函數(shù)模型的建立與應(yīng)用

■臺勤生

數(shù)學(xué)和生活是相通的,其中函數(shù)就是刻畫現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的一種非常重要的模型。通過建立相應(yīng)的函數(shù)模型,利用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際應(yīng)用問題,有利于提升同學(xué)們的閱讀理解能力與應(yīng)用能力。

一、指數(shù)函數(shù)模型

由于指數(shù)函數(shù)這種爆炸性增長方式的特點(diǎn),使得指數(shù)函數(shù)模型多適用于細(xì)胞分裂、人口增長、利潤增長、銀行儲蓄等經(jīng)濟(jì)生活和社會生活問題。

例1 倡導(dǎo)環(huán)保意識、生態(tài)意識,構(gòu)建全社會共同參與的環(huán)境治理體系,讓生態(tài)環(huán)保思想成為社會生活中的主流文化。某化工企業(yè)探索改良工藝,使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少。已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為2mg/m3,首次改良工藝后所排放的廢氣中含有污染物數(shù)量為1.94mg/m3,設(shè)改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為r0,首次改良工藝后所排放的廢氣中含的污染物數(shù)量為r1,則第n次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量rn可由函數(shù)模型rn=r0-(r0-r1)·50.5n+p(p∈R,n∈N*)給出,其中n是改良工藝的次數(shù)。

(1)試求改良后rn的函數(shù)模型。

(2)依據(jù)國家環(huán)保要求,企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過0.08mg/m3。試問:至少進(jìn)行多少次改良工藝后才能使企業(yè)所排放的廢氣中含有污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)? (參考數(shù)據(jù):lg2=0.3)

解:(1)由題意得r0=2,r1=1.94,所以當(dāng)n=1 時,r1=r0-(r0-r1)·50.5+p,即1.94=2-(2-1.94)·50.5+p,解得p=-0.5,所以rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*)。

故改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型為rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*)。

由上可知,至少進(jìn)行6 次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)。

評析:利用指數(shù)函數(shù)可以將一些復(fù)雜問題進(jìn)一步簡單化、精確化,從而很容易找到解決問題的方案。

二、對數(shù)函數(shù)模型

對數(shù)函數(shù)的增長方式常被形象地稱為能量漸失,因此在價格與利潤,收入與成本、人口等生產(chǎn)、生活及航天領(lǐng)域都有著比較廣泛的應(yīng)用。

例2 “復(fù)興號”動車組列車是中國標(biāo)準(zhǔn)動車組的中文名稱,是由中國鐵路總公司牽頭組織研制、具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)、達(dá)到世界先進(jìn)水平的動車組列車。2019年12月30日,CR400BF-C 智能“復(fù)興號”動車組在京張高鐵實(shí)現(xiàn)時速350km 自動駕駛,不僅速度比普通列車快,而且車內(nèi)噪聲更小。我們用聲強(qiáng)I(單位:W/m2)表示聲音在傳播途徑中每平方米面積上的聲能流密度,聲強(qiáng)級L(單位:dB)與聲強(qiáng)I的函數(shù)關(guān)系式為L=10lg(aI),已知I=1013(W/m2)時,L=10(dB)。若要將某列車的聲強(qiáng)級降低30dB,則該列車的聲強(qiáng)應(yīng)變?yōu)樵晱?qiáng)的( )。

A.10-5B.10-4C.10-3D.10-2

解:由已知得10=10lg(a×1013),解得a=10-12,故L=10lg(10-12×I)=10(-12+lgI)。設(shè)某列車原來的聲強(qiáng)級為L1,聲強(qiáng)為I1,該列車的聲強(qiáng)級降低30dB 后的聲強(qiáng)級為L2,聲強(qiáng)為I2,則L1-L2=10(-12+

評析:對數(shù)函數(shù)作為一種基本的數(shù)學(xué)模型,在解決人們生活中的一些常見問題時有著廣泛的應(yīng)用。

三、合理選擇函數(shù)模型進(jìn)行擬合

這類問題,給出不同的函數(shù),要求利用已知信息選擇正確的函數(shù)模型,因此,要充分掌握它們各自不同的特性以及它們增長的差異性,并體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長緩慢等不同函數(shù)類型的含義。

例3 某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別是1萬件、1.2萬件、1.3萬件,為了估測以后每個月的產(chǎn)量,以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù),用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系,模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y=a·bx+c(其中a,b,c為常數(shù))。已知4 月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件,請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好,并說明理由。

顯然g(4)更接近于1.37,故選用y=-0.8×0.5x+1.4作為模擬函數(shù)較好。

評析:根據(jù)題意,該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y是月份x的函數(shù),可供選用的函數(shù)有兩種,哪一種函數(shù)確定的4 月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量愈接近于1.37萬件,哪種函數(shù)作為模擬函數(shù)就較好,故應(yīng)先確定出這兩個函數(shù)的具體解析式。

1.基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)。基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間。在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型I(t)=ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT。有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28,T=6。據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1 倍需要的時間約為( )。(ln2≈0.69)

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

2.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震,但科學(xué)家通過研究已經(jīng)對地震有所了解,例如,地震釋放出的能量E(單位:J)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M。據(jù)此推斷2008年5月12日我國四川省汶川地區(qū)發(fā)生里氏8.0 級地震所釋放的能量是2020年9月30日我國臺灣省宜蘭縣海域發(fā)生里氏5.0 級地震所釋放的能量的( )倍。

A.lg4.5 B.4.5 C.450 D.104.5