核心素養背景下函數周期性的教學與思考

◎丁春年

(甘肅省武威第十八中學，甘肅 武威 733000)

2020年4月，甘肅省武威市教育科學研究所在我校舉辦了以“立足教材資源，提升核心素養”為主題的教研活動，筆者做了“函數周期性的教學與反思”的報告，得到了與會專家的點評.結合專家的點評，筆者對函數周期性的教學進行了深入思考，進而對核心素養背景下的數學教學產生了一些感悟.

《義務教育數學課程標準》對函數的周期性給出了具體的要求：以三角函數為依托，了解函數的周期性，并理解其幾何意義.《義務教育數學課程標準》中對函數周期性的定位雖然是“了解”，但對函數周期性概念的建構過程卻不是一個簡單的“了解”就能達到的，這是因為函數周期性的建構不僅蘊含了豐富的數學思想，而且有利于培養學生的數學素養.因此，在函數周期性概念的教學中，教師不僅要讓學生深刻理解函數周期性的概念，而且要幫助學生打通函數的周期性、奇偶性以及函數圖象的對稱性的關節點，進而突破學習的難點.

1 回歸教材，溯源函數周期性的概念

函數的周期性概念和函數的奇偶性概念有著相同的建構過程，它們都是先通過對一些現實世界中的自然現象進行抽象，再結合一些具體的函數進行概括而形成的數學概念，但它們在教材中的出現卻不是同步的.函數的奇偶性概念的給出較早，它在函數的概念之后就粉墨登場了，而函數周期性概念的給出比較滯后，可以說有點“姍姍來遲”，給人以“猶抱琵琶半遮面”的感覺，教材這樣安排有其深意，這是由于函數周期性概念的理解相對于函數單調性、奇偶性概念的理解有一定的難度.函數周期性的概念是抽象的，學生在學完函數的概念及其性質之后，雖然在頭腦中已然扎了一些具有周期現象的生活實際的“根”，但又苦于沒有與此對應的具體函數佐證，這樣的“根”就不會發芽.在初次接觸函數的概念及性質時，學生對基本初等函數的認知較少，這些具體的函數不具有周期性.而在學習正弦函數、余弦函數時，學生才通過正弦曲線、余弦曲線的變化規律體驗了函數的周期性.通過具體函數的周期性抽象出函數周期性的概念，符號學生的認知規律，也體現了《義務教育數學課程標準》對周期性概念的學習要求.

2 回歸教材，解讀函數周期性的概念

教材中函數周期性概念的給出凸顯了學生對概念理解的認知規律；展示了以教材內容為素材，培養學生核心素養的理念.首先，在“三角函數”這一章的開篇就給出了一些具有周期性變化的自然現象，通過這些自然現象的引導，學生會不自覺地聯想到自己身邊的許多具有周期性的自然現象和社會現象，這樣安排的目的是給予學生觀察周圍世界的數學眼光.其次，從任意角的三角函數的定義來看，在一條射線繞其端點旋轉的過程中，會定義不同的三角函數值.以正弦函數為例，在一條射線從起始位置旋轉一周的過程中，產生了無數個正弦函數值.當這條射線繼續旋轉時，正弦函數值會循環出現，這種奇妙的數學現象反映了正弦函數的周期性.正弦函數的此種變化規律用數學語言刻畫就是誘導公式sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z,此處凸顯了以數學語言描述問題的核心素養.最后，認識正弦函數f(x)=sinx的圖象，通過正弦函數的圖象，其周期性一目了然.為使學生能通過具體的正弦函數值的變化規律抽象出一般函數周期性的概念，教師在教學中可進行如下問題設計：

問題1 根據誘導公式sin(x+2kπ)=sinx，對于正弦函數f(x)=sinx，自變量x每增加一個常數2π時，其函數值有怎樣的變化？

問題2 觀察正弦曲線在區間[0,2π]內及區間[2π,4π]內的圖象，你有什么發現？

設計意圖 問題1：從學生熟悉的誘導公式入手，通過閱讀數學表達式中的數學語言，回想正弦函數的定義過程，學生能真正體驗簡練的數學語言所表達的無窮魅力，進而提升學生的數學語言素養.同時，學生的頭腦中也能根植函數周期性概念的抽象形式：f(x+T)=f(x).

問題2：從學生熟悉的正弦曲線入手，讓學生從“形”的角度體驗正弦曲線在每間隔長度為2π的區間上重復出現，讓學生直觀感受正弦函數的周期性.

對于函數周期性定義式f(x+T)=f(x)的抽象，我們認為可結合誘導公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)、奇函數及偶函數的定義式進行數學抽象.類比奇函數、偶函數的定義，進行如下教學設計:

如果函數f(x)對于其定義域內的每一個值，都有：

f(-x)=-f(x)，那么f(x)叫做奇函數；

f(-x)=f(x)，那么f(x)叫做偶函數；

f(x+T)=f(x)，其中T是非零常數，那么f(x)叫做周期函數.

