淺談大學生數學建模競賽心得

◎陳 劭

(中國農業大學信息與電氣工程學院，北京 100083)

數學建模是根據實際問題建立數學模型，并利用數學模型求解問題，是當代解決實際問題的重要手段.

目前，中國比較認可的大學生數學建模競賽主要有“高教社杯”全國大學生數學建模競賽(簡稱國賽)、美國大學生數學建模競賽(簡稱美賽)、華中地區大學生數學建模邀請賽、數維杯全國大學生數學建模競賽等.特別是前兩個競賽，參與的大學生團隊非常多，含金量也比較高.高教社杯全國大學生數學建模競賽是全國高校規模最大的課外科技活動之一，該競賽創辦于1992年，每年一屆，九月舉行，是首批列入高校學科競賽排行榜的19項競賽之一.美國大學生數學建模競賽，由美國數學及其應用聯合會主辦，是唯一的國際性數學建模競賽，也是世界范圍內最具影響力的數學建模競賽.我多次參與數學建模競賽，有校級的、國家級的，也有國際級的，都獲得了好成績.這里我就自己的參與經歷，淺談大學生數學建模競賽的心得.

一、建模前期準備

良好的開端，等于成功的一半，建模前期準備工作的充分與否，直接影響后續建模的成敗.準備工作主要有以下兩個方面：

(一)隊友選擇

一個好的團隊，他們的凝聚力、戰斗力勢必非常強大.選擇隊友的面很廣，可以是你相同專業的同班級同學，也可以是不同班級不同專業甚至是不同年級的同學，只要是同一個學校的都可以自由組合.聯系的渠道很多，原來認識的同學，可以直接溝通探討，不認識的同學也可通過在一些公共社群發出招賢合作信息，例如在學校的數學建模群(大學里面一般都會開設數學建模的群)里投發自己的意愿，招納合作人士.在建模組隊、選擇合作伙伴時，要注意：

1.隊友要有高度責任感.這是數學建模競賽非常關鍵的因素.建模是一項團隊合作的項目，必須同心同德，不可出現責任不強或者想搭便車的人.

2.組隊時，可以男女搭配，但盡量不要出現情侶關系.數學建模過程是很辛苦的，團隊中有異性伙伴，對團隊的互相激勵有很大的作用，但最好不要有情侶關系的同伴，因為建模團隊多數是3人，若其中有兩人是情侶關系，另外一個隊友可能會比較尷尬，影響戰斗力.

3.適當考慮個人的特長，合理組合.隊伍中最好有一個擅長編程的人，有一個寫作能力強的人，在參加美國數學建模競賽時，可以適當考慮加入一位外語較強的隊友.

(二)賽前訓練

賽前訓練對于正式建模的進度效率影響很大，相當于陣前磨刀.最重要的是對算法模型的熟悉理解，知道它們能用于哪些問題，能解決什么方向的問題.三個人都應該掌握，不能把希望寄托在其他人身上，因為在這種需要靈感的學術研究中，多一份智慧，可能就會有意想不到的收獲.

團隊一起訓練時，可以找往年的賽題.可能有些人覺得，每年賽題都不一樣，訓練的題目也不可能是今后比賽項目，做了也是浪費時間.但我認為，團隊訓練是非常重要的，通過訓練，可以加強團隊間的默契程度.通過團隊一起反復演練，很多細節分工，合作問題會暴露出來.比如在賽中，通常是要花一天的時間確定選題、收集材料，理清每個小問題的大致框架，把可能的解題思路列出來，最終形成的論文篇幅很大，若是沒有分工，到最后時間可能來不及；在美賽中，通常安排一位英語較強的隊員負責文章寫作，另外兩個隊員負責編程建模.那么在還沒有清晰思路的情況下，這位負責英文寫作的隊員又該做些什么呢？這些分工細節，如果沒在賽前多演練，上場時可能就會手忙腳亂.

