小學生數學符號意識：表現、問題及培養(yǎng)建議

劉曉婷　李雅君

【編者按】符號意識在義務教育階段的具體表現為運用符號表示數、數量關系和變化規(guī)律;知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。它是數學抽象素養(yǎng)在小學階段的具體表現之一，亦是學生抽象思維形成的基礎。如何幫助學生具備良好的符號意識，如何科學地評價學生符號意識水平？本期話題圍繞“小學階段學生數學符號意識的培養(yǎng)與評價”展開。

數學符號是用以表示數學概念、數學關系等的符號和記號，符號意識是義務教育階段重要的數學核心素養(yǎng)之一。對于小學生而言，應知道數學符號所表達的現實意義;能夠初步運用符號表示數量、關系和一般規(guī)律;依托具體內容的學習感悟符號的數學功能，知道用符號表達的運算規(guī)律、推理結論等具有一般性;初步體會符號的使用是數學表達和思考的重要形式。學生通過數學學習應能夠感知符號含義，能夠運用符號進行表達、運算和推理，感悟符號的功能和價值。那么，小學生數學符號意識的表現如何？如何培養(yǎng)數學符號意識？本文結合對某校五年級學生的調研，闡釋對上述問題的思考。

一、學生數學符號意識的表現

考慮到五年級學生處于具體運算階段向形式運算階段過渡的時期，未來的數學學習會遇到更多、更抽象的數學符號，了解其現階段符號意識表現將有助于教師在后續(xù)教學中提供更精準、有力的教學支持。本文借鑒已有研究成果，從“感知符號及其含義”“運用符號表達、運算和推理”“感悟符號功能與價值”三個維度對51名學生的符號意識表現進行調研，基于SOLO分類理論對學生的表現進行劃分。

（一）感知符號及其含義

學習數學總要同數學符號打交道，這就要認識符號，了解符號的含義，包括感知、理解數學符號本身所特有的含義，也包括數學符號之間的相互關聯性。五年級學生在前期已經學習了大量的數學符號，如數字符號、運算符號、關系符號、幾何符號等。學生是否知道哪些屬于數學符號的范疇，對數學符號有怎樣的認識呢？調研題目如下：

問題1：在數學學習中會遇到很多的數學符號，如數字符號1、2、3……運算符號+、-、×、÷……回顧五年的數學學習歷程，你還學過哪些數學符號？請列舉在下面空白處，并嘗試給這些數學符號分分類（用你喜歡的方式，可列表，可畫思維導圖）。

該題目有一人未理解題目，寫成了自己喜歡的符號，其余50人的作答表現如表1所示：

（二）運用符號表達、運算和推理

符號意識主要是指能夠初步運用符號表示數量、關系和一般規(guī)律，能夠對數學符號對象進行運算和簡單推理。本次調研我們改編了兩個相對陌生的情境問題，以此了解學生的具體表現，問題如下：

問題2：圖1是13世紀中國數學家的計數方法，仔細觀察，虛線框中“”表示的數是（? ? ?）。在下面空白處寫出你的思考過程。

問題3：小西在月歷卡上圈出了3組數，如圖2所示。她發(fā)現圈出的每組4個數之間都有相同的關系，而且用同樣辦法再任意圈出4個數，關系仍然不變。

有4個同學分別用不同的方式把每組4個數之間的關系表示了出來，如下圖所示。

你更欣賞哪個同學的表示方法？為什么？把你的選擇和理由寫在空白處。

兩個問題學生的作答表現分別如表2、表3所示：

（三）感悟符號的功能與價值

數學符號是應數學思維的需要而產生的理想化的、科學的書面語言。學生應知道用符號表達的運算規(guī)律和推理結論等具有一般性;初步體會符號的使用是數學表達和數學思考的重要形式，體會到數學符號的重要性、準確性、簡潔性等。該維度不太容易觀測，我們設計了一個開放問題，希望學生能夠自由呈現對數學符號功能與價值的思考。調研題目如下。

問題4：請舉例說明數學符號在數學學習中的作用和價值。

學生的作答表現如表4所示。

二、關于學生數學符號意識問題的反思

（一）對數學符號的認識存在誤區(qū)

