導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用舉例

張倩瑤，黃 星

(南陽職業(yè)學(xué)院，河南 南陽 474500)

在生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)技術(shù)中，為了在一定條件下提高生產(chǎn)效率、降低成本、節(jié)約原料，常常需要調(diào)整方案，使方案最優(yōu)化，這時(shí)就會(huì)應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)知識(shí)，最大限度地節(jié)約人力、物力，以取得最好的效果。最優(yōu)化問題的最簡(jiǎn)單類型是求目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

函數(shù)的最大(小)值會(huì)隨著其定義域的不同而差別較大。由已知定理可知，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值，這是存在定理，并沒有提供求法。而函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大(小)值是指在整個(gè)區(qū)間上的所有函數(shù)值的最大(小)者，因而最大(小)值是全局性概念。和極值不同，極值只是函數(shù)在一點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的最大(小)值，極值是一個(gè)局部性概念。但若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的一點(diǎn)達(dá)到最大(小)值，那么這個(gè)最大(小)值同時(shí)也是極大(小)值。此外，函數(shù)的最大(小)值還有可能存在于區(qū)間的端點(diǎn)，因此，求閉區(qū)間(a，b)上連續(xù)函數(shù)f(x)的最大值和最小值的一般步驟如下：

(1)找出(a，b)內(nèi)f(x)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，設(shè)為x1，x2，…，xn；

(2)比較f(a)，f(x1)，f(x2)，…，f(xn)，f(b)；

2 最大值和最小值應(yīng)用問題舉例

例1：鐵路線上AB段的距離為100 km，工廠C距A處20 km，AC垂直于AB(如圖1所示)。為了運(yùn)輸需要，要在AB線上選定一點(diǎn)D，從D向工廠C的方向修筑一條公路。已知鐵路上每噸千米的貨運(yùn)費(fèi)用與公路上每噸千米的貨運(yùn)費(fèi)用之比為3：5，為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C每噸貨運(yùn)的總費(fèi)用最省，問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？

圖1Fig.1

注意：在實(shí)際問題中，若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)只有一個(gè)可能極值點(diǎn)x0(駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn))，而實(shí)際問題本身又知f(x)在定義域內(nèi)一定有最大(小)值，則f(x0)即為最大(小)值。

例3：欲建一座底面是正方形的平頂倉庫，設(shè)倉庫容積是1 500 m3，已知單位面積倉庫的造價(jià)是四周墻壁造價(jià)的3倍，求倉庫底的邊長(zhǎng)和高，使總造價(jià)最低。

解：設(shè)底邊長(zhǎng)為x米，高為y米，墻壁造價(jià)q元/m2，總造價(jià)為ω元。

3 結(jié)語

通過求導(dǎo)的方法能夠解決實(shí)際生活中的最大值和最小值問題，使問題更簡(jiǎn)單化，易于人們理解，具有實(shí)際意義。