關于σ-超可解群中極大子群的一個特性

馬小箭，毛月梅

（山西大同大學量子信息研究所，山西大同 037009）

在群類理論中，關于超可解群一個重要的性質是：群G是超可解的當且僅當G的每個極大子群在G中指數都是素數[1]。應用σ-群理論給出了σ-超可解群的概念：稱群G是σ-超可解的[2]，如果G的包含于的主因子都是循環的(其中Nσ表示所有σ-冪零群構成的群類見文獻[3])。因此很自然地，將上述超可解群的結論推廣到σ-超可解群，給出σ-超可解群中極大子群指數的特征。

設σ={σi|i∈I} 是所有素數集合P的一個劃分，符號∏表示σ的任一非空子集。如果則稱n是一個∏-數，記σ(n)={σi|σi?π(n)≠φ} 。假 定G是一個群，通常記∑(G)=σ(|G|)。如果G=1 或|σ(G)=1|，則稱G是σ-本原的；如果G的每個主因子都是σ-本原的，則稱G是σ-可解群；如果對于G的每個主因子H/K滿足H/K?(G/CG(H/K))都是σ-本原的，則稱G是σ-冪零群。設H是G的子群，如果|H|是一個∏-數，則稱H是G的∏-子群；如果H是G的一個∏-子群且|G∶H|是一個∏′-數，則稱H是G的Hall∏-子群。設H是群G的子群集滿足1 ∈H，如果對于某個σi∈∏，H中的每個元素都是G的一個Hallσ-子群，并且對于每一個σi∈∏?σ(G)，H包含且只包含G的一個Hallσ-子群，則稱H為G的完備Hall∏-集。特別地，如果∏=σ，則稱H是G的一個完備Hallσ-集。關于σ-群理論中相關的概念和符號可參見文獻[3-5]。另外，用符號Nσ，U和Uσ來表示所有σ-冪零群，所有超可解群和所有σ-超可解群所構成的群類。

1 準備知識

引理1群類Gσ和Nσ都是子群閉的飽和群系，并且σ-可解群關于σ-可解群的擴張仍是σ-可解群[3]。

引理2所有σ-超可解群構成的群類Uσ是子群閉的群系[2]。

引理3G是σ-超可解群當且僅當下面的條件成立:

引理4群G是σ-冪零群當且僅當G有完備Hallσ-集H={H1,H2,…,Ht} 滿足。

引理5設G是一個σ-超可解群，N是G的正規子群，那么

(1)G/N是σ-超可解群；

(2)如果對于某個σi∈σ(G)我們有σi?π(G)={p}，則G是p-超可解群[2]。

引理6設A=，那么G是p-超可解群，當且僅當是方次數整除p-1的交換群，p是|A|的最大素因子且F(A)=Op(A)是A的正規Sylow子群。

2 主要結果

定理設H={H1,H2,…,Ht} 是G的完備Hallσ-集，并且每個Hi都是超可解的，那么G是σ-超可解群，當且僅當G的每個極大子群在G中指數都是素數。

證明首先證明定理充分性。假設定理不成立，并對G用極小階反例。按照以下步驟完成充分性的證明。

(1)G是σ-可解群。

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設p是|G|的最大素因子，P是G的Sylowp-子群。若P不正規于G，那么存在G的極大子群M滿足NG(P)≤M。由題意設|G∶M|=q≤p，其中q是一個素數，那么G/MG同構于對稱群sq的一個子群，所以q是|G/MG|的最大素因子，但是q

(2)G有唯一極小正規子群N滿足G/N是σ-超可解，N是非循環的初等交換p-群并且Op′(G)=1，其中p∈π(H1)。

設N是G的極小正規子群。易見，={H1N/N,H2N/N,…,HtN/N,}是G/N的Hallσ-集，其中每個HiN/N是超可解的。所以由G的選擇知G/N是σ-超可解的。從而由引理2 知N是G的唯一極小正規子群。若N循環，則顯然G是σ-超可解的，這與假設矛盾。所以N是非循環的。由(1)知，N是σ-本原的，不妨設N≤H1，因H1是超可解群，所以N是初等交 換p-群，其 中p為|H1|的素因子。顯然，Op′(G)=1。

(3)N≤φ(G)。

假設φ(G)=1。那么由(2)知存在G的極大子群M滿足假設G=NM。易見，N?M正規于G，所以N?M=1，從而|N|=|G∶M|為一素數，這與(2)矛盾，故φ(G)≠1。從而由(2)知N≤φ(G)。

(4)G有正規的Sylowp-子群P滿足Op(G)=F(G)=P。

(5)得出矛盾。

因為P是G的正規的Sylowp-子群，所以可以設U和V分別是P在G和H1中的可補子群且滿足V≤U。因為≤Op(G)≤P，所以UG/P是σ-冪零群，從而由引理4知U=V×H2×H3×…×Ht。因H1是超可解的，所以V是方次數整除p-1的交換群。現考慮群PHi/N，其中i=2,3,…,t。由(2)知對于每一個i，PHi/N是σ-超可解群，所以由引理5知PHi/N是p-超可解群，因N≤φ(G)，從而知PHi是p-超可解群。因為G/P是σ-冪零的，故由引理4知PHi/P正規于G/P，從而得PHi正規于G，因此≤Op′(G)=1，那么由引理6知Hi是方次數整除p-1的交換群，由此得U是方次數整除p-1的交換群，那么再由引理6知G是超可解群，這與假設矛盾。從而定理的充分性得證。

3 結語

利用σ-群理論中Hall 子群和σ-超可解群的性質給出了σ-超可解群中極大子群指數的特征，這一特征與超可解群中極大子群的情形類似，這說明將超可解群推廣到σ-超可解群后，其中一部分性質是保持不變的，這就為進一步探討超可解群中的其他性質在σ-超可解群中是否不變提供了思路.另外，這一結論還對研究σ-超可解群中子群的置換性、嵌入性以及極大子群的相關性質有一定的意義，并對進一步探討σ-可解群的結構提供了新的研究方法和途徑。