用數學眼睛看問題本質

王志軍

教學中不少教師有這樣的困惑：為什么講了很多題目，學生的解題能力卻止步不前;學生做了很多題目，但未見學生解題水平有多少提升。出現這樣的困惑，其主要原因是教師未能引導學生深入挖掘題目中隱含的信息，未能引導學生從題目中找到解決問題的關鍵點。解決這些問題的核心就是尋找題目中的題眼，并對其加以破解。如何指導學生善用題眼看清問題本質，從而巧解問題呢？筆者認為可以從以下三個方面入手。

一、思題眼，尋方向，巧解方程問題

方程問題的難易程度是由問題的信息和數量關系的復雜程度所決定。對于部分學生來說，要找出與問題相關聯的數學信息并進行數量關系整合有一定的難度。針對這種情況，教師可以引導學生認真審題，在理解題意的基礎上尋題眼，從題眼中找出相關聯的數學信息，進而列出等量關系式來解決問題。

如關于“行程問題”的教學，有這樣一道題：工程隊修一條公路，原計劃每天修900米，實際每天比原計劃多修90米，工程最后提前2天完成任務，求這條路全長多少千米？學生能夠想到運用方程來解決問題，但在解題時常常只看最后要求解的量是什么，就把這個量設為x，這樣的求解方法列不出解題的關系式。在解題過程中，教師可以引導學生通過畫線段圖的方式發現不變的量是公路的總長度，這是隱藏的題眼;再根據題目中“原計劃”“實際每天”“多修”“提前2天”等關鍵信息（題眼），結合數量關系進行分析，將原計劃天數設為x進行求解。即設原計劃x天修完這條公路，則實際（x-2）天修完這條公路，900x=（900+90）（x-2），900x=990x-1980，990x-900x=1980，90x=1980，x=22。得出原計劃22天修完這條路，所以這條路的全長為：900×22=19800（米）=19.8（千米）。教師在教學過程中，應引導學生找出題目中關鍵的題眼以及量與量之間的相互關系。此題雖然原計劃完成工程的時間和實際完工的時間不同，但是完成的總長度不變，有了這幾個關鍵題眼，就不難找出等量關系來列式解題。在教學過程中，教師還可以指導學生將題目中重要的題眼和表示等量關系的語句圈出來，培養學生理解問題和分析問題的能力。

二、借題眼，找路徑，巧解體積問題

數學題中題眼是起點，所求的解是終點，解題就是要找到一條“有題眼的路徑”，把起點和終點連接起來。教師應引導學生借助問題中的題眼獲取數學信息，找準路徑以巧解問題，達到事半功倍的目的。

例如，在教學“不規則物體的體積”時，教師讓學生解決如下問題：往一個長8分米、寬5分米、高5分米的魚缸注水，水面高4分米，然后把兩條長3分米、寬2分米、高4分米的石柱立著放入魚缸中，魚缸溢出的水的體積是多少？教師通常會在課堂上演示兩種情況：第一種，將石柱放入裝滿水的魚缸，此時溢出水的體積等于石柱的體積;第二種，將石柱放入未裝滿水的魚缸，在水沒有溢出魚缸的情況下，水面上升部分的體積等于石柱的體積。對于未裝滿水，放入石柱后水溢出的情況學生比較少見。在本題中，出現了“魚缸”的容積，以及“石柱”與“溢出的水”的體積。解題過程中，教師引導學生認真審題，找出本題題眼是“長”“寬”“高”“水面高”“溢出”，然后以“排水法”為路徑，讓學生思考石柱能不能完全浸沒在水中，水面是怎樣上升的，水面能上升到什么高度，為什么水會溢出，溢出的體積是多少。學生通過合作探究，總結出“石柱是可以完全浸沒在水中的→石柱的體積占了水的體積，使得水面上升→水面最多能上升到5分米，也就是魚缸的高度→石柱的體積大于魚缸空余的容積→水會溢出”這條路徑，最終得出魚缸溢出的水的體積等于兩條石柱的體積減去裝滿魚缸還需注水的體積，進而準確快速地求出結果。具體的結題過程如下：兩條石柱的體積為3×2×4×2=48（立方分米），裝滿魚缸還需注水的體積為8×5×（5-4）=40（立方分米），溢出的水的體積為48-40=8（立方分米）。

在解題教學中，教師要引導學生學會借助題眼尋找“路徑”，查找題目條件中所蘊含的數學信息，厘清這些信息之間的聯系，幫助學生利用現實生活經歷和已有的知識經驗找到解題的“路徑”，把握問題的本質，從而巧解問題。

三、抓題眼，善對比，巧解分數問題

對于有些分數問題，學生常常被相似或相近的題眼所蒙騙而錯解題目。對比不同題目的題眼是提升學生巧解分數問題的有效方法，教師在教學中可以采用對比題眼的方法，指導學生甄別、發現題目之間的差異，避免數學思維定勢造成理解出錯，從而達到解決問題、掌握技巧的目的。

如這樣一組關于分數的題目：1. 紅星小學圖書館有故事書1200本，科技書是故事書的5/6，科技書有多少本？2.紅星小學圖書館有故事書1200本，故事書是科技書的5/6，科技書有多少本？3. 紅星小學圖書館有故事書1200本，科技書比故事書多1/5，科技書有多少本？4. 紅星小學圖書館有故事書1200本，科技書比故事書少1/5，科技書有多少本？5. 紅星小學圖書館有故事書1200本，故事書比科技書多1/5，科技書有多少本？6. 紅星小學圖書館有故事書1200本，故事書比科技書少1/5，科技書有多少本？在解決問題1和問題2時，教師引導學生要抓住的題眼是尋找出標準量，當標準量已知的情況下，運用標準量×分率=分率對應量;而在標準量未知的情況下，運用分率對應量÷分率=標準量，讓學生找準整體與部分之間的關系解決問題。在解決問題3和問題4時，這類問題的特點是標準量已知，區別在于分率對應量比標準量多或少多少。學生往往出現兩種思路，一種根據分率的變化得出數量關系為標準量×（1±分率）=分率對應量;另一種根據數量的變化，即標準量+標準量×分率=分率對應量。在解決問題5和問題6時，這類問題的特點是分率對應量已知，可運用分率對應量÷（1±分率）=標準量。依據題意，列式為：1. 1200×5/6=1000（本）;2. 1200÷5/6=1440（本）;3. 1200×（1+1/5）=1400（本）;4. 1200×（1-1/5）=960（本）;5. 120÷（1+1/5）=1000（本）;6. 1200÷（1-1/5）=1500（本）。

可以發現，通過題組式的訓練對比，弄清標準量和分率對應量之間的區別，能快速解決問題，避免學生因標準量和分率對應量的混淆不清而造成解題出錯。教師應有意識地進行對比式題組設計，指導學生邊讀題邊思考，引導學生在觀察比較中找準題眼，從而找到正確的關系量來解題。

（作者單位：福建省廈門市集美區杏濱小學 責任編輯：王振輝）