就沒做到真正的數學學習，推理能力是學生學習數學應當具備的一項關鍵能力。課程標準將“做”數學明確規定為主要學習方式，強調以學生為主體，通過動手操作、實驗探究、交流合作等方式來激活學生的數學思維，使學生樹立自主學習意識，形成嚴謹、科學的態度，全面提升推理能力。可見，有效的實踐操作可以加強對數學知識的理解，它是培養推理能力不可或缺的基礎，推理能力的培養也能促進對數學知識的理解。教師可以設計多種形式的“做”數學活動，讓學生在活動中發展推理能力。

一、開展數學探究活動，在“做”數學中發展推理能力

數學學習一般都是由易到難，從特殊過渡到一般的漸進過程，前一階段的學習是后續學習的基礎。在數學學習中開展有趣的探究活動，能幫助學生對所學知識進行有效的整理、鞏固、延伸，讓學生真正窺探到數學概念的內涵，并在探究規律的過程中，獲得邏輯思維和推理思維的飛躍提升。因此，教師可采取有效的探究活動，通過“做”數學的學習方式來助力學生發展推理能力。

例如，在教學“兩、三位數的加法和減法”時，教師組織學生開展數學探究活動來進行推理。首先，在課前讓學生自主制作9張卡片，在卡片上標數字1～9。課堂上，教師引導學生開展以下探究活動。

第一步，教師要求學生用手中的卡片擺出124、356、978這3個三位數，并求出它們的和，然后再擺出156、378、924和178、356、924這2組數字并求和。學生通過動手操作很快就發現：根據教師要求所組成的3個三位數的和都是1458。這一步的活動目的是激發學生的研究興趣。

第二步，教師引發學生的思考：為什么以上3組數字的和都是1458？并引導學生利用手中的卡片擺一擺。學生利用卡片擺出了所有可能的三位數，并列出大量算式，經過觀察、對比、分析發現，每次組成的3個三位數，它們的百位數一般都是1、3、9，而十位數總是2、5、7，個位數是4、6、8。

第三步，教師進一步引導學生開展開放性小組探究活動，讓學生自發組成學習小組，每個小組自主制訂標準，利用卡片組成不一樣的3個三位數，并計算出它們的和，讓學生從中歸納出對應的數學規律，領悟數學概念的內涵。

教師正是通過動手操作的探究活動，讓學生開展數學推理活動，經歷數學規律推理出的整個過程，在探究活動中有效促進推理能力的提升。

二、組織猜想驗證活動，在“做”數學中發展推理能力

在小學數學教學中有一些數學推理活動需要經歷猜想驗證的過程，學生先猜“這個事物有可能是什么”，然后在此基礎上采用各類方法，如，實踐操作、實驗探究等求證并判斷，最終得出結論。這也是一般的探究過程。因此，教師在進行推理能力的培養時，不妨讓學生在猜想的基礎上通過實踐操作來進行驗證，讓學生在“做”數學的過程中領悟數學推理的真諦。

例如，在教學“四邊形的內角和”時，由于學生已經學過了三角形的內角和，知道了三角形的內角和為180o，因此，教師可引導學生通過猜想驗證的方式來進行數學推理。首先在教學時，要有目的地指導學生挖掘三角形的內角和與四邊形的內角和這兩個概念之間相同的屬性，為四邊形的內角和的類比推理提供理論基礎和方法支持。

理論基礎：四邊形的內角和與三角形的內角和都屬于多邊形內角和的知識范疇，可見，內角和與圖形的邊數相關，兩者有一部分的屬性應當是一樣的。

方法支持：此前驗證三角形的內角和時學生學會了畫一畫、量一量、剪一剪、拼一拼等操作方法，可將其遷移到四邊形內角和的推理上，給學生創造猜想和實踐驗證的機會——在三角形內角和的基礎上猜想一下四邊形的內角和是多少。有學生從長方形和正方形思考，因為它們有4個直角，內角和為360°，因此猜想其他四邊形的內角和也是360°。接下來，教師組織學生開展動手操作的實踐活動，根據三角形內角和的驗證方法來驗證四邊形的內角和是360°。首先，學生在紙上畫出不同的四邊形，然后用量角器量一量4個角的度數，將4個角的度數加起來看看是否等于360°。也可以將它們沿著對角線劃分成2個三角形，由于每個三角形的內角和均為180°，因此四邊形的內角和是360°。或者用剪刀將每個角剪下來，再將它們拼在一起，發現能拼成平角，從而驗證四邊形的內角和是360°。學生在經過一系列的實踐操作后發現，不管是哪種四邊形，它的內角和都是360°，從而驗證了最開始的猜想，完成了數學推理。正是通過“猜想—驗證—總結”的方式，學生將三角形內角和的推理方式遷移到四邊形內角和的推理上，經歷了知識形成的過程，最終實現了推理能力的提升。

