基于阿波羅尼奧斯圓的無人機追逃問題研究

張澄安，鄧 文，王李瑞，龍 淼，姚怡舟

（1.國防科技大學電子科學學院CEMEE國家重點實驗，湖南長沙410073；2.中國人民解放軍75836部隊，廣東 廣州510036）

0 引言

無人機具有低成本、無人員傷亡、操作方便、靈活可靠等優(yōu)點，近年來發(fā)展迅速，結(jié)合日益發(fā)展的網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)，無人機協(xié)同作業(yè)表現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力，尤其是在軍事應(yīng)用領(lǐng)域[1]。對無人機的追逃問題進行研究，是現(xiàn)代無人機作戰(zhàn)的基本要求，具有重要的意義。通常，對于追捕無人機速度大于逃跑無人機的情況，只要時間足夠，追捕無人機一定能夠截獲逃跑無人機，研究的內(nèi)容在于追捕時間和追捕空間等[2-6]。但對于追捕無人機速度小于逃跑無人機的情況，則存在一個策略選擇的問題：對于追捕無人機，采用某種策略，才能最大可能截獲無人機；對于逃跑無人機，采用某種策略或某種條件下，一定能夠成功逃逸。本文基于阿波羅尼奧斯圓相關(guān)定理[7-8]，研究在追捕無人機的追捕速度小于逃跑無人機的情況下無人機的追逃問題，并通過仿真實驗，構(gòu)建追逃場景，驗證所構(gòu)建模型的正確性和有效性。

1 2個單無人機追逃模型構(gòu)建

本節(jié)應(yīng)用阿波羅尼奧斯圓原理完成2個單無人機追逃模型的建立。首先對阿波羅尼奧斯圓進行描述，阿波羅尼奧斯圓又稱為阿氏圓，如圖1所示[7]，已知平面上2點P、E，則對于平面上所有滿足k,k≠1的點P，其軌跡是一個圓，這個圓就稱為阿氏圓。

圖1 阿波羅尼奧斯圓

其中點C與點D分別為阿氏圓的內(nèi)外分點，且：

阿氏圓原理給二維平面上無人機追逃問題提供了思路：若E、P分別為二維平面上逃跑無人機和追捕無人機所在的初始位置，則當逃跑無人機和追捕無人機都按照理想的勻速直線運動，且逃跑無人機的速度vE和追捕無人機的速度vP的比例為vP/vE=k時，逃跑無人機剛好可以在阿氏圓上被追捕無人機截獲。

圖2為將阿氏圓應(yīng)用于無人機的追逃模型。

圖2 2個單無人機追逃模型

圖2中E、P分別代表逃跑無人機位置和追捕無人機位置，其坐標分別為：E(xE,yE)和P(xP,yP)，則可以得到阿氏圓的坐標為：

阿氏圓的半徑為：

假定逃跑無人機和追捕無人機均以恒定速度直線運動，逃跑無人機的速度和追捕無人機的速度分別為vE和vP，vP/vE=k＜1，E A和E B分別為點E對阿氏圓的切線，A、B分別為切點，則上述追捕問題可以概括為以下3種情況：

1）捕獲點在阿氏圓上

即追捕無人機剛好在阿氏圓上點M1截獲到逃跑無人機。

2）無法捕獲

因此，逃跑無人機比追捕無人機先到達M2，追捕無人機無法截獲逃跑無人機。

3）捕獲點在阿氏圓內(nèi)

追捕無人機在阿氏圓內(nèi)就可以成功截獲逃跑無人機。

上述2個單無人機追逃模型的構(gòu)建對問題進行了簡化，即假設(shè)逃跑無人機和截獲無人機都按照勻速直線運動進行逃跑和截獲，沒有運動速度和方向的改變，這種簡化可以求解一個極端情況，即在追捕無人機已經(jīng)知道逃跑無人機的逃跑意圖和路線，但是在絕對實力面前，逃跑無人機是否一定能夠在一定范圍內(nèi)逃逸成功的問題。這種情況對于指導(dǎo)逃跑無人機的逃跑方案規(guī)劃是有用的，可以在逃跑無人機速度大于追捕無人機的情況下求得逃跑無人機的絕對逃逸區(qū)域。

2 多無人機追捕模型構(gòu)建

對于多個追捕無人機追捕模型，只需要將第1節(jié)中單追捕無人機模型進行擴展即可。按照第1節(jié)給出的單無人機模型中阿氏圓的構(gòu)建，構(gòu)建多個追捕無人機相對于逃跑無人機的阿氏圓。圖3為含有n個追捕無人機和單個逃跑無人機的追逃示意圖。

圖3 多個追捕無人機追捕模型

設(shè)逃跑無人機的起始位置為E(x E,y E)，追捕無人機的起始位置分別為：P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，…，P n-1(x n-1,y n-1)，P n(x n,y n)，追捕無人機和逃跑無人機依然采用合適策略按照勻速直線運動，且追捕無人機和逃跑無人機的速度比為：

則第i個追捕無人機P i相對于逃跑無人機的阿氏圓O1,O2,…,O n，如圖3所示，第i個阿氏圓的圓心坐標可以求得為：

第i個阿氏圓的半徑可以求得為：

相鄰2個阿氏圓O m和O m+1的圓心距可以計算為：

當d m,m+1＞r m+r m+1時，相鄰2個阿氏圓不相交，即逃跑無人機只要采取相應(yīng)策略，一定可以從第m個追捕無人機和第m+1個追捕無人機之間逃逸。