小學數學中的符號按照作用及領域類別，可做如圖3（見文末）所示簡單、粗略的整理。

在感知符號及其含義的調研中發(fā)現，學生梳理數學符號時，對常見的計算符號以及大小關系符號大多能夠回憶并再現，對于其他類別的符號，如分數、小數等符號有16人提及;幾何領域中的符號3人提及;用符號表達的運算律、數量關系2人提及;公式符號組合2人提及。學生再認符號困難不大，卻不能主動再現，究其原因可能與對數學符號的認識存在誤區(qū)有關。如認為“符號就是獨立記號，公式不算符號”“符號就是字母符號”“每個符號只有一個含義”等。感知符號及其含義，也需要學生了解符號的來龍去脈，了解符號的作用，在此基礎上才能更好地運用符號，感悟符號的功能和價值。

（二）用數學符號進行表達推理時考慮不周全

調研問題2主要是考查學生運用符號進行簡單推理的能力，問題3考查學生對運用符號表達關系的理解。從調研數據發(fā)現，96%的學生在運用符號進行推理時考慮都不夠周全，獲取部分信息就得出結論，只有4%的學生能夠根據條件獲取所有符號的信息后再進行合理推斷。在使用符號表示一般關系時，超過一半的學生僅關注部分數之間的關系，而未能考慮符號表示的任意性和全面性。

（三）對數學符號價值的理解不夠深入

數學符號的出現是數學誕生與發(fā)展的重要標志，是數學研究不可缺少的工具，它具有簡明、直觀、準確、符簡理深、優(yōu)美等特點。學生通過五年的數學學習，對數學符號這種特殊的數學語言有哪些認識呢？問題4的調研表明，學生能夠認識到具體符號的含義，知道其作用，但只有約49%的學生表達出了數學符號在數學中的價值，如它的重要性、準確性、簡潔性等，約31%的學生能結合實例闡釋。對于數學符號作為數學研究中不可或缺的工具、作為數學交流的工具，在提高運算效率，直觀表達數量關系方面的價值體悟不深。

三、學生數學符號意識的培養(yǎng)建議

基于調研及初步分析，我們對小學生數學符號意識的培養(yǎng)提出如下建議。

第一，教學中應有意識地對數學符號做階段整理，幫助學生弄清數學符號的含義和實質，明晰符號之間的關系，豐富學生對數學符號語言的認識。例如，讓學生以思維導圖的形式梳理某個階段學習中的數學符號。上述調研中有學生把小括號、中括號、大括號單獨放到一個類別中（圖4），還有的學生把它們和運算符號歸為一類（圖5）。兩種想法各是基于何種考量？有學生認為括號在計算中有改變計算順序的功能，可以算作運算（計算）符號;有學生認為小括號、中括號還可以用在求最大公約數、最小公倍數的表達中，小括號還可以用于表示數對，一個符號多種含義。教師可以基于學生的梳理組織教學交流，在討論中豐富學生對符號含義的認識。

第二，在數學教學中涉及符號表示的內容時，讓學生經歷獨立思考、自主表達、集體討論、反思調整的過程，培養(yǎng)學生思考的全面性和思維的反省性。例如，問題3，在教學中教師可鼓勵學生獨立思考、自主表達，學生會出現題目所示的四種答案，在此基礎上選取有代表性的四類作品，引導學生交流研討，讓學生在對比中進行分析，通過觀察、反思來感悟符號表達一般規(guī)律時需要全面、準確、簡潔，體會符號語言的含義確定性、表達簡明性、概括全面性。

第三，在數學教學中應有意識地進行數學符號歷史的講解、滲透，讓學生了解數學符號產生的歷程，體會到數學符號中散發(fā)的數學家理性精神的光輝及數學家對數學美的追求，洞察到簡單的數學符號背后蘊含著深刻的道理。例如，小數的表示方法，并不是生來就如此，而是隨著人類社會生產活動的發(fā)展與需要逐漸演變并穩(wěn)定下來的。通過引入數學史料，讓學生思考數學符號發(fā)展和演變的道理，體會數學符號表達的簡明性、直觀性，以及含義確定的符號在交流時的便捷性。

數學符號的產生是數學史上具有劃時代意義的大事，學生的數學學習無時無刻不與數學符號打交道。學習、理解并喜歡這種特殊的數學語言，感悟這種無聲音符在表達數學概念、數學運算，以及進行推理時的美妙，才能更好地學習數學，形成數學素養(yǎng)。

（作者單位：北京教育學院 北京小學）