B2到B9的某類5次逆緊全純映照

◎彭 勃 王麗欣

(吉林師范大學(xué)，吉林 四平 136000)

1906年Hartogs發(fā)現(xiàn)，球環(huán){(z1,…,zn):r2<|z1|2+…|zn|22)上的逆緊全純映照是線性嵌入[2]；1982年，J.Faran對(duì)B2→B3的部分逆緊全純映照進(jìn)行了分類，證明具有三次連續(xù)可微邊界的B2→B3的逆緊全純映照等價(jià)于Whitney映照或者另一種簡(jiǎn)單映照[3]；1999年，X.Huang證明出具有二次連續(xù)可微邊界的Bn→BN(n>1,N≤2n-2)上的逆緊全純映照等價(jià)于線性嵌入[4]；2006年，Z.Chen，S.Ji和D.Xu研究了B2→BN上的二次逆緊全純有理映照的分類結(jié)果[5]；2009年，S.Ji和Y.Zhang證明了任意B2→BN上的二次逆緊全純有理映照等價(jià)于B2→B5上的二次逆緊全純有理映照[6]，至此，B2→BN上的二次逆緊全純有理映照的分類問題得到解決.因此，構(gòu)造出更高次的逆緊全純有理映照是必要的.

1 定義

1.1 有界域[7]

1.2 單位球[7]

設(shè)a=(a1,…,an)∈n,ρ>0，稱是以a為中心，ρ為半徑的球.當(dāng)a=0,ρ=1時(shí)，稱是單位球，稱?Bn={(z1,…,zn)∈n:|z1|2+|z2|2+…+|zn|2=1}為相應(yīng)的球面.

1.3 全純映照[8]

1.4 逆緊映照[9]

設(shè)X,Y是拓?fù)淇臻g，連續(xù)映照f:X→Y是逆緊的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意緊集K?Y，f-1(K)在X中是緊的.

1.5 逆緊全純映照[9]

設(shè)Ω,Ω′是有界域，映照f:Ω→Ω′是全純的，且是逆緊的，則f:Ω→Ω′是逆緊全純的.

1.6 逆緊全純有理映照[9]

1.7 張量積[8]

2 引理

引理2.1[8]設(shè)Ω?n，f:Ω→N和g:Ω→BM是逆緊全純映照，f的值域可直和分解為BN=A⊕A⊥，且dimA=a(1≤a≤N-1),dimA⊥=N-a,dimN=N，dimM=M，那么映照E(A,g)(f)=(fA?g)⊕fA⊥為Ω到a(M-1)+N的逆緊全純映照.

證明顯然E是全純的.接下來證明E是逆緊的，令|z|→1，則|g|2→1，從而|E|2=|fA|2|g|2+|fA⊥|2與|fA|2+|fA⊥|2=|f|2有相同的極限.又因?yàn)閒是逆緊的，所以|E|2→1，因此E是逆緊的.

引理2.2[3]設(shè)f:B2→B3是一個(gè)具有三次連續(xù)可微邊界的逆緊全純映照，則f等價(jià)于下述映照的其中之一：

引理2.3[10]若f:B2→B4是一個(gè)單項(xiàng)式逆緊映照，則f等價(jià)于下列映照之一：

3 構(gòu)造

根據(jù)引理2.1，利用B2到B3和B2到B4的逆緊全純映照，我們構(gòu)造出部分B2到B9的次數(shù)為5的逆緊全純映照.

