靜電負(fù)剛度諧振式加速度計(jì)的非線性振動(dòng)特性研究

吳天豪，張 晶，蘇 巖

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210096)

0 引言

20世紀(jì)70年代，Roylance研究團(tuán)隊(duì)發(fā)表了有關(guān)微加速度計(jì)的文章。時(shí)至今日，微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-Elec-tro-Mechanical System，MEMS)加速度計(jì)已經(jīng)發(fā)展了近半個(gè)世紀(jì)。隨著應(yīng)用范圍的拓寬，MEMS加速度計(jì)也從最早的軍事、航空航天領(lǐng)域[1-3]，慢慢延伸到了電子器件、定位導(dǎo)航和醫(yī)療設(shè)備等領(lǐng)域[4-5]。其中基于靜電負(fù)剛度敏感原理的靜電負(fù)剛度諧振式加速度計(jì)(Electrostatic Negative Stiffness Resonant Accelerometer，ENSRA)受到廣泛關(guān)注。由于其本質(zhì)為頻率調(diào)制的電容式MEMS加速度計(jì)，使得ENSRA一方面避免了電容式MEMS加速度計(jì)因電路噪聲導(dǎo)致零偏穩(wěn)定性較差的問題,另一方面也規(guī)避了振梁式MEMS加速度計(jì)受殘余應(yīng)力影響而產(chǎn)生諧振頻率誤差的問題。在目前已報(bào)道的靜電負(fù)剛度加速度計(jì)中，首爾大學(xué)研究團(tuán)隊(duì)在2004年報(bào)道了一種面內(nèi)靜電負(fù)剛度加速度計(jì)，靈敏度為128Hz/g,相對(duì)靈敏度為5470×10-6[6]；并在2005年報(bào)道了一種面外靜電負(fù)剛度加速度計(jì)，靈敏度為70Hz/g，相對(duì)靈敏度為5833×10-6[7]。2013年，美國(guó)加利福尼亞大學(xué)歐文分校A.M.Shkel團(tuán)隊(duì)報(bào)道了一種靈敏度為4.4Hz/g的加速度計(jì)，實(shí)現(xiàn)了大于3×105的品質(zhì)因數(shù)和6μg的零偏穩(wěn)定性[8]。除此之外，中國(guó)的清華大學(xué)、東南大學(xué)和南京理工大學(xué)等研究團(tuán)隊(duì)也在此方向做了相關(guān)研究[9-10]。隨著應(yīng)用領(lǐng)域的不斷拓寬，對(duì)于MEMS加速度計(jì)性能的要求日益提高，研究者們往往通過加入靜電力來軟化機(jī)械剛度，從而提高靈敏度等關(guān)鍵指標(biāo)[11-12]。但是隨著靜電力的增大和器件靈敏度的提高，非線性振動(dòng)效應(yīng)卻愈加明顯，反而制約著整體性能的進(jìn)一步提升。

本文以ENSRA作為研究對(duì)象，探究機(jī)電耦合下敏感結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)振動(dòng)模型，分析了高階非線性剛度的產(chǎn)生原理，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果探討了靜電力與非線性振動(dòng)的一般關(guān)系，最終給出了優(yōu)化方案。

1 ENSRA非線性振動(dòng)模型

1.1 靜電負(fù)剛度的形成及動(dòng)力學(xué)原理

基于靜電負(fù)剛度調(diào)諧的諧振式加速度計(jì)其本質(zhì)是頻率檢測(cè)的電容式MEMS加速度計(jì)，利用平板電容產(chǎn)生的靜電力作用在敏感結(jié)構(gòu)的質(zhì)量塊上而產(chǎn)生等效負(fù)剛度的原理來改變振動(dòng)的諧振頻率。不僅如此，ENSRA非線性振動(dòng)的本質(zhì)也是平板電容產(chǎn)生的靜電力導(dǎo)致的，所以討論靜電負(fù)剛度的原理及其應(yīng)用到ENSRA中的影響是至關(guān)重要的。

本文研究的基于ENSRA的敏感結(jié)構(gòu)由上、下2個(gè)諧振器組成，如圖1[10]所示。

圖1 ENSRA敏感結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of ENSRA sensitive structure

