函數(shù)零點問題“大盤點”

■楊瑞強

函數(shù)的零點問題不僅是“零點存在性定理”的應用,而且綜合了函數(shù)性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多方面知識,是高考命題的主要內(nèi)容之一。一個復雜函數(shù)的零點(從函數(shù)視角認識)可以等價轉(zhuǎn)化為簡潔方程的實根(從方程視角認識),也可以等價轉(zhuǎn)化為兩個規(guī)范函數(shù)圖像交點的橫坐標(從圖像視角認識)。

一、函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷問題

例1 函數(shù)f(x)=log3x+x-2的零點所在的區(qū)間為( )。

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

解:(定理法)函數(shù)f(x)=log3x+x-2的定義域為(0,+∞),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,其圖像是一條連續(xù)曲線。由題意知

f(1)=-1<0,f(2)=log32>0,f(3)=2>0,根據(jù)零點存在性定理可知,函數(shù)f(x)有唯一零點,且零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)。應選B。

(圖像法)函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=log3x與h(x)=-x+2圖像交點的橫坐標所在的區(qū)間。作出兩個函數(shù)的圖像,如圖1所示。

由圖可知,函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)。應選B。

評析:判斷函數(shù)零點所在區(qū)間通常有兩種方法:①定理法,適用于容易判斷區(qū)間的端點值所對應的函數(shù)值的正負;②圖像法,適用于容易畫出圖像的函數(shù)。

二、判斷函數(shù)零點的個數(shù)問題

A.3 B.2

C.1 D.0

故函數(shù)f(x)共有2個零點。應選B。

(圖像法):畫出函數(shù)f(x)的圖像,如圖2所示。

圖2

由圖可知,函數(shù)f(x)共有2個零點。應選B。

評析:判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法:①方程法,令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點;②定理法,函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有幾個零點;③圖像法,畫出對應的兩個函數(shù)圖像,其交點的橫坐標有幾個不同的值,就有幾個不同的零點。

三、根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的問題

(2)函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個零點,即關于x的方程f(x)=-x-a有2個不同的實根,即函數(shù)f(x)的圖像與直線y=-x-a有2 個交點。作出直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖像,如圖3所示。

圖3

由圖可知,要使直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖像有2 個交點,需滿足-a≤1,解得a≥-1,即a∈[-1,+∞)。

評析:利用函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的三種方法:①直接法,根據(jù)題設條件構(gòu)建關于參數(shù)的不等式(組),解出即可;②分離參數(shù)法,先將參數(shù)分離,然后將原問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題;③數(shù)形結(jié)合法,畫出兩個對應函數(shù)的圖像,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等性質(zhì)求解。

四、根據(jù)函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)的問題

評析:根據(jù)函數(shù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)的兩種方法:一是轉(zhuǎn)化成方程根的分布問題,這時需要考慮四個方面,即①開口方向,②所給點的正負,③判別式Δ的正負,④對稱軸;二是轉(zhuǎn)化成方程有解問題,進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題。

提示:令t=f(x)。由f[f(x)]-a=0,可得a=f(t),畫出函數(shù)y=a與y=f(t)的圖像(如圖4)。

圖4

當a≥-1時,y=a與y=f(t)的圖像有兩個交點(當a<-1時,y=a與y=f(t)只有一個交點,不合題意)。

設交點的橫坐標為t1,t2(不妨設t2>t1),則t1<-1,t2≥-1。當t1<-1時,t1=f(x)有一解;當t2≥-1 時,t2=f(x)有兩解。綜上可知,當a≥-1 時,函數(shù)g(x)=f[f(x)]-a有三個不同的零點。故a∈[-1,+∞)。