新教材“數學探究”活動的教學實踐與思考
——以“用向量法研究三角形的性質”為例

周 潔

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程。數學探究活動是一項綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容之一，其一般步驟是：發現并提出有探究價值的數學問題；對有可能的數學結論進行合理的猜測；提出解決問題的思路或具體方案；運用所學的數學知識，通過自主探索或合作研究等方式，對提出的數學結論加以論證。

研讀新課標和新教材，可以理出三條線索——“數學文化”“數學探究”“數學建模”，它們既是貫通新教材的三條“暗線”，又是學生活動的三條“明線”。在新蘇教版教材中，正文部分的“探究”，習題部分的“探究·拓展”，章節末的“問題與探究”，為學生提供了豐富的探究素材。在新人教A版教材中，同樣在正文部分穿插了“探究”，在習題部分安排了“拓廣探索”，部分章節后設置了“探究與發現”欄目，引導學生獨立思考、自主探究、合作交流。筆者在一次活動中以“用向量法研究三角形的性質”為題進行了數學探究專題課的教學實踐，這里試作記述，以供參考。

一、學情與教材分析

聽講本課的學生來自一所普通高中新課程新教材實施國家級示范校，學生有扎實的學業基礎和較強的學習能力，具備數學探究的積極性和主動性。

本節課所用教材為新人教A版必修第二冊第六章“平面向量及其應用”，教材在章末以專題形式設置了3課時的“數學探究”專題活動，本課例為其中的第1課時。

三角形是最重要最基本的幾何圖形之一，三角形的性質非常豐富，是聯系各種幾何圖形的紐帶，也是培養邏輯推理能力、發展理性思維的最佳載體之一。初中階段，學生研究過三角形的一些基本性質，但還不夠深入。本章所學的向量集數與形于一身，每一種向量運算都有相應的幾何意義，因此以三角形為研究對象，用向量法對它的性質進行再研究，可以使學生在已有知識的基礎上，更系統地掌握三角形的性質，同時加深理解向量法在研究幾何問題中的作用，并且在這個過程中，使學生對“數學探究”活動形成較為完整的體驗。

二、教學目標

發展學生的數學核心素養是高中數學教學的導向，本節課教學目標的設置正是基于這一理念。通過創設合適的教學情境來啟發學生思考，引導學生從特殊到一般，歸納方法，把握本質。具體可分為以下三點：

①通過用向量法證明平面幾何中已學的三角形的性質，體驗向量法在證明幾何圖形性質中的作用；

②通過用向量法研究三角形性質的過程，歸納出用向量法研究幾何問題的一般步驟，體會數形結合的數學思想；

③通過用向量法對三角形其他性質的探究，體會探究活動的價值、合作交流的意義，進一步培養學生的邏輯表達能力，提升直觀想象、數學運算、邏輯推理、數學抽象等數學核心素養。

三、主要教學環節

課間播放3分鐘自制小視頻“勾股定理的證明”。

1.小試牛刀。

課前播放的小視頻中，我們欣賞了古今中外證明勾股定理的各種方法，結合本節課的課題“用向量法研究三角形的性質”，你會用向量法證明勾股定理嗎？（學生口答）

【設計意圖】三角形是平面幾何中最常見的圖形之一，其中最特殊的要數直角三角形，從學生熟悉的話題出發，營造輕松的探究范圍。用向量法證明勾股定理，只用到了向量的加法運算和數量積運算，學生可以初步體會到教材上的一句話——“有了運算，向量的力量無限”——的含義。

直角三角形中還有一些常用性質，例如：射影定理，斜邊中線定理等，你能用向量法證明嗎？

學生自主完成后，請代表上臺對照實物投影講解。

還記得用初中平面幾何的方法怎樣證明這兩個定理嗎？相比而言，你覺得向量法有沒有優越性？

【設計意圖】聚焦直角三角形，用向量法證明直角三角形中常用性質，對比初中證法，向量法無需添加輔助線，不需要太多定理的支撐，只要通過計算，就能得到結論，體會向量法在證明幾何圖形性質中的作用，激發學生探究的興趣。

2.溫故知新。

這樣的例子其實我們接觸了不少呢，請大家快速瀏覽教材第7-46頁的例題和習題，找一找哪些例子也能體現用向量法研究三角形性質的優越性。請你結合課本的例題、習題，談一談向量法在證明幾何圖形性質中的作用。

【設計意圖】向量是數形結合的完美載體，我們所學的各種向量運算都有相應的幾何意義。例如：向量的加、減法運算遵循平行四邊形法則、三角形法則，可以和平行四邊形、三角形建立聯系；數乘向量運算可以與直線的平行、線段的比例、圖形的相似建立聯系；向量的數量積運算可以與兩點間距離、夾角等建立密切的聯系。用“找一找”“議一議”的方式，引導學生思考在證明三角形性質的過程中用到了向量的哪些運算，各種運算的主要作用是什么。學生具有更多的選擇權、自主權是探究活動區別于接受式學習的重要特點，學生從被動到主動，從跟著老師的思路走向自主選擇、自主思考、自主探究，并在此基礎上進行合作與交流，獲得能力的提升。

