Mecanum 輪底盤坡道行駛的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究

崔孟楠，竇志紅，劉星棟，吳平

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854

隨著人工智能的發(fā)展，以自動(dòng)導(dǎo)引運(yùn)輸車(automated guided vehicle,AGV)為代表的移動(dòng)機(jī)器人產(chǎn)品在生產(chǎn)和生活領(lǐng)域應(yīng)用獲得了前所未有的發(fā)展[1?3]。Mecanum 輪由于其多自由度的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于有全向移動(dòng)需求的各類型移動(dòng)機(jī)器人底盤上。

Mecanum 輪 是1973 年由瑞士人Bengt Ilon 設(shè)計(jì)的，由一個(gè)輪轂支撐架和若干沿一定角度排布安裝在輪轂周圍自由運(yùn)動(dòng)的輥?zhàn)咏M成，輥?zhàn)拥耐獗砻嫘螤钍乔妫嗇炛車妮佔(zhàn)拥妮嗴w的包絡(luò)線形成一個(gè)完整的圓。

特殊的結(jié)構(gòu)使Mecanum 輪具有3 個(gè)自由度，分別為繞輪子軸線轉(zhuǎn)動(dòng)、繞輥?zhàn)优c地面接觸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿輥?zhàn)虞S線垂直方向的平動(dòng)。由于特殊的結(jié)構(gòu)及其動(dòng)力特性，使得采用Mecanum 輪的底盤大多應(yīng)用于較為平整的路面上，這也在一定程度上限制了該種車輪底盤的應(yīng)用和推廣。通過研究Mecanum 輪底盤在復(fù)雜路況下的運(yùn)動(dòng)特性，可以在一定程度上擴(kuò)展底盤及整機(jī)的應(yīng)用范圍[4?5]。

1 Mecanum 輪底盤運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析

1.1 Mecanum 輪受力情況分析

Mecanum 輪結(jié)構(gòu)如圖1 所示，在平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，輪轂外沿輥?zhàn)拥膱A柱包絡(luò)面與地面接觸，且在任意時(shí)刻至少有一個(gè)輥?zhàn)优c地面接觸[6?7]。

圖1 Mecanum 輪結(jié)構(gòu)示意

底盤行駛過程中，電機(jī)的輸出扭矩Td經(jīng)過離合器、減速機(jī)、傳動(dòng)軸、驅(qū)動(dòng)橋傳到車輪上，則驅(qū)動(dòng)輪的扭矩T可表示為[8]

式中：i為 減速機(jī)的減速比，η為傳動(dòng)效率。

圖2 為驅(qū)動(dòng)輪滾動(dòng)過程受力示意圖。

圖2 驅(qū)動(dòng)輪滾動(dòng)過程受力示意

如圖2 所示，驅(qū)動(dòng)輪部位正壓力為FN，輪緣與地面接觸部位為靜摩擦，車輪對(duì)地面產(chǎn)生作用力Fo，路面給車輪的反作用摩擦力即為車輪前進(jìn)的驅(qū)動(dòng)力Fk。工程上通過試驗(yàn)可以測(cè)得車輪與地面的附著系數(shù) φ，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力大于車輪對(duì)地面的附著力Fφ時(shí)會(huì)產(chǎn)生打滑，則車輪進(jìn)行純滾動(dòng)的條件為[7?8]

圖3 為Mecanum 輪輥?zhàn)邮芰κ疽鈭D。

圖3 Mecanum 輪輥?zhàn)邮芰κ疽?/p>

如圖3 所示，斜線方向?yàn)榈撞枯佔(zhàn)优c地面接觸時(shí)的方向，輥?zhàn)拥膬A斜角度一般為45°。牽引力Fk是 由沿輥?zhàn)虞S線方向上的靜摩擦力F1和垂直于輥?zhàn)虞S線方向的滾動(dòng)摩擦力F2兩個(gè)力合成所得。

