指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的誤區(qū)警示

■方敏茹

下面對指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)解題中的高頻失誤點進行歸納剖析,希望幫助同學們突破這些易錯點,牢固掌握函數(shù)知識,逐步培養(yǎng)正確的數(shù)學思維能力。

誤區(qū)1:忽視指數(shù)函數(shù)中對底數(shù)的分類討論

剖析:題中將2x當作一個整體進行了換元,得到一個新的一元二次函數(shù),卻忽視了新參數(shù)的取值范圍。

正解:函數(shù)f(x)=4x+2x+1+2=(2x)2+2·2x+2(x≤0),令t=2x,0

警示:在利用換元法求函數(shù)值域時,經(jīng)過換元,所得函數(shù)的定義域發(fā)生了變化,因此要注意換元后函數(shù)的定義域為原變量的值域。

錯解:函數(shù)y=loga(2-ax)是由y=logau,u=2-ax復(fù)合而成。因為a>0,u=2-ax在[0,1]上是減函數(shù),而y=loga(2-ax)在[0,1]上是減函數(shù),所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知y=logau應(yīng)為增函數(shù),所以a>1。

剖析:題中雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,卻忽視了定義域的限制。單調(diào)區(qū)間應(yīng)該是定義域的子集,即函數(shù)應(yīng)在[0,1]上有意義。

正解:函數(shù)y=loga(2-ax)是由y=logau,u=2-ax復(fù)合而成。因為a>0,y=2-ax在[0,1]上是減函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知y=logau應(yīng)為增函數(shù),所以a>1。又u>0,即當x∈[0,1]時,2-ax>0,所以2-a×1>0,可得a<2。綜上可知,a的取值范圍是(1,2)。

警示:涉及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題應(yīng)注意兩點:一要注意函數(shù)的定義域,二要注意“同增異減”法則的應(yīng)用。

誤區(qū)5:混淆對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域與值域

例5 已知函數(shù)f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若函數(shù)f(x)的值域為(-∞,+∞),求實數(shù)a的取值范圍。

錯解:設(shè)t=(a2-1)x2+(a+1)x+1。因為f(x)∈(-∞,+∞),所以t>0。

警示:對數(shù)函數(shù)y=logax的值域為R時,必須保證函數(shù)的定義域恰好是(0,+∞),即x取遍所有正數(shù),也就是“真數(shù)取盡所有正實數(shù)”。

提示:由f(x)=f(x-1)-f(x-2),x>0,得f(x+1)=f(x)-f(x-1),利用方程組觀念得f(x+1)=-f(x-2),所以f(x)=-f(x-3),則f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即當x>0時,函數(shù)f(x)的周期為6。由已知得f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)= -1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,所以f(2011)=f(6×335+1)=f(1)=-1。