基于構件冗余度均衡化的單層網殼結構優化研究

朱南海，李杰明

(1.江西理工大學江西省環境巖土與工程災害控制重點實驗室，贛州 341000；2.江西理工大學土木與測繪工程學院，贛州 341000)

結構構件的冗余特性是保證結構具有足夠魯棒性的重要指標之一，可以直觀體現構件在結構中的重要性及其破壞后的影響。若各構件在結構中的重要性程度差別較大，當某些構件失效后，可能引起結構的連續性倒塌破壞。合理降低構件間的重要性差異，實現構件冗余度的均衡分布，如何定量評價構件冗余度是首先需要解決的問題。

目前國內外研究學者從多角度對結構構件的重要性評價方法進行了研究。早期Ghosn等[1]提出以結構超靜定次數作為冗余度的定義，這也是冗余度最直觀的定義。Pandey和Barai[2]通過分析結構響應對設計參數的靈敏度提出了構件冗余度的評價指標，葉繼紅等[3?6]在此方法的基礎上對地震作用下網殼結構的構件冗余度進行了分析，并以此判斷結構的重要構件。田黎敏等[7]基于構件移除后的構件應力、節點位移及結構承載力、自振頻率、應變能等參數建立了構件重要性的衡量指標。蔣淑慧等[8]基于單元冗余度分布的均衡性提出了一種適用于桿系結構的構件重要性評估方法。黃靚等[9]以結構構件移除前后的承載力變化量與原結構承載力的比值評價結構構件的重要性。林旭川等[10]以廣義結構剛度為基礎判別構件在結構中的重要性。張立森等[11]將構件分項內力值之比作為結構構件重要性評價指標。文獻[12 ?13]提出了一種構件冗余度評價方法，并通過加強關鍵構件、削弱一般構件從而達到增強結構整體性能的目的。

本文將文獻[12]提出的基于敏感性分析的構件冗余度評價方法應用到單層網殼結構中，以衡量構件在結構中的重要性，而后以構件的截面參數(如圓鋼管構件的外徑D和壁厚t)作為優化變量，采用粒子群優化算法，將構件間的冗余度偏差最小化作為優化目標，獲得滿足要求的構件截面參數最優值，從而實現結構整體性能和抗倒塌能力的提升。

1 靜載下的結構響應靈敏度分析

靜載作用下結構位移與荷載間的關系可表示為：

式中： K(θ)、 U(θ)和 F(θ)分別為結構整體剛度矩陣、節點位移向量和荷載向量；θ為結構設計參數。

當結構設計參數θ取為構件的材料彈性模量E 時，式(1)中荷載對結構設計參數E的靈敏度?F/?E恒為零，于是有[12]：

當矩陣K的逆存在時，可得結構的位移響應靈敏度為：

構件單元 j 的應變能可表示為：

于是，構件 j 的應變能對構件 i 的材料彈性模量Ei的靈敏度為[12]：

式中， ?uej/?Ei為局部坐標系下構件 j的節點位移對構件 i的材料彈性模量Ei的靈敏度。

2 結構構件的冗余度定量評價

文獻[12]通過分析構件應變能對其他構件剛度參數(材料彈性模量)的靈敏度及其移除后引起的結構應變能的改變量，將構件冗余度的衡量指標定義為：

式中：αi為結構構件對構件 i剛度參數(彈性模量Ei)的累計應變能靈敏度；βi為構件 i移除后的結構應變能變化率。αi和βi可分別由式(7)和式(8)計算：

式中：ne 為結構構件數；SjiC 和為原結構和構件 i破壞后的結構應變能。

3 基于結構構件冗余度的均衡優化與實現

3.1 結構構件冗余度的均衡優化

3.1.1 優化目標的確定

由式(6)可獲得結構構件的冗余度系數，其大小與構件在結構中的位置及截面尺寸有關，在保持結構形態不變的條件下，依據構件的冗余度系數值，將結構構件集Ω劃分為：結構重要構件子集A、結構一般構件子集B及次結構要構件子集C。