式中：μ1為 摩擦系數(shù)，由試驗(yàn)測(cè)得；μ2為滾動(dòng)摩擦系數(shù)，由試驗(yàn)測(cè)得。

由于輥?zhàn)油鈧?cè)采用具有彈性且摩擦系數(shù)較大的聚氨酯、橡膠等材料制成，而輥?zhàn)愚D(zhuǎn)軸兩側(cè)安裝有滾動(dòng)順暢的軸承，因此Mecanum 輪輥?zhàn)拥撵o摩擦力F1遠(yuǎn) 大于滾動(dòng)摩擦力F2，一般在分析時(shí)取牽引力Fk≈F1。在圖3 所示的車輪坐標(biāo)系下，牽引力Fk可 分解為Fx及Fy共2 個(gè)方向的分力，其中Fx作為車輪整體向前滾動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力，根據(jù)與驅(qū)動(dòng)扭矩的關(guān)系可以得到[9]：

1.2 Mecanum 輪底盤運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

四輪Mecanum 輪底盤是目前工業(yè)應(yīng)用中最為常見的結(jié)構(gòu)形式，四輪布置位置及方向在很大程度上會(huì)影響底盤整體的運(yùn)動(dòng)特性，綜合多種運(yùn)動(dòng)特性分析，較為常用的一種結(jié)構(gòu)布局如圖4所示[10]。

圖4 四輪Mecanum 底盤廣義坐標(biāo)系示意

建立底盤廣義坐標(biāo)系XOY(圖4)和單輪局部坐標(biāo)系xioiyi(i=1,2,3,4)如 圖5，其中R為Mecanum輪半徑，I1、I2分 別為底盤輪距、軸距的一半，α為Mecanum 輪輥?zhàn)虞S線與輪轂軸線的夾角，4 個(gè)車輪均為45°。設(shè)4 個(gè)輪的角速度分別為 ω1～ ω4，每個(gè)輪輥?zhàn)訚L動(dòng)速度為vg1～vg4，底盤的縱向速度為vx，橫向速度為vy，旋轉(zhuǎn)速度為 ωo。

圖5 單輪局部坐標(biāo)系示意

將第1 個(gè)Mecanum輪在局部坐標(biāo)系和整車廣義坐標(biāo)系中分別進(jìn)行運(yùn)動(dòng)參數(shù)分析，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分別如下：

在局部坐標(biāo)系x1o1y1中有：

在廣義坐標(biāo)系XOY中有：

式(1)和式(2)聯(lián)立求得：

對(duì)4 個(gè)車輪進(jìn)行相同的分析，則得到整車的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

對(duì)于運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)平穩(wěn)的底盤，4 個(gè)車輪轉(zhuǎn)速的線性關(guān)系為

如式(3)不成立，則表明出現(xiàn)了底盤運(yùn)動(dòng)打滑現(xiàn)象，影響平臺(tái)的正常運(yùn)行。

根據(jù)底盤運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可看出，通過分別控制4 個(gè)車輪的轉(zhuǎn)速，車輪旋轉(zhuǎn)過程中輥?zhàn)优c地面接觸，由此產(chǎn)生沿輥?zhàn)幼陨磔S線方向的摩擦力，4 個(gè)車輪的摩擦力作為驅(qū)動(dòng)力，通過不同組合實(shí)現(xiàn)底盤的各種運(yùn)動(dòng)模式。典型運(yùn)動(dòng)模式下車輪受力情況如圖6。分別將4 個(gè)車輪的驅(qū)動(dòng)力在底盤質(zhì)心上進(jìn)行合成，即可得到底盤整體的驅(qū)動(dòng)合力Fk及轉(zhuǎn)矩T[9?10]。

圖6 底盤運(yùn)動(dòng)控制模式

1.3 Mecanum 輪底盤坡道靜力學(xué)分析

車輛在坡道上行駛過程中，驅(qū)動(dòng)輪產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)合力Fk,需要克服的各種阻力包括：摩擦阻力Fg、空氣阻力Fw、坡道阻力Ft及 加速阻力Fa。Mecanum輪底盤在坡道上穩(wěn)定低速行駛時(shí)，加速阻力Fa為0，空氣阻力Fw微小可忽略，運(yùn)行中的滾動(dòng)摩擦阻力Fg與 由重力分量產(chǎn)生的坡道阻力Ft相比也較小可忽略，因此坡道行駛過程中底盤主要受坡道阻力Ft影響。

坡道阻力Ft為底盤在坡道行駛時(shí)重力沿坡道方向的分力，底盤在坡道行駛可分為直線行駛和斜向行駛2種狀態(tài)。直線行駛時(shí)坡道阻力Ft=G·sinθ。斜向行駛時(shí)，如圖7 所示，底盤縱向軸線與坡道縱向存在一定的偏向角δ。