三、借助數學實驗活動，在“做”數學中發展推理能力

推理數學規律的過程離不開數學實驗，數學實驗不僅能將抽象的數學問題以較為直觀的形式展現出來，還能給學生深刻的體驗感，讓學生在不斷嘗試中更深入地理解和運用數學知識。因此，教師可以借助數學實驗來引導學生對數學信息進行搜集和整理，并分析出各類信息之間的關系，掌握推理的條件和依據，最終從條件推導出相應的結論，讓學生在“做”數學中構建明確的推理思路和方向，實現思維能力和推理能力的提升。

例如，在教學“長方形和正方形的面積”時，教師可以利用數學實驗進行演繹推理。比如，學習“長方形”時，教師可以讓學生自己動手畫一畫小正方形，然后將小正方形剪下來拼成一個長方形，規定每一行的小正方形個數等于長方形的長，而小正方形有幾行，長方形的寬就是多少，長方形中所包含的小正方形的面積之和就是長方形的面積。又因為小正方形的總面積等于每一行小正方形的面積數乘總行數，由此得出，長方形面積為長乘寬。在此實驗操作的基礎上，教師可以進一步推理出正方形的面積公式，由于長方形的面積為長乘寬，而正方形是屬于長和寬相等的一種特殊的長方形，由此得出正方形面積就是邊長乘邊長。當然，在整個實驗推理的過程中，學生可能有些地方做得不嚴謹，這就需要教師逐步引導，讓學生學會說數理、懂算理，進一步發展學生的邏輯思維能力，豐富學生的推理經驗。

四、利用手工活動，在“做”數學中發展推理能力

數學的特點就是抽象性與復雜性較強，因此，需要學生具備良好的邏輯思維和推理能力。讓學生通過手工活動來體驗數學知識形成的完整過程，在“做”數學的過程中，不斷深化對數學概念的理解，也是培養和發展學生推理能力的有效途徑。

例如，在教學“圓的面積”時，教師為了讓學生自主推理出圓的面積公式，加深對圓面積的認識，給學生布置了一項任務：模仿老師畫一個圓并將其16等分，再將這16份剪下來，剪好后，將它們拼成其他圖形，并觀察自己所拼成的圖形與圓有什么聯系。學生在剪、拼的過程中發現，這16個部分可以拼成一個近似長方形的圖形，而這個長方形的長就是圓周長的一半，即πr，寬則與圓的半徑相等，因為長方形的面積公式是長乘寬，由此可以推理出圓的面積公式就是πr2。教師正是利用手工活動，讓學生在“做”數學的過程中觀察、猜想、分析，自主推理出數學概念，在提高自主學習能力的同時也有效提升了推理能力，收獲了良好的學習效果。

總之，從“做”數學中培養學生的推理能力是一項行之有效的措施。教育家蘇霍姆林斯基說過：“手和腦之間有著千絲萬縷的聯系，手使腦得到發展，使它更加明智;腦使手得到發展，使它變成思維的工具和鏡子。”教師應當充分引導學生進行剪、拼、畫、折、量等操作，讓課堂變成學生發散思維的舞臺，進一步激活學生的創新能力，提升學生的數學思維，從而促進學生推理能力的發展，讓學生在快樂學習中逐步提升數學核心素養。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 蔣欣.在“做”數學中培育核心素養——“動手做”教學中發展學生關鍵能力策略的初探[J].數學教學通訊，2019（19）.

[2] 儲文亞.數學推理：學生數學學習的重要方式[J].數學教學通訊，2019（31）.

[3] 謝永萊.指尖上的魅力——動手做數學[J].名師在線，2019（13）.

（責編 黃 露）