設參數ξ1、ξ2分別為結構重要構件與一般構件、一般構件與次要構件的界限值，構件子集A、B、C的可由式(9)確定：

式中，參數ξ1、ξ2可按式(10)和式(11)確定：

式中： G Ri為構件 i 的冗余度系數；φ1、φ2為構件選取參數，φ1取0.01～0.015，φ2取2.2～2.8。

為避免個別構件破壞后可能引起的結構倒塌現象，應盡量縮小構件間的重要性偏差，使構件的冗余度能夠均衡分布。由于各構件在結構中的作用不同，一方面應減小結構各構件的重要性差異，同時同類構件的重要性差異也應得到有效控制。將構件的截面參數(外徑D 和壁厚t)作為優化變量，以減小結構各構件及同類構件間的重要性差異為目標，將優化目標函數定義為：

式中：d 為全體結構構件的冗余度標準差；dA為重要構件的冗余度標準差；dB為一般構件的冗余度標準差；dC為次要構件的冗余度標準差。

3.1.2 約束條件

1)構件長細比

根據《空間網格結構技術規程》(JGJ 7?2010)[14]對構件長細比的規定，構件 i 的長細比λi應滿足：

式中：l0i為構件 i 的計算長度；αi為構件 i的截面回轉半徑；[λ]為其容許長細比。

2)結構位移

同理，根據文獻[14]對空間網格結構位移的要求，荷載作用下的結構最大位移應小于其允許值，即：

式中： δmax/m為結構的最大位移允許值；L為結構跨度。

3)材料用量

為滿足結構的材料用量要求，以式(15)作為結構材料用量的限定條件，即：

式中： Veit為結構材料總用量； Ve0為結構材料用量允許值，本文將其設定為原結構材料用量。

4)構件強度與穩定性

在荷載作用下，構件的強度應滿足《鋼結構設計標準》(GB 50017?2017)[15]規定的要求，即：

式中：Ni/N為構件i 的軸壓力設計值； Mxi/(N·mm)、Myi/(N·mm)分別為同一截面處繞x軸和y軸的彎矩設計值；Ai/mm2為構件 i 的截面面積；γm為構件截面的塑性發展系數，取為1.15；Wi/mm3為構件 i的凈截面模量；f為鋼材的強度設計值。

同理，根據文獻[15]的相關規定，考慮軸力和彎矩共同作用，構件的整體穩定性應滿足式(17)的要求：

式中：φ為軸心受壓構件的整體穩定系數；Mi/(N·mm)為構件 i 計算整體穩定時采用的彎矩值；β為等效彎矩系數；為構件 i的歐拉力[15]。

3.2 基于粒子群算法的結構構件冗余度均衡優化的實現

粒子群優化算法是一種基于鳥群捕食行為的智能尋優技術[16]，該優化算法在結構設計、優化等領域得到廣泛的應用[17?21]。朱南海等[22]利用該算法對網殼結構構件的截面尺寸進行了優化，提高了結構的整體性能。本文以結構構件的截面尺寸為優化參數，以減小構件間的冗余度差異為目標，基于粒子群算法對構件的截面參數進行優化，減輕構件破壞后對結構承載力等性能的影響，其具體的優化過程及步驟如下：

步驟1：算法參數的設置

設參數P 、m 分別為待求解變量參數的數目和種群規模的大小， Vmax、 Vmin為搜索速度的界限值，c1、c2為學習因子，w為慣性系數。以文獻[23]中給出的圓鋼管型號為基礎，選取其中的174種常用圓鋼管型號作為構件優化的截面尺寸庫并進行編號，這些圓鋼管的外徑和壁厚的取值范圍分別為65.0 mm～180.0 mm和2.5 mm～15.0 mm。

步驟2：粒子初始化及其初始搜索速度的計算

以步驟1定義的174個鋼管編號為基礎，將構件截面尺寸的優化選擇問題轉化為鋼管型號編號的搜索問題。初始種群中粒子個體Xs可由式(18)生 成，即 Xs=(Xs1,Xs2,···,XsP)， s=1,2,···,m，其各元素為對應的鋼管型號編號。同時可由式(19)生成初始搜索速度，即 Vs=(Vs1,Vs2,···,VsP)：

式中： ceil 為函數值取整；r1、r2分別為元素值介于0～1的P維隨機向量；ns=174。

步驟3：粒子適應度值的計算與粒子更新

迭代步計算中，由式(12)可獲得粒子群中各粒子個體的適應度值，通過比較粒子與個體最優粒子以及全局最優粒子的適應度值，對個體最優粒子和全局最優粒子進行更新，具體規則如下：