每個(gè)質(zhì)量塊由4個(gè)U型梁和錨點(diǎn)相連接，同一個(gè)諧振器的2個(gè)質(zhì)量塊由4個(gè)L型梁相連。每一個(gè)質(zhì)量塊內(nèi)部分為三部分，分別是差分梳齒驅(qū)動(dòng)電容、靜電調(diào)諧的變間距平板電容和差分梳齒檢測(cè)電容，質(zhì)量塊中間黑色部分為固定極板。靜電調(diào)諧的變間距平板電容中，大間距為d1，小間距為d2，上下2個(gè)諧振器平板電容所放置的位置相反。也就是說，當(dāng)外界輸入加速度時(shí)，整個(gè)敏感結(jié)構(gòu)的質(zhì)量塊向一個(gè)方向移動(dòng)，但是一個(gè)諧振器的平板電容極板間距變大，另一個(gè)極板間距變小，使得上下2個(gè)諧振器的諧振頻率一個(gè)變大一個(gè)變小，最后通過頻差計(jì)算較精確的諧振頻率。

在ENSRA工作時(shí)，敏感結(jié)構(gòu)中差分梳齒驅(qū)動(dòng)電容決定了每個(gè)諧振器的工作模態(tài)，分別有同向工作模態(tài)和反向工作模態(tài)，圖2所示為一個(gè)諧振器在ANSYS下的模態(tài)仿真。其中，反向工作模態(tài)是運(yùn)行模態(tài)，當(dāng)外界輸入加速度時(shí)，每個(gè)諧振器的2個(gè)質(zhì)量塊沿中線鏡像反方向振動(dòng)，在此工作模態(tài)下，通過電路設(shè)計(jì)達(dá)到諧振頻率下的穩(wěn)定狀態(tài)；同向工作模態(tài)為檢測(cè)模態(tài)，當(dāng)敏感結(jié)構(gòu)穩(wěn)定時(shí)，改變差分梳齒驅(qū)動(dòng)電容的電壓，使得2個(gè)質(zhì)量塊同向振動(dòng)，再由差分梳齒檢測(cè)電容檢測(cè)諧振器的諧振頻率。

1.2 非線性模型的推導(dǎo)

本文研究的是運(yùn)行模態(tài)下的非線性振動(dòng)問題，因此對(duì)該加速度計(jì)在反向工作模態(tài)下的敏感結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論分析與仿真驗(yàn)證。由于上下諧振器不同的諧振頻率變化對(duì)非線性的研究沒有影響，因此選取敏感結(jié)構(gòu)的一個(gè)諧振器作為研究對(duì)象。

在反向工作模態(tài)中，2個(gè)質(zhì)量塊在每一時(shí)刻的移動(dòng)位移相反，在連接L型梁的對(duì)稱面保持靜止，使得整個(gè)諧振器的諧振頻率和其中單個(gè)質(zhì)量塊的諧振頻率相同，等效質(zhì)量是單個(gè)質(zhì)量塊的2倍，等效剛度也是單個(gè)質(zhì)量塊的2倍。因此，對(duì)于非線性模型的建立，選取其中二分之一諧振器作為研究對(duì)象。

1.2.1 諧振器等效模型受力分析

以單個(gè)諧振器的二分之一為研究對(duì)象,由于質(zhì)量塊本身變形非常小近似剛體，一端由4個(gè)U型梁并聯(lián)成等效剛度為KU的彈性約束，另一端與2個(gè)L型梁相連。在反向工作模態(tài)中，L型梁可近似看成一端固定，另一端與質(zhì)量塊相連，因此可等效成一個(gè)諧振梁，如圖3(a)所示。當(dāng)敏感結(jié)構(gòu)處于工作模態(tài)時(shí)，質(zhì)量塊受到變間距平板電容的靜電力，可建立修正后的諧振梁力學(xué)模型，如圖3(b)所示。

(a)ENSRA單個(gè)諧振器等效力學(xué)模型圖

根據(jù)圖3所示，作如下定義：

1)敏感結(jié)構(gòu)的材料密度為ρ，厚度為b，諧振梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為h，橫截面積為A=bh，面內(nèi)彎曲的慣性矩為I=bh3/12；

3)諧振梁振動(dòng)的軸向位移為ux(x,t)，橫向位移為uy(x,t)；

4)任取一微段dx，其受到軸向力F(x,t)、剪切力T(x,t)和彎矩M(x,t)。

由此可見，分析諧振器受力的關(guān)鍵在于靜電力P、軸向力F、剪切力T和彎矩M。

首先討論L型梁的軸向力、剪切力和彎矩，設(shè)L型諧振梁在上述作用下的彎曲應(yīng)變?yōu)棣茫瑒t可得

(1)

同理可設(shè)L型諧振梁的軸向應(yīng)變?yōu)棣?，可?/p>

(2)

通過化簡(jiǎn)式(1)和式(2)，可求解L型諧振梁所受的彎矩和軸向力為

(3)

(4)