思考：向量方法的意義何在？從這些例子中，你能總結用向量法研究幾何問題的步驟嗎？

在學生發言的基礎上概括用向量方法研究幾何問題的步驟：（1）轉化，即用向量表示幾何圖形中的幾何元素，如點、線段、夾角等，將平面幾何問題轉化為向量問題，建立“形”與“數”之間的聯系；（2）運算，即通過向量運算，結合運算的幾何意義，研究幾何元素之間的關系；（3）翻譯，即用向量運算的結果解釋幾何圖形中的關系，得到相應幾何問題的結論。

【設計意圖】由于向量能夠運算，因而它可以把原本較為復雜的思辨過程轉化為較為直接的運算過程，降低了思考問題的難度。通過用向量法研究三角形性質的過程，掌握用向量法研究幾何問題的一般方法，體會數形結合的數學思想。提升學生的數學素養，不是一句空洞的口號，而是要落實在具體的教學過程中。在數學探究活動中，學生需要充分調用已有的數學知識和方法，獨立自主地建構知識體系，才能解決問題，對學生的直覺思維能力、理性思維能力的提升都有非常積極的作用。

3.鞏固提升。

新人教A版第52頁復習鞏固第2題關注的是三角形外心、重心、垂心的向量表示。讓我們聚焦三角形的“心”，我們知道垂心是三條高的交點，重心是三條中線的交點，外心是三條邊的中垂線的交點，如果在同一個三角形中作出它的垂心、重心、外心，你有什么想法？

三角形的外心、重心、垂心三點共線，且重心到垂心的距離是重心到外心距離的兩倍。這一觀點是1765年萊昂哈德·歐拉在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出的，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線。

嘗試證明：在三角形ABC中，垂心H，重心G，外心O三點共線，且HG=2GO。

【設計意圖】除了用向量方法對已證的結論進行證明，我們還可以用向量方法證明以往未加證明或自己新發現的結論。在進行數學研究時，站在新的高度或從新的角度重新審視研究對象，選擇新的工具或新的方法再研究，往往可以加深對研究對象的認識，甚至可以有新的發現。在探究活動中，我們要鼓勵學生克服慣性思維，樂于接受新的挑戰，以持之以恒的探究精神，獲得積極的情感體驗，形成科學的思維方式。

4.課后探究。

布置探究作業：用向量法研究三角形的性質。方式：獨立探究、小組合作。成果展示：撰寫研究報告，現場匯報答辯。具體要求參看課本第65-66頁。

【設計意圖】鼓勵學生利用課余時間開展數學探究活動，其過程包括提出數學問題、解決數學問題、得到相關結論、總結反思改進。課題研究能有效激發學生的創造潛力，對培養學生的探究意識和探究能力有著積極的作用。

四、案例反思與啟示

數學家波利亞指出，學習任何知識的最佳途徑是自己去發現，因為這種發現理解最深，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。新教材為我們提供了豐富的開展數學探究活動的素材，如能用好這些素材，精心設計適合學生的數學探究活動，不僅能夠激發學生的學習興趣，還能培養學生的思維能力，而且對培養學生的創新意識，提升數學核心素養會起到積極有效的作用。

1.精選探究問題，引領探究活動。

作為探究載體的問題來源可以有多種途徑，既可以利用現有的資源，如教科書、教學參考書、專業網站等，由教師篩選、設計、提供，還可以是動態的生成性的問題，如學生在生活或學習中提出的問題，解決已有問題后提出的拓展性問題等。教師常常以問題串的形式引領學生的探究活動，問題串的設計要有一點的難度和梯度，要有思維含量。

2.創造探究條件，指導探究方法。

除了課堂上的探究，還可以適當利用“綜合實踐活動”的課時，或結合學生的研究性學習，鼓勵學生利用課余時間開展數學探究活動。在學生開展探究活動時，教師要注意了解學生活動的進展，并在發現值得研究的數學問題、建構探究的思路、形成解題的方法等方面加強指導。課余指導學生調用不同的數學知識解決問題，通過對問題的拓展、推廣等，發現更多的數學問題，獲得更多的數學結論。對于初次進行數學探究課題研究的學生，教師應在選題、開題、做題、結題等各環節進行較為具體的指導。

3.多元探究評價，鞏固探究成果。

對于學生的數學探究活動，無論是評價的主體還是評價的角度都應是多元的。首先，要引導學生自我評價，尤其是對探究過程的反思與評價。其次，可以引導同伴間相互評價，通過交流與分享，修正、改進、完善探究的成果。通過多元的探究評價，可以使學生積累探究活動的經驗，學會如何提出觀點，如何發表意見，如何開展團隊合作，從而培養學生的探究能力和數學素養，并激勵學生以更加飽滿的熱情投入到新的數學探究活動中，提升探究效果，鞏固探究成果。