圖7 斜向坡道底盤受力分解示意

由于底盤運(yùn)動(dòng)過程的牽引力是以摩擦力表現(xiàn)出來的，如果摩擦力(牽引力)小于下滑分量就會(huì)出現(xiàn)打滑現(xiàn)象。綜合以上分析，底盤滿足坡道上穩(wěn)定行駛的工作條件為[12]

式中Ti為第i個(gè)驅(qū)動(dòng)輪扭矩，i=1,2,3,4。

1.4 Mecanum 輪底盤動(dòng)力學(xué)分析

圖8 為底盤坡道行駛過程中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示意圖，采用運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)化方法，在廣義坐標(biāo)系下，定義底盤沿XG方 向的位移分量SX，沿YG方向的位移分量SY，回轉(zhuǎn)角度 θO。

圖8 底盤坐標(biāo)轉(zhuǎn)換運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

式中：J為底盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Jω為底盤驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Jm為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。根據(jù)靜力學(xué)分析可知摩擦力在動(dòng)態(tài)變化，因此需要?jiǎng)討B(tài)控制各電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力矩，動(dòng)力學(xué)分析可為底盤在斜路面上的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性控制研究提供理論依據(jù)。

1.5 坡道行駛特性分析

圖9(a)為直線坡道行駛示意圖，圖9(b)為斜向坡道行駛示意圖。在底盤上坡過程中，可分為3 個(gè)階段：階段1 為駛?cè)腚A段，該階段4 個(gè)車輪先后從平面駛上坡道；階段2 為全坡道階段，該階段4 個(gè)車輪與坡道完全接觸；階段3 為駛離階段，該階段4 個(gè)車輪先后從駛離坡道。

圖9 底盤上坡行駛3 個(gè)階段示意

直線坡道行駛較為簡(jiǎn)單，與水平路面直線行駛相似，只要驅(qū)動(dòng)合力Fk≥Ft即可保證底盤順利駛上坡道。

斜向坡道行駛較為復(fù)雜，在駛?cè)腚A段，由于偏向角 α的存在，4 個(gè)車輪先后與坡道接觸，造成兩側(cè)車輪的對(duì)地正壓力不同，受力無對(duì)稱性，由此產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)合力Fk及 轉(zhuǎn)矩T會(huì)致使底盤出現(xiàn)橫向滑移、方向轉(zhuǎn)向等現(xiàn)象。駛離階段和駛?cè)腚A段相似，而在全坡道階段4 個(gè)車輪與地面接觸良好，受力情況相對(duì)簡(jiǎn)單，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)較為平穩(wěn)。

Mecanum 輪底盤的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)受到整體結(jié)構(gòu)、懸掛剛度、坡道坡度、偏移角度等諸多因素的影響，會(huì)隨過程實(shí)時(shí)變化，因此無法通過簡(jiǎn)單的理論計(jì)算和分析獲取準(zhǔn)確的運(yùn)行狀態(tài)。本文通過對(duì)Mecanum 輪底盤斜向坡道的理論分析和運(yùn)動(dòng)仿真分析，提出底盤設(shè)計(jì)的優(yōu)化方案，從而減小爬坡過程中底盤的橫向偏移量，提高運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和對(duì)窄坡道的通過性。

2 運(yùn)動(dòng)仿真分析

2.1 仿真模型及系統(tǒng)搭建

某型機(jī)器人及底盤結(jié)構(gòu)示意圖如圖10 所示，機(jī)器人采用四輪式Mecanum 輪底盤，前后輪采用圖示的單擺臂式懸掛減震系統(tǒng)。在Adams 中對(duì)機(jī)器人整機(jī)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，仿真模型如圖11 所示，由車架、Mecanum 輪、擺臂、減震器及配重等組成，定義機(jī)器人的總重為100 kg，輪距530 mm；軸距600 mm；輪半徑100 mm。仿真模型對(duì)車架及懸掛部分進(jìn)行了一定的簡(jiǎn)化，將配重分為前、后兩塊，用于模擬質(zhì)心位置不同時(shí)對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響；添加輥?zhàn)永@自身軸的旋轉(zhuǎn)副和Mecanum 輪繞輪轂的旋轉(zhuǎn)副；用Impact函數(shù)模擬輥?zhàn)优c地面的碰撞，采用Coulomb 準(zhǔn)則模擬輥?zhàn)优c地面的摩擦；在擺臂式懸掛端設(shè)置4 組彈簧阻尼器，通過設(shè)置剛度系數(shù)模擬不同的彈簧減震器。