根據(jù)L型諧振梁的振動(dòng)特性，可以將軸向力F(x,t)視作僅與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)而忽略隨空間的變化，即F(x,t)=F(t)。將式(4)從0到L積分，并且添加邊界條件ux(0,t)=ux(L,t)=0，則可得到

(5)

1.2.2 變間距平板電容靜電力P求解

如圖1所示，對(duì)其中諧振器的二分之一進(jìn)行計(jì)算，靜電調(diào)諧的平板電容采用變間距電容檢測(cè)方式，其電容可以表示為

(6)

式中，ε為真空介電常數(shù)；b為變間距平板電容寬度即敏感結(jié)構(gòu)厚度；Ne為變間距平板電容個(gè)數(shù)；le為變間距平板電容兩極板重合面長(zhǎng)度；d1為變間距平板電容大間距，d2為變間距平板電容小間距；x為變間距平板電容移動(dòng)極板位移即敏感結(jié)構(gòu)位移。

可得變間距平板電容產(chǎn)生的靜電力為

(7)

式中，V為兩極板之間的電壓差。

式(7)在圖3中，其移動(dòng)極板位移可表示為

(8)

則有

(9)

(10)

1.2.3 機(jī)電耦合的非線性動(dòng)力學(xué)方程

哈密頓原理(Hamilton Principle)又稱最小作用原理，通常用來建立連續(xù)質(zhì)量分布和連續(xù)剛度分布系統(tǒng)(彈性系統(tǒng))的動(dòng)力學(xué)模型。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)能為KT，系統(tǒng)勢(shì)能為U，系統(tǒng)所耗散的能量為Wc，則有耗散系統(tǒng)的廣義哈密頓原理可表示為

(11)

根據(jù)1.2.1節(jié)分析的該敏感結(jié)構(gòu)中L型諧振梁?jiǎn)巫杂啥日駝?dòng)的力學(xué)模型可得，該系統(tǒng)的動(dòng)能為

KT=KL梁+KM

(12)

系統(tǒng)勢(shì)能包括L型諧振梁的軸向應(yīng)變能、彎曲應(yīng)變能、U型梁彈性勢(shì)能和變間距平板電容產(chǎn)生的靜電勢(shì)能，結(jié)合式(3)與式(5)，可推導(dǎo)L型諧振梁的勢(shì)能為

U=Ubend+Uaxial+UK+Ue

(13)

系統(tǒng)所消耗的能量可以表示為

(14)

(15)

式中，Фi代表雙端固支梁在第i階模態(tài)下的振型;qi為廣義坐標(biāo)，代表在第i階振動(dòng)模態(tài)下諧振梁隨時(shí)間變化的位移。

對(duì)于本文研究的L型諧振梁，將圍繞一階模態(tài)進(jìn)行研究，其振動(dòng)模態(tài)如圖4所示。

圖4 雙端固支梁一階模態(tài)振型圖Fig.4 Diagram of double end fixed beam in first-order mode

其對(duì)應(yīng)的振型方程為

Φ1(x)=C1[coshβ1x-cosβ1x+

α(sinhβ1x-sinβ1x)]

(16)

表1 雙端固支諧振梁一階模態(tài)各項(xiàng)參數(shù)計(jì)算

將上述能量式代入有耗散系統(tǒng)的廣義哈密頓原理方程中，通過變分的方式，利用哈密頓原理得到廣義拉格朗日方程

(17)

將式(15)代入上述能量式進(jìn)行變量分離，只考慮一階振型，共同代入式(17)，在不考慮驅(qū)動(dòng)力的情況下，得到L型諧振梁橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

(18)

將靜電項(xiàng)泰勒展開，并省略高階項(xiàng)得

(19)

由此，可以對(duì)L型諧振梁建立機(jī)電耦合的非線性動(dòng)力學(xué)方程

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

該機(jī)電耦合模型中，K1為一階剛度項(xiàng)，包含機(jī)械剛度和靜電力產(chǎn)生的靜電負(fù)剛度；K2為二階剛度項(xiàng)，是由靜電力產(chǎn)生的非線性負(fù)剛度項(xiàng)；K3為三階剛度項(xiàng)，是由L型梁軸向應(yīng)變與靜電力產(chǎn)生的三階非線性剛度項(xiàng)，其中軸向應(yīng)變?yōu)橹饕蛩卣急?5.3%；Ce為靜電力產(chǎn)生的恒力。