步驟4：粒子搜索速度與粒子種群的更新

式中：w 為慣性權重；c1、c2為學習因子；r3、r4分別為元素值介于0～1的P維隨機向量[24]。

步驟5：計算結束條件

以最大迭代數作為算法終止條件，當迭代數達到設定值時，計算結束，獲得結構構件截面尺寸的最優值。

以構件的截面尺寸為優化變量，將式(12)定義的構件冗余度偏差最小化作為優化目標，基于粒子群優化算法，減小構件間的冗余度差異，減小構件失效對結構的影響，其具體的實施流程如圖1所示。

圖1 構件冗余度均衡優化流程圖Fig.1 The balanced optimization of structural component redundancy

4 算例分析

4.1 算例1：20 m跨K6N3型單層球面網殼結構

如圖2所示一跨度為20 m，矢跨比為1/5的K6N3型單層球面網殼，支座為周邊固支，節點為剛性連接，桿件采用圓鋼管，其初始截面尺寸為80.0mm×3.0mm，材料彈性模量E為210.0 GPa及其屈服強度fy為235.0 MPa，作用于結構上的等效節點荷載值為15.5 kN。

圖2 一K6N3型單層網殼結構 /mFig.2 A K6N3 single-layer reticulated shell

根據結構的特點，可將所有結構桿件分成5組，結構桿件的編號及分組(括號內的數值為結構桿件的分組號)如圖3所示，優化中組號相同的桿件采用的鋼管型號相同。

圖3 K6N3單層球面網殼結構的桿件編號及分組(1/6模型)Fig.3 The component number and group of the K6N3 singlelayer reticulated shell (1/6 model)

該結構各桿件的冗余度值如圖4所示，由此可知結構上部桿件的冗余度系數值較小，為結構的重要桿件；而結構下層桿件的冗余度系數值則相對較大，為結構的一般構件。

圖4 優化前K6N3單層球面網殼結構各桿件冗余度系數Fig.4 The initial redundancy of K6N3 single-layer reticulated shell

結構各桿件移除后，結構的承載力下降量如圖5所示，可以看出，低冗余度結構關鍵構件(桿件1、2、4、7)移除后引起的結構承載力變化量明顯高于高冗余度結構桿件(桿件10、11、14、15)，說明本文采用的結構構件冗余度評價方法計算的構件冗余度能正確體現各構件的重要性。

圖5 K6N3單層網殼各桿件移除后的結構極限承載力下降量Fig.5 The reduction of structural ultimate bearing capacity after each structural members was removed

以最小化結構所有桿件的冗余度標準差與各層次桿件的冗余度標準差之和為目標函數，并考慮約束條件(結構桿件長細比、結構最大位移、材料用量等)，采用前述方法優化結構桿件的截面尺寸。優化中目標值的變化曲線如圖6所示，當目標函數值達到22.44時桿件獲得其最優的截面尺寸。優化前初始結構構件的冗余度偏差為26.40，與之相比優化后結構桿件的冗余度離散程度明顯降低。在保持材料用量不變的前提下，優化得到的結構各桿件的截面參數如表1所示。此時結構桿件的最大長細比、按強度驗算的最大應力和按穩定性驗算的最大應力分別為145.08、90.20N/mm2和156.07 N/ mm2，均滿足設計約束要求。

圖6 優化中K6N3型單層網殼的目標函數值變化曲線Fig.6 The change curve of the value of objective function in the optimization of the K6N6 single-layer reticulated shell

表1 K6N3型單層網殼結構優化后的桿件尺寸Table1 The cross-sectional dimensions of the member in each group of the K6N6 single-layer reticulated shell after optimization

優化后，結構各桿件冗余度如圖7所示，可以看出，結構桿件間的冗余度偏差明顯減小。按《空間網格結構技術規程》(JGJ 7?2010)[14]的規定，對優化前后的結構施加L/300的初始幾何缺陷進行結構極限承載能力分析，圖8為該結構的加載過程與位移間的關系曲線。優化后結構極限承載力由原來的36.04 kN提高到40.33 kN，結構安全性有了明顯提升。結果表明：通過優化結構桿件的截面尺寸，降低結構所有桿件的冗余度標準差與各層次桿件的冗余度標準差之和，可實現結構桿件間的冗余度偏差的減小，結構整體性能及其極限承載力得到顯著提升。

圖7 K6N3型單層網殼結構優化后各桿件冗余度Fig.7 The redundancy of each member of the K6N3 singlelayer reticulated shell after optimization

