高考對對數函數性質的四種命題角度

■廖慶偉

對數函數的性質是每年高考的必考內容之一,多以選擇題或填空題的形式出現,難度中等。高考對對數函數的性質的考查主要有四種命題角度,下面舉例分析。

一、對數函數的定義域

例1 函數f(x)= lgx+log2(5-3x)的定義域是( )。

評注:求對數函數的定義域應遵循的三個原則:分母不能為0;根指數為偶數時,被開方數非負;對數的真數大于0,底數大于0且不等于1。

二、對數函數的單調性與奇偶性

例2 設函數f(x)=loga|x|在(-∞,0)上單調遞增,則f(a+1)與f(2)的大小關系是( )。

A.f(a+1)>f(2)

B.f(a+1)

C.f(a+1)=f(2)

D.不能確定

由函數f(x)=loga|x|在(-∞,0)上單調遞增得0f(2)。應選A。

例3 已知函數y=f(x)是周期為2的奇函數,當x∈[2,3)時,f(x)=log2(x-1)。現給出以下結論:①函數y=f(x)的圖像關于點(k,0)(k∈Z)對稱;②函數y=|f(x)|是以2為周期的周期函數;③當x∈(-1,0)時,f(x)=-log2(1-x)。

其中正確結論的序號是( )。

A.①②③ B.①②

C.②③ D.①③

因為f(x)是周期為2的奇函數,又奇函數的圖像關于原點(0,0)對稱,所以函數y=f(x)的圖像也關于點(2,0)對稱。當x∈[2,3)時,f(x)=log2(x-1),作出函數f(x)在(1,3)上的圖像,左右平移即得f(x)的圖像,如圖1所示。

由圖可知,f(x)關于點(k,0)(k∈Z)對稱,①正確。由y=f(x)的圖像可知其周期為2,由此易知y=|f(x)|的周期也為2,②正確。設0

評注:函數的奇偶性問題要在定義域上求解;函數的單調性問題可以在定義域或定義域的某個子區間上求解。

三、比較對數值的大小

例4 設a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,則a,b,c的大小關系是____。

利用指數函數和對數函數的單調性求解。因為a=60.4>60=1,0b>c。

評注:比較對數值的大小的三種方法:化為同底數后,利用函數的單調性進行比較;化為同真數后,利用圖像進行比較;借用中間量(0或1等)進行估值比較。

四、解簡單的對數不等式

評注:解對數不等式的常用方法:形如logax>logab的 不 等式,借 助y=logax的 單調性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0b的不等式,先將b化為以a為底的對數再求解。