由此可見，靜電力的引入對(duì)于ENSRA來說，不僅提供了敏感加速度的靜電負(fù)剛度，還產(chǎn)生了二階和三階的高階非線性剛度項(xiàng)，對(duì)驅(qū)動(dòng)力產(chǎn)生一個(gè)直流偏量，使得整個(gè)敏感結(jié)構(gòu)處于非線性振動(dòng)狀態(tài)，對(duì)后續(xù)器件的檢測(cè)性能產(chǎn)生影響。

前文中涉及的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)尺寸如表2所示。

表2 ENSRA關(guān)鍵結(jié)構(gòu)尺寸

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 靜電力對(duì)非線性振動(dòng)的影響

由第1節(jié)的非線性動(dòng)力學(xué)模型可知，除了L型梁軸向應(yīng)變帶來的部分三階非線性剛度項(xiàng)之外，靜電力的引入對(duì)結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)起著決定性作用。在開環(huán)測(cè)試下，掃頻結(jié)果和不同加速度下輸出頻差的關(guān)系如圖5所示。

(a)ENSRA單個(gè)諧振器正反掃頻實(shí)驗(yàn)結(jié)果

(b)0～10g下ENSRA差分輸出結(jié)果圖5 非線性振動(dòng)試驗(yàn)現(xiàn)象Fig.5 Phenomenon of nonlinear vibration test

一方面，高階非線性剛度項(xiàng)的引入使得掃頻諧振峰發(fā)生左偏現(xiàn)象，導(dǎo)致諧振器頻率的減小，等效為剛度軟化，在器件處于低阻尼高Q值的情況下，其幅頻響應(yīng)曲線存在雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域，諧振峰發(fā)生左偏，導(dǎo)致同一個(gè)諧振頻率對(duì)應(yīng)多個(gè)振幅出現(xiàn)多值共振情況，這種現(xiàn)象可劃分出穩(wěn)態(tài)區(qū)域和非穩(wěn)態(tài)區(qū)域，曲線在峰值會(huì)發(fā)生跳變現(xiàn)象，對(duì)后續(xù)閉環(huán)電路鎖定諧振頻率帶來困難，從而影響加速度計(jì)的正常工作；另一方面，與梳齒電容不同的是，變間距平板電容改變靜電力的本質(zhì)是兩極板間距的變化，這種方式使得平行極板的吸附效應(yīng)大大增加，因此隨著輸入加速度的增大，敏感結(jié)構(gòu)內(nèi)可移動(dòng)極板向固定極板不斷靠近，兩極板之間的吸附效應(yīng)不斷上升，使得輸入輸出存在非線性關(guān)系，一定程度上制約了量程的設(shè)置。

2.2 非線性振動(dòng)優(yōu)化方案及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.2.1 高階非線性剛度項(xiàng)優(yōu)化

由式(19)可知，影響高階非線性剛度項(xiàng)K2和K3的關(guān)鍵因素為靜電力、L型梁軸向應(yīng)變和振動(dòng)幅值，這里將多值共振區(qū)大小作為衡量非線性振動(dòng)程度的指標(biāo)。驅(qū)動(dòng)電壓決定著振動(dòng)幅值的大小，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力較小，振動(dòng)幅值q與極板間距d1、d2相差1個(gè)數(shù)量級(jí)以上時(shí)，在非線性振動(dòng)方程中高階項(xiàng)可以近似被省略，所帶來的非線性效應(yīng)相對(duì)較?。坏?dāng)驅(qū)動(dòng)力增大到一定程度時(shí)，振動(dòng)幅值q與極板間距d1、d2處于同一個(gè)量級(jí)，高階項(xiàng)無法被忽視，非線性效應(yīng)明顯。而靜電力的大小影響著高階非線性剛度項(xiàng)，因此可通過調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)電壓和調(diào)諧電壓來一定程度上抑制非線性振動(dòng)。

如圖6(a)所示，隨著驅(qū)動(dòng)電壓的減小，振動(dòng)幅值相應(yīng)減小，使得相較于極板間距來說，振動(dòng)幅值可以忽略；高階非線性剛度項(xiàng)影響因子變小，導(dǎo)致雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域減小，多值共振區(qū)從3.84Hz降低到1.95Hz，非線性振動(dòng)優(yōu)化了49%。因此，通過減小驅(qū)動(dòng)力的優(yōu)化方案以降低幅值從而縮小多值共振區(qū)，達(dá)到優(yōu)化非線性的目的。