情形1：設(shè)f(z,w)=(z,zw,w2)，選取由(1,1,0)生成的子空間作為A來分解f，應(yīng)用上述B2到B4的逆緊全純映照的顯式表達(dá)式，利用映照E(A,g)(f)=(fA?g)⊕fA⊥進(jìn)行計(jì)算，得到

(3)當(dāng)f(z,w)=(z,zw,w2),g(z,w)=(z3,z2w,zw,w)時(shí)，

E(A,g)(f)=u3(z,w)=(z4,z3w,z2w,zw,z4w,z3w2,z2w2,zw2,w2);

(4)當(dāng)f(z,w)=(z,zw,w2),g(z,w)=(z2,z2w,zw2,w)時(shí)，

E(A,g)(f)=u4(z,w)=(z3,z3w,z2w2,zw,z3w,z3w2,z2w3,zw2,w2);

情形4：設(shè)f(z,w)=(z,w,0)，選取由(1,1,0)生成的子空間作為A來分解f，應(yīng)用上述B2到B4的逆緊全純映照的顯式表達(dá)式，利用映照E(A,g)(f)=(fA?g)⊕fA⊥進(jìn)行計(jì)算，得到

由于表達(dá)式較多，下面選取u1和v1進(jìn)行證明，其它的同理可證.

證明只需驗(yàn)證這一映照是?B2到?B9上的映照，即證明當(dāng)|z|2+|w|2=1時(shí)，有|E|2=1.

=|z|8+3|z|4|w|2+|z|2|w|4(|w|2+|z|2)+2|z|4|w|4+|z|2|w|8+|z|8|w|2+|w|4

=|z|8+2|z|4|w|2+|z|2|w|2(|z|2+|w|2)+2|z|4|w|4+|z|2|w|8+|z|8|w|2+|w|4

=|z|8+2|z|4|w|2+2|z|4|w|4+|z|2|w|8+|z|8|w|2+|w|2(|z|2+|w|2)

=|z|8+|z|4|w|2(|z|2+|w|2)+|z|4|w|2+2|z|4|w|4+|z|2|w|8+|z|8|w|2+|w|2

=|z|6(|z|2+|w|2)+3|z|4|w|4+|z|4|w|2+|z|2|w|8+|z|8|w|2+|w|2

=|z|4(|z|2+|w|2)+3|z|4|w|4+|z|2|w|8+|z|8|w|2+|w|2

=|z|4+2|z|4|w|4+|z|4|w|4(|z|2+|w|2)+|z|2|w|8+|z|8|w|2+|w|2

=|z|4+2|z|4|w|4+|z|6|w|2(|z|2+|w|2)+|z|2|w|6(|z|2+|w|2)+|w|2

=|z|4+|z|4|w|2(|z|2+|w|2)+|z|2|w|4(|z|2+|w|2)+|w|2

=|z|4+|z|2|w|2(|z|2+|w|2)+|w|2

=|z|2(|z|2+|w|2)+|w|2

=|z|2+|w|2=1

同樣的方法，可以驗(yàn)證v1：

=|z|10+3|z|6|w|2+|z|4|w|6+2|z|8|w|2+6|z|4|w|4+2|z|2|w|8+|w|4

=|z|8(|z|2+|w|2)+3|z|4|w|2(|z|2+|w|2)+|z|2|w|6(|z|2+|w|2)+|z|8|w|2+|z|2|w|8+3|z|4|w|4+|w|4

=|z|8+3|z|4|w|2+|z|2|w|6+|z|8|w|2+|z|2|w|8+|z|4|w|4(|z|2+|w|2)+2|z|4|w|4+|w|4

=|z|8+3|z|4|w|2+|z|2|w|4(|w|2+|z|2)+|z|6|w|2(|z|2+|w|2)+|z|2|w|6(|z|2+|w|2)+|z|4|w|4+|w|4

=|z|8+3|z|4|w|2+|z|2|w|4(|z|2+|w|2)+|z|6|w|2+|z|2|w|6+|z|4|w|4+|w|4

=2|z|2|w|4(|z|2+|w|2)+|z|6(|z|2+|w|2)+3|z|4|w|2+|w|4

=2|z|2|w|4+|z|6+3|z|4|w|2+|w|4

=2|z|2|w|2(|z|2+|w|2)+|z|4(|z|2+|w|2)+

|w|4

=2|z|2|w|2+|z|4+|w|4

=|z|2(|w|2+|z|2)+|w|2(|z|2+|w|2)

=|z|2+|w|2=1