圖10 某型機(jī)器人及底盤結(jié)構(gòu)示意

圖11 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型

建立4 種坡道仿真路面，分別為直線行駛上坡、斜向行駛上坡、直線行駛下坡和斜向行駛下坡。由于篇幅所限，本文僅結(jié)合相對(duì)復(fù)雜的斜向行駛上坡工況的仿真結(jié)果及其影響因素進(jìn)行分析和論證。

2.2 減震彈簧剛度的影響分析

根據(jù)前文分析，斜向坡道行駛過程中車輪發(fā)生瞬時(shí)離地時(shí)會(huì)產(chǎn)生橫向滑移，結(jié)合車體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，懸掛減震的剛度系數(shù)會(huì)對(duì)離地幅度及離地時(shí)間產(chǎn)生影響，會(huì)直接影響運(yùn)動(dòng)過程的偏移量。

仿真工況為未加載配重質(zhì)心居中的狀態(tài)，坡道傾角為5°、10°和15°，底盤采用直線運(yùn)動(dòng)控制模式，4 個(gè)車輪的轉(zhuǎn)速均為460 °/s，駛?cè)肫碌罆r(shí)的偏向角為10°，仿真時(shí)間6 s。

圖12 為彈簧剛度系數(shù)k=800 N/mm 時(shí)底盤在10°傾角坡道上的運(yùn)動(dòng)情況，從圖中可以看出與1.5 節(jié)中的分析一致，底盤在駛?cè)爰榜傠x坡道過程中個(gè)別車輪會(huì)出現(xiàn)瞬時(shí)離地現(xiàn)象，產(chǎn)生沿Y方向的橫向驅(qū)動(dòng)力及由于驅(qū)動(dòng)力不平衡產(chǎn)生的車體扭轉(zhuǎn)，由此造成在這2 個(gè)階段發(fā)生明顯的橫向滑移。在全坡道行駛階段，由于4 車車輪與地面接觸良好，運(yùn)行狀態(tài)較為穩(wěn)定，未發(fā)現(xiàn)明顯的偏移。

圖12 斜向坡道行駛軌跡示意(k=800 N/mm)

圖13 為設(shè)置不同減震剛度后，底盤在3 種傾角坡道上的偏移量曲線。

圖13 不同剛度系數(shù)橫向偏移量曲線

通過表1 可以看出，當(dāng)剛度參數(shù)相同時(shí)，隨著坡道傾角的加大偏移量會(huì)隨之增大。在傾角5°的坡道上，偏移量呈現(xiàn)隨剛度線性變化的趨勢(shì)，但在10°和15°坡道上卻不存在該規(guī)律，偏移量較小的反而是剛度較大的兩種狀體。因此在較大傾角坡道上需要注意選擇1 個(gè)合適的剛度系數(shù)才有利于減小最大偏移量。

表1 不同剛度系數(shù)橫向偏移量數(shù)據(jù)表 mm

2.3 質(zhì)心位置的影響

根據(jù)前文的分析，增加驅(qū)動(dòng)輪部位的正壓力可以有效提高車輪的附著力Fφ，減少車輪空轉(zhuǎn)，提升底盤對(duì)牽引力的利用，從而提高運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。因此通過調(diào)整質(zhì)心位置，理論上可以減小坡道運(yùn)行時(shí)的偏移量。

以2.2 中3 種坡道最大偏移狀態(tài)為基線，保證整體重量不變，通過調(diào)整前、后配重的方式將質(zhì)心位置前移、后移80 mm。圖14 為彈簧剛度系數(shù)為k=1 000 N/mm，質(zhì)心向后調(diào)整80 mm 的底盤在10 °傾角坡道上的運(yùn)動(dòng)情況。

圖14 斜向坡道行駛軌跡示意(質(zhì)心靠后狀態(tài))