圖6(b)中，調(diào)諧電壓的降低表示靜電力的減小，導(dǎo)致以靜電力為主要影響變量的高階非線性剛度項(xiàng)K2減小而K3相對(duì)增大，整體振動(dòng)非線性降低，諧振峰左偏程度減小，雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域明顯縮小，多值共振區(qū)從3.84Hz降低到2.12Hz，非線性振動(dòng)優(yōu)化了44%。這一方面證明了調(diào)節(jié)靜電力方案的可行性，從根本上降低了二階非線性剛度項(xiàng)，使得整體非線性振動(dòng)效應(yīng)降低；另一方面可以看出，諧振峰的左偏現(xiàn)象受二階非線性剛度項(xiàng)的影響，二階非線性剛度項(xiàng)的減小有效優(yōu)化了諧振器等效剛度的軟化現(xiàn)象。

(a)不同驅(qū)動(dòng)電壓下ENSRA掃頻結(jié)果

(b)不同調(diào)諧電壓下ENSRA掃頻結(jié)果圖6 高階非線性剛度優(yōu)化實(shí)驗(yàn)圖Fig.6 Experimental diagram of high order nonlinear stiffness optimization

2.2.2 吸附效應(yīng)優(yōu)化

平板電容最主要的特性在于當(dāng)兩極板電壓差保持不變時(shí)，隨著兩極板間距的變化，其兩端的電容也會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)致產(chǎn)生的靜電力發(fā)生變化。但是這種變化存在一個(gè)臨界值，靜電力過大會(huì)使得敏感結(jié)構(gòu)提前到達(dá)臨界值。

由式(9)可知，決定變間距平板電容靜電力大小的因素有調(diào)諧電壓、極板間距和極板重合面積。實(shí)驗(yàn)通過控制調(diào)諧電壓大小，改變敏感結(jié)構(gòu)調(diào)諧部分產(chǎn)生的靜電力，觀察輸入輸出非線性變化情況，如圖7所示。通過給變間距平板電容施加不同的調(diào)諧電壓(6V，5V，3.9V)以改變兩極板的電壓差，在開環(huán)的情況下測(cè)試其在0～10g下的輸出頻差。

圖7 不同調(diào)諧電壓下的加速度-頻差曲線圖Fig.7 Acceleration frequency difference curves under different tuning voltages

由圖7可以清晰直觀地看出，隨著調(diào)諧電壓的減小，輸出頻差與輸入加速度的線性度越來越高，當(dāng)調(diào)諧電壓從6V降低到3.9V時(shí)，輸出非線性從3.4×106ppm降低到 4.95×102ppm，輸出非線性優(yōu)化了將近4個(gè)數(shù)量級(jí)，因此驗(yàn)證了調(diào)整調(diào)諧電壓優(yōu)化方案的可行性。這是由于當(dāng)調(diào)諧電壓減小時(shí)，兩極板的電壓差減小，在兩極板間距相同的情況下靜電力減小，即在相同加速度輸入的情況下，調(diào)諧電壓較小的平板電容可移動(dòng)極板的位移較小，因此可以通過延長(zhǎng)平板電容吸附效應(yīng)的臨界點(diǎn)，使得ENSRA的量程增長(zhǎng)。

3 結(jié)論

本文以ENSRA作為研究對(duì)象進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模和實(shí)驗(yàn)分析，通過分析其高階非線性剛度的來源可知，影響非線性效應(yīng)的主要因素為靜電力和驅(qū)動(dòng)力。經(jīng)過開環(huán)掃頻實(shí)驗(yàn)可得以下結(jié)論：

1)驅(qū)動(dòng)力從100mV降低到60mV，非線性振動(dòng)優(yōu)化了49%，調(diào)諧電壓從10V降低到6V，非線性振動(dòng)優(yōu)化了44%，輸出非線性降低了將近4個(gè)數(shù)量級(jí)，器件整體性能大幅提升。

2)通過調(diào)節(jié)調(diào)諧電壓發(fā)現(xiàn)，二階非線性剛度項(xiàng)使得諧振器剛度軟化，導(dǎo)致諧振峰的左偏現(xiàn)象，而降低靜電力可有效減小二階非線性剛度項(xiàng)，并改善諧振器剛度軟化導(dǎo)致的諧振峰左偏現(xiàn)象。

3)然而降低驅(qū)動(dòng)和調(diào)諧電壓不可避免地導(dǎo)致系統(tǒng)靈敏度下降、信噪比降低，對(duì)系統(tǒng)的部分性能造成負(fù)優(yōu)化，因此需權(quán)衡各項(xiàng)性能指標(biāo)，找到最優(yōu)驅(qū)動(dòng)電壓和調(diào)諧電壓值。

本文針對(duì)ENSRA非線性振動(dòng)特性的研究，對(duì)后續(xù)研究靜電力在MEMS傳感器領(lǐng)域的應(yīng)用以及ENSRA非線性效應(yīng)優(yōu)化提供了理論指導(dǎo)。