3 超越教材，探究函數周期性的概念

教材只給出了周期函數的定義式，但函數的周期性與函數的其他性質又有怎樣的聯系呢？基于對周期函數的圖象特征的考量，函數的周期性概念教學在正、余弦函數的性質時首次亮相，而對稱性是正、余弦函數的圖象所固有的，它們之間有何關系呢？由于教材的篇幅所限，這些問題在教材中沒有具體回答，因而給我們留下了可以進行深入探究的空間.經過探究，筆者發現了以下結論：

推論1若曲線f(x)關于直線x=a及x=b對稱，則函數f(x)為周期函數，其中T=2|a-b|為f(x)的一個周期.

證明依題意，有f(a+x)=f(a-x).

以a-x代替x得f(x)=f(2a-x).

同理，f(x)=f(2b-x)

所以f(2a-x)=f(2b-x).

以2a-x代替x得f(x)=f(x+2b-2a).

因此，函數f(x)為周期函數，其中T=2|a-b|為f(x)的一個周期.

評析曲線f(x)關于直線x=a及x=b對稱，即滿足f(a+x)=f(a-x)及f(b+x)=f(b-x).也就是說，若一個函數的圖象關于兩條直線對稱，則此函數是周期函數，并且這兩條對稱軸間的距離為函數周期的二分之一.

推論2若函數f(x)為偶函數，且滿足f(a+x)=f(a-x)(a為非零常數)，則函數f(x)為周期函數，其中T=2a為f(x)的一個周期.(證明略)

評析推論2實際上是推論1的一個特殊情況.由于函數是偶函數，因此其圖像自身就有一條對稱軸.但是，推論2卻揭示了函數的周期性與奇偶性之間的關系，給函數的性質間搭建了聯系的橋梁，也給命題者在命制函數試題時提供了命題點，因此，推論2是解決與函數周期性有關的題目的有力工具.

推論3若函數f(x)的圖象關于點(a,0)，(b,0)對稱，則函數f(x)為周期函數，其中T=2|a-b|為f(x)的一個周期.

證明：因為函數f(x)的圖象關于點(a,0)，(b,0)對稱，所以f(2a-x)=-f(x)，f(2b-x)=-f(x).

所以f(2a-x)=f(2b-x).

以2a-x代替x得f(x)=f(x+2b-2a).

因此，函數f(x)為周期函數，其中T=2|a-b|為f(x)的一個周期.

評析函數f(x)的圖象有兩個對稱中心，類比正弦曲線的特性，這兩個對稱中心間的距離為函數周期的二分之一.

推論4若函數f(x)為奇函數，且圖象關于點(a,0)對稱(a為非零常數)，則函數f(x)為周期函數，其中T=2a為f(x)的一個周期.(證明略)

評析推論4是推論3的特例.由于函數是奇函數，其圖象自身關于原點對稱.推論4和推論2結合起來，是對函數的奇偶性與周期性關系的完美詮釋，體現了數學知識之間的相互滲透、相互交融，充分展示了數學之美.

推論5若函數f(x)的圖象關于點(a,0)及直線x=b對稱，則函數f(x)為周期函數，其中T=4|a-b|為f(x)的一個周期.

證明：由已知得f(2a-x)=-f(x)，f(2b-x)=f(x).

所以f(2a-x)=-f(2b-x).

以2b-x代替x得f(2a-2b+x)=-f(x)，

以2a-2b+x代替x得f(4a-4b+x)=f(x).

因此，函數f(x)為周期函數，其中T=4|a-b|為f(x)的一個周期.

評析函數f(x)的圖象有一個對稱中心和一條對稱軸，類比正弦曲線的特性，對稱中心到對稱軸的距離為函數周期的四分之一.

4 結論應用

例1設f(x)為定義在實數集R上的偶函數，且它的圖象關于直線x=2對稱，已知當x∈[-2,2]時，f(x)=-x2+1，求x∈[-6,-2]時，函數f(x)的解析式.

解析由推論2可知函數f(x)是周期函數，且周期為4.

因為當x∈[-6,-2]時，x+4∈[-2,2]，

所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1，

即f(x)=-(x+4)2+1.

評析本題是利用周期性求函數解析式的問題.利用函數的周期性，根據函數在一個周期內的解析式，可以求出函數在另一個周期內的解析式，甚至求出整個定義域上的解析式.此外，本題也給出了除三角函數以外的周期函數，有利于學生認清周期函數的面目.

例2已知f(x)是定義域為R的奇函數，滿足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解析因為f(0)=0,f(1)=2，所以由推論5可知函數f(x)是周期函數，且周期為4.所以f(0)=f(2)=f(4)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.

因此f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=2，故選C.