二、建模思路要點

(一)簡化題干，明確關鍵詞

比賽時，建模時間非常緊迫.團隊收到賽題后，就會開始著手分析賽題.在此我強烈建議，大家收到賽題后，先把比賽題目打印下來，然后用不同顏色的筆，把題干進行簡化，把關鍵詞圈起來，這個細節貌似微不足道，但卻可以使團隊始終保持明確的目標方向.因為當大家剛拿到數學建模題目的時候，一般是沒有思路框架的，思路跳躍很大，想到什么，就會去查找相關資料，而資料查多了，頭腦會出現混亂，甚至會忘了到底要找什么，忘了目標是什么.簡化題干，明確關鍵詞，并時刻擺在眼前，能夠讓你在尋找答案時不忘初心，在解決問題時更具有針對性.

(二)從關鍵詞入手，尋找最佳方案

在關鍵詞明確后，團隊就可以著手探討解決問題的方案.在方案初步選擇中，我們往往會被直觀的假象所迷惑，從而選擇難做的方案，甚至走進思路的死胡同.所以在探討方案時，大家要根據關鍵詞，分析問題的意圖，頭腦風暴，各抒己見，從不同的角度構建出多個不同的模型，從中選出最優方案.

以2017年第十屆華中地區大學生數學建模邀請賽D題為例，該題以香菇分類作為背景，要求實現對花紋混雜的香菇進行自動分揀.其中第一問是：

確定一種方法，快速定位如下圖片(圖1、圖2和圖3)中香菇的位置.

圖1 A類香菇圖2 B類香菇圖3 C類香菇

此題中“位置”便是題目中最重要的關鍵詞.如何理解“位置”的含義呢？可能有些同學認為眼睛看到的位置就是“位置”，但是事實上自動分揀是靠機器來識別的，它是依據接收到的數據來判斷的，所以我們需要建立一個數學模型，讓機器接收合理的數據.剛開始，我們想著利用香菇在圖片中所占的像素的坐標來表示位置，但是香菇的面積太大，像素坐標太多，定位起來太過麻煩.若通過某種手段能把香菇所在區域的上下左右四條邊界線找出來，四條邊界線圍成一個小方框(如圖4、5、6所示)，那么利用小方框四個角的點坐標表示香菇的“位置”，就相對簡潔多了.

圖4 A類香菇圖5 B類香菇圖6 C類香菇

第二問是：

根據香菇表面紋理的不同，選取適當的指標建立相應的數學模型，識別A型和B型香菇(題目中包含附件，里面包含許多A、B類型香菇的圖片)，并討論模型的效果.

這一問題的關鍵詞是“識別”，要求我們要建立數學模型來識別，而數學模型是要根據相應指標建立的.那么A、B這兩種類型的香菇，有什么區別呢？從直觀上看，A香菇有較多的明顯的白色條紋，若從這一特征著手識別，顯而易見，條紋越多，它的邊界就越多，那么我們可以通過條紋大小對兩種香菇進行區分.然而，我們換一種思路考慮，條紋越多也意味著條紋面積越大，所以也可以通過條紋面積進行區分.相比之下，后面這種方案準確率會更高.

(三)重視建模邏輯性，大膽假設

在三、四天之內讓大學生想出一個萬全的、具有真正可行性的建模方案，這本身就是非常困難的事，所以不要因為考慮到的因素不周全就失去信心.我們建立的數學模型，必定要選一些重要因素作為假設基礎，并忽略一些次要的因素，沒有辦法做到盡善盡美.甚至有些時候，雖然你提出的方法并不實用，但是只要你擁有合理的邏輯，做出合理的假設，能夠自圓其說，就達到建模的目的了.

以2020年美賽D題為例，題目提供了上個賽季某支球隊的具體信息，包括每場比賽每個球員的傳球情況，以及每一場比賽的勝負情況等.第一題的要求如下：

Create a network for the ball passing between players，where each player is a node and each pass constitutes a link between players.Use your passing network to identify network patterns，such as dyadic and triadic configurations and team formations.Also consider other structural indicators and network properties across the games.

這一題目，我們想到利用足球隊較為固定的陣型，球員之間的站位大概率相對固定的現象，大膽假設一場比賽該球隊陣型不會發生較大的改變.但其實看過足球賽的人都知道，球場上的局勢是千變萬化的，很少會出現整場比賽局勢、位置一直不變的情況.然而我們通過大概率的大膽假設，就可以利用圖論知識來構建網絡.可以看到，雖然我們的模型并不一定真正具有可行性，但是它有合理的邏輯，因此所建立的模型也就有一定道理了.