由式（13）和（14）可以進一步將逃跑無人機從第m個追捕無人機和第m+1個追捕無人機之間進行逃逸的條件化簡為：

反之，逃跑無人機不能從第m個追捕無人機和第m+1個追捕無人機之間進行逃逸的條件為：

因此，逃跑無人機一定能夠成功逃逸的條件為存在阿氏圓O m′和O m′+1，使得d m′,m′+1＞r m′+r m′+1；反之，只要追捕無人機采取合適追捕策略，就一定能夠成功追捕到逃跑無人機的條件為對于任意阿氏圓O m″和O m″+1，d m″,m″+1≤r m″+r m″+1。

由式（15）、（16）和（11）可以看出逃跑無人機能否逃逸的條件只取決于逃跑無人機和追捕無人機的起始位置與速度，因此逃跑無人機在逃逸時只需要知道追捕無人機的速度和起始位置，就可以知道在最壞條件下，即追捕無人機采取最優(yōu)追捕策略時，自己能否逃逸。

3 仿真及分析

本節(jié)考慮單個逃跑無人機和2個追捕無人機在二維平面的追逃情況，如圖4所示。假設(shè)存在由邊A D和B C構(gòu)成的平面通道，通道寬度為M，逃跑無人機可以處于通道的任何位置，2個追捕無人機分別位于G1和G2，現(xiàn)逃跑無人機需要從通道左邊向右逃逸，實驗旨在求得逃跑無人機的絕對逃逸區(qū)域，即不論追捕無人機采取什么樣的追捕策略，逃跑無人機一定能夠逃跑的絕對逃逸區(qū)域。

圖4 單個逃跑無人機和2個追捕無人機在二維平面的追逃示意圖

實驗設(shè)置通道寬度M=70 km，D G1=C G2=20 km，逃跑無人機的速度為v E=250 m/s，追捕無人機的速度為v P=200 m/s，以第2節(jié)中逃跑無人機的逃跑條件為判斷準則，通過仿真實驗，得出逃跑無人機的絕對逃逸區(qū)域如圖5所示。

圖5中深色區(qū)域為逃跑無人機的絕對逃逸區(qū)域，即當逃跑無人機位于深色區(qū)域時，不論捕獲無人機采取什么樣的截獲策略，逃跑無人機一定能夠成功逃逸，原因在于當逃跑無人機在此區(qū)域時，阿氏圓總是不相交的，也就給逃跑無人機提供了逃跑空間。

此外，根據(jù)逃跑無人機選用的逃跑路線可以將圖5中的絕對逃逸區(qū)劃分為5部分：上側(cè)逃逸區(qū)、中間逃逸區(qū)、下側(cè)逃逸區(qū)、雙側(cè)逃逸區(qū)1和雙側(cè)逃逸區(qū)2，如圖6所示。當逃跑無人機位于上側(cè)逃逸區(qū)時，逃跑無人機只能選擇從G1上側(cè)逃逸；當逃跑無人機位于中間逃逸區(qū)時，逃跑無人機只能選擇從G1與G2之間進行逃逸；當逃跑無人機位于下側(cè)逃逸區(qū)時，逃跑無人機只能選擇從G2下側(cè)段進行逃逸；當逃跑無人機位于雙側(cè)逃逸區(qū)1時，逃跑無人機可以選擇從G1上側(cè)或G1下側(cè)進行逃逸；當逃跑無人機位于雙側(cè)逃逸區(qū)2時，逃跑無人機可以選擇從G2上側(cè)或G2下側(cè)進行逃逸。

圖5 逃跑無人機的絕對逃逸區(qū)域

圖6 絕對逃逸區(qū)域劃分示意圖

還可以觀察到絕對逃逸區(qū)域關(guān)于x軸對稱，這是由于選擇的初始化參數(shù)D G1與C G2相等，因此G1與G2關(guān)于x軸對稱所導(dǎo)致。

此實驗為平面區(qū)域內(nèi)對于單一逃跑者和2個追逃者條件下的追逃實驗，在一定條件約束下，求得了逃跑無人機的絕對逃逸區(qū)域，即只要當逃跑無人機初始位置在絕對逃逸區(qū)域內(nèi)時，即使追捕無人機完全清楚逃跑無人機的意圖，采取最優(yōu)策略，逃跑無人機也一定能夠逃跑。在實際中追捕無人機不一定有條件采取最優(yōu)策略，這為逃跑無人機的逃逸進一步提供了空間，逃跑無人機的成功逃逸區(qū)域則會更大。

4 結(jié)束語

本文基于阿波羅尼奧斯圓原理構(gòu)建了2個單無人機追逃模型和多無人機追捕模型，給出了逃跑無人機和追捕無人機能夠成功逃逸及成功追捕的條件，當追捕者和逃跑者構(gòu)成的阿氏圓存在間隙時，逃跑無人機能夠成功逃逸；反之，當阿氏圓不存在間隙時，追捕者采取合適的策略，一定能夠成功截獲逃跑者。此外，本文還對模型進行了仿真分析，仿真結(jié)果表明在二維平面的逃逸通道內(nèi)，存在一個絕對逃逸區(qū)域，只要逃跑無人機初始位置位于此區(qū)域，逃跑無人機就一定能夠成功逃逸。