評析本題是一道高考題目.解答此題的要點就在于破題，粗看，函數是抽象函數，沒有具體的解析式，因而增加了解題的難度；細看，由于此題所求的是50個函數值的和，因此，函數應該是周期函數，所以要從周期性出發破題，根據函數是奇函數，再由對稱性，經過簡單的推理，很容易求出周期，從而使問題獲解.

5 教學反思

5.1 回歸教材，深入挖掘教學資源

教材中蘊含著豐富的教學資源.首先，教材在每一章內容的開篇都給出了一些資料，其作用是提出與本章相關的一些問題，點明為什么要學習本章內容，學習本章內容可以解決一些什么問題.例如，在“三角函數”一章中，開篇給出了具有周期性的一些自然現象，有時間方面的，也有空間方面的.雖然這些現象是學生熟知的，但作為教師，要切實了解學情，對于每一個學生的知識儲備、認識問題、理解問題的情況有一個大致的掌握.因此，對于“三角函數”這一章開篇提出的問題，教師可以讓學生事先預習，并對照自己的生活經驗以及對周圍事物的觀察，以數學的眼光審視周圍具有周期性的各種現象.這樣一來，每一個學生都會有不同的觀察所得，也都會有不同的體驗，如此便可以將周期現象根植于每一個學生的腦海里，進而真正培養學生的數學素養.其次，要深入挖掘教材的習題資源.教材習題中的一部分是基礎題，這些題目的設置，鞏固了學生所學的知識，還有一部分題目看似安排隨意，實則暗藏玄機，它起到了擴展教材內容的作用.因此，對于如此現成的資源，我們不能隨意浪費，要合理利用，這樣可以極大地調動學生探求知識的積極性，進而培養學生的數學素養.

5.2 數學抽象，凸顯數學概念本質

數學抽象是高中數學的核心素養.高中數學中的每一個概念都是通過具體的實例抽象出來的.例如，函數的單調性概念，就是通過研究一些具體的函數，對這些函數共有的表現形式進行數學抽象而得出的.函數的周期性概念的抽象更是如此，是借助三角函數的圖象進行抽象的.這種圖象特征與學生頭腦中事先存儲的那些具有周期性的現象相互交匯，為學生的數學抽象奠定了基礎，也就是說，學生先前“植于”腦海中的周期現象的“根”，經過直觀的函數圖象滋潤，將會發出周期函數概念的“芽”.教材中對周期函數的定義式f(x+T)=f(x)的給出顯得突兀，沒有推導這個定義式，這就需要教師的引導.此時，學生頭腦中已有的一系列三角函數的誘導公式就成了教師引導學生的“誘導劑”，也是學生進行數學抽象的“助推器”，有了這些“誘導劑”或“助推器”，學生才能順利完成周期函數定義式的數學抽象.學生在周期函數定義式的數學抽象過程中，要尋找一個與定義式相似的具體形式，這個定義式的具體形式之一就是三角函數的誘導公式sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z.至此，函數的周期性概念完成了從特殊到一般，從具體到抽象的過程，這樣的抽象過程，一方面可以揭示數學概念的實質，另一方面可以培養和發展學生的數學抽象素養.

5.3 高于教材，升華數學概念內涵

教材中的每一個數學概念的得出都不是突如其來的，對于任何一個數學概念，教材都給出了與此概念有關的各種素材，借助這些素材，學生能對數學概念有一個初步的認知，并在此基礎上，能利用概念解決一些簡單的問題.但對概念的理解并不能僅僅停留在對概念的表層理解上，而要對概念進行更深層次的理解，只有這樣，才能深刻把握概念的內涵.例如，在函數的周期性概念的教學中，如果僅僅理解了周期函數的定義式，就認為理解了函數的周期性，那么這樣的教學不是深入的教學，它會導致學生對周期函數概念的理解僅僅停留在周期函數的符號表達式上，即便如此，周期函數的定義式有若干個不同的等價形式，如：f(x+a)=f(x-a)，f(x+a)=-f(x) 等，學生是否能通過適當的邏輯推理來證明其周期性呢？另外，以三角函數的誘導公式為具體形式抽象出周期函數的定義式，學生會誤認為只有三角函數是周期函數，其他函數都不是周期函數.為消除這種誤解，教師可以舉一些三角函數以外的周期函數，這樣便可使學生消除誤解，進而達到深刻理解周期函數概念內涵的目的.

6 結束語

數學概念教學的終極目標是幫助學生透徹理解概念，并能利用概念解決相關問題.如何將抽象的數學概念納入學生的認知系統是一個值得認真反思的問題.數學概念教學的落腳點是課堂教學，在課堂教學中，教師要將概念的教學動態化，而不是靜態地呈現教材中的概念表述，這既有利于學生理解概念，也有利于學生的全面發展.這樣的教學，才是有效的教學.