淺談電動力學中的對稱思想

肖慧寧

(石河子大學理學院物理系應用物理學專業 新疆 石河子 832003)

在《莊子 天下》中有這樣一句話，“判天地之美，析萬物之理”。意思是能夠體會天地萬物的美麗，能夠了知天地萬物的生存道理。在物理這門自然科學中，就包含了許多美學思想，而在電動力學這門課中，體現最多的莫過于對稱美了。

1.對稱思想

什么是對稱？對稱是指對某個物體施加某種操作，操作前后的情況相同。對稱美在自然界中有很多體現，對稱的思想也早已滲透到人們的心中。對稱分很多種：左右對稱，中心對稱，平移對稱等等。自然界的很多物體都是對稱的，正如一片雪花，一朵向日葵都是中心對稱的，而生物體的身體外形都是左右對稱的；我們在生活中也總追求一種對稱的和諧美，例如，我們的建筑總是追求左右對稱，故宮、天壇這些名勝古跡就是很好的例子。在我們學習生活中，也經常會接觸到對稱。在自然科學里，對稱原理是自然科學理論構建的基本法則：數學中的等式，物理中的方程，化學里的反應式等，這些學科中都包羅著對稱的美學思想；同樣，人文科學也離不開對稱，我們以一些詩詞古文為例：“物華天寶，人杰地靈”，“海闊憑魚躍，天高任鳥飛”，“非淡泊無以明志，非寧靜無以致遠”。這些詩句讀起來朗朗上口，很有氣勢，正是因為它們的創作是講究對稱的。

在物理的各個分支中，也存在許多對稱：在力學中，自由落體和豎直上拋在同一位置對應的物理量對稱；在光學中，光的反射、折射、干涉、衍射都具有實物對稱美；在電磁學中，電場線和等勢面的分布也具有對稱美。同時，物理規律也具有對稱性：在北京的物理定律和南京的物理定律是一樣的，這體現了物理定律的空間平移對稱性；兩千年前古時的物理規律和兩千年后的現在是一樣的，這體現了物理規律的時間平移對稱性……

2.電動力學中的對稱

2.1 電與磁的對稱。在電動力學中，最基本的兩個實驗定律為庫侖定律和畢奧-薩伐爾定律，由此可得靜電場的電場強度分布的積分形式和恒定電流激發的磁場分布規律的積分形式：

我們再來看電動力學的基礎，最美物理方程之一——麥克斯韋方程組：

它將高斯定理、法拉第電磁感應定律、安培環路定理統一起來，完美地呈現了電場和磁場相互轉化所產生的對稱性，并統一了電磁場。就像一面鏡子的兩邊，一邊是“電”、一邊是“磁”，變化的電場可以激發磁場，變化的磁場又能反過來激發電場，二者相互激發，互為因果，相輔相成。在麥克斯韋提出這組方程后，電和磁理論從此走向統一，兩者由分離存在而合成了一個“電磁場”。

在電磁理論中，很多引入的物理量都表現出電與磁的對稱性。例如，點電荷和電流元，電場線和磁感線，電場強度和磁感應強度，介電常數與磁導率等等。為了便于記憶，讓知識體系更加系統，現整理一些電磁場中對應的物理量如下：

這樣，在記住電場中的公式后，磁場中的公式就很容易類比地寫出來。我不由感嘆，物理學家在引入符號和公式時，盡可能朝簡單、對稱和諧的方向努力，使得我們現在看到的電磁場理論如此系統完美。

DeviceManager.GetInstance().DeviceAtIndex(EnumDevice.AI16AO2).ReadData(ref data,1); //設備調用，獲得經過濾波處理的數據

2.2 解題中由對稱思想引入的簡化。

2.2.1 分離變量法中軸對稱引入的簡化。在許多實際問題中，靜電場的性質取決于帶電導體的電荷分布，這些問題的本質歸結于自由電荷只出現在導體的表面，而在空間的其他位置沒有其他電荷的分布。此時，可以將導體表面作為該區域的邊界，則在該區域內部，自由電荷密度ρ，則泊松方程可化為較簡單的拉普拉斯方程：▽2φ=0,其通解可由分離變量法求出：

(在球坐標中)