圖8 K6N3型單層球面網殼結構荷載-位移曲線Fig.8 The load-displacement curve of the K6N3 single-layer reticulated shell

4.2 算例2：15 m跨單層柱面網殼結構

如圖9所示一跨度、長度分別為1 5.0m和20.0m的柱面網殼結構，高跨比為1/5，長邊周邊節點設為固定支座，圓鋼管構件，初始截面尺寸均為121.0mm×4.5mm ，材料彈性模量E為210.0 GPa，屈服強度fy為345.0 MPa，作用于結構上的等效節點荷載為10.0 kN，結構桿件編號及分組如圖10所示。

圖9 一單層柱面網殼結構 /mFig.9 A single layer cylindrical reticulated shell

圖10 柱面網殼的桿件分組(1/4模型)Fig.10 The component number and group of the cylindrical reticulated shell (1/4 model)

圖11為該柱面網殼結構各桿件的冗余度值分布。可以看出結構縱向桿件的冗余度數值較大，而斜向桿件的冗余度則相對較小，總體上斜向桿件的重要性高于縱向桿件。

圖11 柱面網殼結構優化前各桿件的冗余度系數Fig.11 The redundancy coefficient of each member of the cylindrical reticulated shell before optimization

將各桿件從結構中移除后的結構承載力變化量如圖12所示，總體上冗余度系數值較低的斜向桿件移除后，結構承載力的下降幅度明顯高于冗余度系數值較大的縱向桿件，說明結構桿件的冗余度值的大小可以反映該桿件在結構中的重要性及其破壞后對結構承載能力等性能的影響。

圖12 柱面網殼各桿件移除后的結構極限承載力下降量Fig.12 The reduction of ultimate bearing capacity after each member of the cylindrical reticulated shell was removed

同理以式(12)定義的桿件冗余度標準差為目標函數，對結構各組桿件的截面尺寸進行優化，并考慮結構桿件的長細比、結構最大位移、材料用量等約束條件，其優化目標值隨迭代步的變化曲線如圖13所示，其目標函數值收斂于94.42。由式(12)得到初始結構的桿件冗余度偏差為114.65，與之相比優化后結構桿件的冗余度離散程度明顯降低。在保持結構材料用量與原結構相同的條件下，優化后各組桿件的截面尺寸如表2所示。此時結構桿件的長細比最大值為78.79，按桿件強度驗算的最大應力和按結構穩定性驗算的最大應力分別為260.50 N/mm2和301.07 N/mm2，滿足要求。

圖13 優化中柱面網殼的目標函數值變化曲線Fig.13 The change curve of the value of objective function in the optimization of the cylindrical reticulated shell

表2 優化后單層柱面網殼各桿件的截面尺寸Table2 The cross-sectional dimensions of the member in each group of the cylindrical reticulated shell after optimization

優化后結構各桿件的冗余度如圖14所示，由此可知結構縱向桿件的冗余度系數明顯下降，而斜向桿的冗余度系數有所上升。圖15為該結構的加載過程曲線。可以看出優化后結構極限承載力由46.43 kN提高至54.16 kN，結構性能得到了有效提升。同樣說明通過優化結構桿件的截面尺寸，降低結構構件的重要性差異，可有效提升結構的整體性能及其承載力。

圖14 優化后柱面網殼各桿件冗余度系數Fig.14 The redundancy coefficient of each member of the cylindrical reticulated shell after optimization

圖15 柱面網殼結構的荷載-位移曲線Fig.15 The load-displacement curve of the cylindrical reticulated shell

5 結論

本文采用靈敏度分析方法定量分析了荷載作用下的構件的冗余度特性，以此衡量其在結構中的重要性。在此基礎上，以結構所有構件的冗余度標準差與各層次構件的冗余度標準差之和最小化為目標函數，采用粒子群算法優化各構件的截面參數，平衡各構件在結構中的重要性，實現結構力學性能的提升。主要結論如下：

(1)本文采用的構件冗余度定量評估指標能有效地衡量和識別各構件在結構抗倒塌性能中的作用及其重要性，構件冗余度系數值可作為結構關鍵構件的判定參數。

(2)以降低結構所有構件的冗余度標準差與各層次構件的冗余度標準差之和為目標，基于粒子群算法通過優化各結構構件的截面參數，可實現結構構件重要性的均衡分布，結構極限承載力和整體性得到明顯提升。