三、建模論文寫作要點

(一)摘要清晰，高度概括

摘要在數學建模論文撰寫中起著舉足輕重的作用，一篇好的摘要會讓老師眼前一亮.老師評閱一篇論文的時間一般不會很長，如果他通過摘要就能夠清晰地知道你是在什么平臺，運用什么模型，用了什么方法來解決這些問題，那么當老師閱讀你們的論文正文時，就會比較清楚該論文的脈絡.

(二)布局合理，方便評閱

排版布局的合理與否，會直接影響老師的評閱心情.作為參賽者，應考慮老師評閱論文的方便性.所以在文章排版布局上，要美觀大方，層次分明，邏輯清晰.

(三)論文數據，直觀可視

建模論文篇幅較大，若相關數據都很生硬地羅列在文章內，老師評閱的時候會很麻煩，因此數據可視化分析是一件非常有必要的事情.有時候一張圖就能夠讓老師了解到你在做什么，避免了冗雜的文字，也會讓老師對論文的好感度大幅提升.

(四)所建模型，經得起驗證

通過驗證模型，可以大大增加結論可信度.老師在短短的評閱時間內，不一定能完全清楚你做的模型是否合理，而通過檢驗，讓模型更有說服力，老師就會更加認可你的模型.

以2020年“高教社杯”全國大學生數學建模競賽A題為例，該題以電焊爐為背景，電焊爐如圖7、圖8所示.爐內有多個溫區，通過設定爐中不同溫區溫度和傳送帶過爐速度，可以使得焊接區域在入爐后有不一樣的溫度變化情況.第一問(其中的一部分)是：

圖7

圖8

請對焊接區域的溫度變化規律建立數學模型.假設傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區溫度的設定值分別為173 ℃(小溫區1～5)、198 ℃(小溫區6)、230 ℃(小溫區7)、257 ℃(小溫區8～9)和25 ℃(小溫區10～11)，請給出焊接區域中心的溫度變化情況，并畫出相應的爐溫曲線，并將每隔0.5s焊接區域中心的溫度存放在提供的result.csv中.

對于這道題，我們可通過題目的已知條件，利用牛頓冷卻定律求解出合理公式.但是我們怎么知道對不對呢？于是我們利用題目所給出的已知數據條件，將一個個單點數據繪制成一張圖，再與公式求解出的曲線在同一張圖上作對比，可以發現有很好的擬合效果.最后，我們通過計算相關指數，發現值接近于1，從而深度驗證了模型公式的準確性.

四、其他

很多沒有參加過建模的同學看到獲獎比賽的論文會感到高不可攀，覺得里面用了非常高端的模型.事實上，那些看上去很難的算法，一般都是別人已有封裝好的資源，或者寫好的代碼.你需要做的就是在建模時找到這些方法，能夠在網上找到資源進行套用，根據具體的題目進行分析和修改.

另外，數學建模競賽是三人組隊，隊員之間需要相互信任，充分展現協作能力，發揮團隊精神.競賽要求我們在短短的比賽時間里完成選題、建模和求解，還要寫出完整的學術論文，這是一個很大的挑戰，必須集三人之合力，匯集大家的智慧和能力，才能交出一份優秀的答卷[1].建模過程中，最好是建模與寫作并行，切忌最后一天才開始寫作.如果是美賽，最好兩個人一邊建模一邊寫中文論文，另一個人同時翻譯.

五、總 結

大學生數學建模競賽，在短短的三到四天的時間里，僅靠一個人的努力是很難完成一篇學術論文的.因此在組隊時，要找到合適的人選，隊員的團隊意識和合作意識要非常強.參加建模比賽，對大學生的創新精神有很大的提升作用，同學們會想辦法解答出最優方案，很好地鍛煉了學生的思維能力和創新意識，不僅能夠拓寬大學生的視野，也能很好地提高個人的建模能力和水平，是一個非常好的鍛煉機會.另外，數學建模還有助于解決生活中的問題，對大學生的未來科研也有著重要影響.若能在參賽中獲得名次，還可以獲得一些榮譽.當然，數學建模的過程是非常辛苦的，常會有“山重水復疑無路”的感覺，但只要堅持團隊合作，總會柳暗花明的.希望我的淺薄之談，能對準備參加建模的同學有一些啟發.