這時的通解看起來比較復雜，但若在具體問題中具有對稱軸，通解的形式就會大大得到簡化，下面舉例說明。

例1:一個內徑和外徑分別為R2和R3的導體球殼，帶電荷Q，同心地包圍著一個半徑為R1的導體球(R1

圖1 具有球對稱性的導體球

將φ1,φ2代入邊界條件，可解出a，b,c,d由此得出：

例2：電容率為ε的介質球置于均勻外場E0中，求電勢。

圖2 具有軸對稱性的介質球

如圖2，研究對象為置于均勻外場中的介質球，此時具有軸對稱性。以φ1代表球外區域電勢，φ2代表球內區域電勢，則可設

其中，anm,bnm,cnm和為待定常數。再根據題目列出邊界條件，代入即可求解。

由以上兩例可見，對于可用分離變量法解決的問題，首先應該畫出題目的模型簡化圖，找出模型的對稱軸，充分利用其對稱性，可使通解形式變得更加簡潔，大大簡化計算過程。

2.2.2 由對稱思想產生的“鏡像法”。當區域內只有一個或幾個點電荷，區域邊界是導體或介質界面時，利用對稱思想可以很大地簡化問題，簡單快速進行解答。假設點電荷周圍有一個導體，在點電荷的作用下，導體上出現感應電荷。“鏡像法”利用電場中的對稱性，用導體內部的一個或多個假想電荷來替代導體面上的感應電荷對空間的電場產生的影響。此時，空間中的電荷分布沒有改變，因此泊松方程也不變，只要確保這種代換使邊界條件得到滿足，問題就可以簡單地解決。下面舉例說明。

例3：接地無限大平面導體板附近有一點電荷Q，求空間中的電場。

無限大接地平面導體板附近有一個點電荷Q，在Q的作用下，導體板上會出現感應電荷。此時空間中的電場是由點電荷Q和感應電荷共同激發的，導體表面為零勢能面，電場線與導體表面處處垂直。

圖3 引入“鏡像電荷”后的空間電場分布

如圖3，我們設想導體板為一面“鏡子”，在下面關于“鏡子”對稱的地方有一個假想電荷(“鏡像電荷”)-Q，此時抽取導體板，電場線與原導體板平面仍處處正交，邊界條件得到滿足。此時，導體板上部空間的電場可看作由原電荷Q和“鏡像電荷”-Q共同激發的，將Q在導體板上的投影點作為坐標原點，設Q到導體板的距離為a，則空間一點的電勢為

通過上面的例子，我們可以看出，充分地利用問題中的對稱性，巧妙地將感應電荷用“鏡像電荷”代替，可以化未知問題為已知問題，快速找到問題的解。

3.美學是發現真理的向導

物理學家費曼認為，科學的第一步是猜想，這是一個靠自己的美學直覺去發現的過程。自然中真的東西必然表現出令人震撼的美，美是發現真理的向導，科學家們朝著美的方向，努力探索自然規律，深入分析事物的內在矛盾，發揮想象力和創造力，構筑質樸統一和諧理論體系。

除了對稱美，物理學的美還體現在其他方面：物理公式和定理總是追求統一美，比如牛頓力學中的萬有引力是“平方反比”的形式，而電磁場中的庫侖定律也是“平方反比”的形式；愛因斯坦晚年一直致力于的“統一場論”，也是為了將四種相互作用統一起來。物理模型和理論總是追求簡單美，在哥白尼發現日心說前，人們一直認為地球是宇宙的中心，太陽，月亮，行星和恒星都繞著它運動，為了說明這些行星的運動軌跡，物理學家們認為它們沿附在相應天球上的更小的圓周運動。盡管這種模型十分復雜，但是由于這滿足了當時的基督教會奉行的理論，于是被普適接受。后來，當實際觀測水平的提高和觀測數據的增加，哥白尼提出了一個更簡單的模型——太陽位于中心，地球和行星繞太陽運動，這個理論的提出，使天體的運動變得簡單了許多，于是逐漸被大眾所接受。在簡單和復雜之間，物理學家一定會選擇最簡潔的形式，來揭示這個世界的真相。

盡管很多物理理論都會表現出對稱性和完美性，我們也不能否定一些導致不完美的“破缺”。完美的東西固然是美的，但是不完美往往能引出一系列前所未有的發現。追求完美固然不錯，但是物理學家在發現了不完美后，不是去遺憾這種“不完美”，而是去努力發現這種“不完美”背后的原因，從而獲得一些新的發現。同時，正是因為不完美的存在，才使得這個世界變得如此多姿多彩。

我們在學物理時，并在掌握基本公式定理的同時，要對所有學內容進行對比，觸類旁通，舉一反三，將不同的課程聯系起來，發掘它們之間的聯系與差異。還應深入思考，理解它們內在的思想，探尋物理學家們引入物理定義和物理符號時的用心，這樣既可以更深地領悟物理定律背后的美學思想，又能反過來更好地理解我們的物理理論。