圖15 為底盤在3 種傾角坡道上的偏移量曲線。

圖15 不同質(zhì)心位置橫向偏移量曲線

從表2 中數(shù)據(jù)可以看出：質(zhì)心前移后，在5°及10°傾角坡道上，均能減小一定的橫向偏移，但在15°坡道時(shí)卻出現(xiàn)較為嚴(yán)重的側(cè)滑而無法完成爬坡動(dòng)作。與之不同的是質(zhì)心后移狀態(tài)的底盤，側(cè)向偏移量明顯減低。因此對(duì)于本文分析中所采用的“O 型布局”麥克納姆輪底盤，質(zhì)心后移更有利于提高坡道行駛過程中的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，提升底盤的爬坡能力。

表2 不同質(zhì)心位置橫向偏移量數(shù)據(jù)表 mm

2.4 偏向角的影響分析

根據(jù)前文的分析，當(dāng)偏向角增大時(shí)橫向坡道阻力Fty也相應(yīng)增大，也會(huì)對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中的橫向偏移產(chǎn)生影響。以2.2 節(jié)中3 種坡道最大偏移狀態(tài)為基線，將偏向角從10°增大至15°。橫向偏移曲線如圖16 所示。

圖16 15°偏向角橫向偏移量曲線

從表3 中數(shù)據(jù)可以看出：偏向角增大后，橫向偏移量也會(huì)隨之增大，其中在2 種工況下出現(xiàn)較為嚴(yán)重的側(cè)滑，如圖17 所示，底盤無法爬坡。因此增大偏向角及選擇不合適的減震器會(huì)影響底盤的爬坡能力。

表3 不同偏向角橫向偏移量數(shù)據(jù)表 mm

圖17 斜向坡道行駛軌跡示意(嚴(yán)重橫向側(cè)滑狀態(tài))

3 實(shí)物驗(yàn)證試驗(yàn)

采用某型機(jī)器人實(shí)物進(jìn)行了實(shí)際路況下的斜向坡道行駛測(cè)試，坡道角度約10°，分別進(jìn)行偏向角為10°和45°兩種情況進(jìn)行試驗(yàn)，提取機(jī)器人差分GPS 軌跡數(shù)據(jù)，并與前文仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)。圖18、19 為10°偏向角機(jī)器人樣機(jī)試驗(yàn)圖和采集的位置曲線圖，樣機(jī)爬坡過程中運(yùn)行較為平穩(wěn)，未出現(xiàn)明顯的滑移，實(shí)物試驗(yàn)位置曲線與仿真分析的曲線基本吻合；圖20、21 為45°偏向角機(jī)器人樣機(jī)試驗(yàn)圖和采集的位置曲線圖，樣機(jī)在駛?cè)肫碌离A段發(fā)生了較為明顯的側(cè)向滑移，未能完成爬坡動(dòng)作，與仿真分析的結(jié)果基本一致。由于條件所限現(xiàn)場(chǎng)坡道并非標(biāo)準(zhǔn)角度坡道，在坡度、偏向角、地面平整度等方面與仿真的標(biāo)準(zhǔn)坡道存在一定差異，但通過試驗(yàn)中實(shí)物的運(yùn)行軌跡及變化規(guī)律可以看出，實(shí)物試驗(yàn)和仿真分析的情況相吻合，驗(yàn)證了前文理論分析的正確性。

圖18 10°偏向角坡道行駛試驗(yàn)

圖19 10°偏向角坡道行駛位置曲線對(duì)比

圖20 45°偏向角坡道行駛試驗(yàn)

圖21 45 °偏向角坡道行駛位置曲線對(duì)比

4 結(jié)論

通過仿真分析和實(shí)物試驗(yàn)測(cè)試可以看出，Mecanum 輪底盤在斜向坡道行駛中，尤其是大偏向角狀態(tài)下確實(shí)存在滑移現(xiàn)象。在一定偏向角范圍內(nèi)，通過優(yōu)化減震懸掛、調(diào)整質(zhì)心位置等方式，能夠使其較為平穩(wěn)地進(jìn)行斜向坡道行駛。后續(xù)進(jìn)一步結(jié)合運(yùn)動(dòng)控制算法優(yōu)化，例如通過加裝IMU檢測(cè)底盤方位狀態(tài)并實(shí)時(shí)調(diào)整運(yùn)動(dòng)控制模式對(duì)運(yùn)動(dòng)偏移的趨勢(shì)進(jìn)行修正，相信將進(jìn)一步提升Mecanum 輪底盤對(duì)復(fù)雜路況下的適應(yīng)能力。