功能梯度材料Euler-Bernoulli梁單元模態應變能對損傷參數的靈敏度分析

黃立新, 韋 琦, 胡中明, 岳世燕

(1.廣西大學 土木建筑工程學院, 南寧 530004; 2.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院, 上海 200240;3.成都理工大學工程技術學院 資源勘查與土木工程系, 四川 樂山 641000)

0 引 言

功能梯度材料(functionally graded materials, FGM)是一種非均勻的新型復合材料, 其材料性能是空間位置的函數沿某一方向呈現梯度連續變化。由于功能梯度材料具有獨特的梯度特性, 使得它在實際應用中表現出許多優良性能, 如耐高溫、高強度、抗沖擊、減少殘余應力和應力集中度等[1]。功能梯度材料在航空航天、汽車、化工、醫療、土木和機械等很多工程領域具有潛在的應用前景, 因此功能梯度材料構件性能的研究引起了國內外研究人員的關注[1-6]。

梁是非常重要的構件, 在工程中得到廣泛的應用。使用中的梁結構會不可避免地出現損傷, 如果沒有及時發現梁結構的損傷而繼續使用梁結構，將會導致整體結構的破壞, 甚至出現災難性的后果。自然地, 包括梁結構在內的工程結構損傷識別研究成為一個非常重要的課題[7-10]。在眾多的結構損傷識別方法中, 基于模態應變能的損傷識別方法具有靈敏度高、穩定性好和抗噪音能力良好等優點, 并且在這方面的研究取得了許多成果[11-16]。顏王吉等[17-18]提出單元模態應變能的靈敏度分析方法, 并應用于結構損傷識別中, 取得了很好的成果。然而, 針對功能梯度材料梁, 單元模態應變能靈敏度分析的研究尚屬空白。功能梯度材料梁單元模態應變能的靈敏度包含許多結構參數的信息, 所以模態應變能的靈敏度分析是功能梯度梁損傷識別的重要基礎。

本文基于各向同性均勻材料單元模態應變能靈敏度的思想[17-18], 根據Euler-Bernoulli梁理論, 推導出功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的單元模態應變能公式。在此基礎上, 進一步推導了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁單元模態應變能一階靈敏度表達式。在選定梁結構的損傷參數后, 進行了靈敏度分析, 并討論了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁單元模態應變能靈敏度變化的影響因素。

1 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的材料性能

如圖1所示, 功能梯度材料Euler-Bernoulli簡支梁為矩形截面, 梁長為l、寬為b、高為h。假設梁材料性能的彈性模量和質量密度沿梁高方向按冪指數連續變化[19], 材料性能可以表示為

圖1 功能梯度材料Euler-Bernoulli 簡支梁

P(z)=PL+(PU-PL)(z/h+1/2)k,

(1)

其中:PU和PL分別是橫截面頂部和底部的材料屬性(彈性模量和密度);k是非負的梯度指數, 表示梁高方向材料的不均勻程度;-h/2≤z≤h/2。

2 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁單元模態應變能

2.1 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁總應變能

由Euler-Bernoulli梁理論[19], 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁任意一點的軸向位移和橫向位移為

(2)

w(x,z)=w0(x)。

(3)

位移與應變關系為

(4)

根據胡克定律, 應力可以表示為

(5)

則功能梯度材料Euler-Bernoulli梁總應變能可表示為

(6)

其中:MSE表示梁的應變能；σx表示梁的正應力；εx表示梁的正應變。

2.2 單元模態應變能

如圖2所示, 將功能梯度材料Euler-Bernoulli梁分成n個單元。忽略阻尼, 則可得動力特征方程

圖2 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的有限單元網格

K(z)φi=λiM(z)φi,

(7)

其中：K(z)是結構整體剛度矩陣；M(z)是結構整體質量矩陣；φi和λi分別是第i階振型和頻率。K(z)和M(z)分別由單元剛度矩陣K(z)j和單元質量矩陣M(z)j組合而成, 即

(8)

(9)

梁的總應變能為各單元應變能之和, 即

(10)

其中，MSEj代表第j個單元的應變能, 即

(11)

離散功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的有限單元采用2節點6自由度的梁單元, 如圖3所示。

圖3 2節點6自由度的梁單元

單元內截面軸向位移用一維拉格朗日多項式插值表示, 而橫向位移則采用一階Hermite多項式插值表示, 具體的位移為

(12)

(13)

其中：形函數N1=1-ξ;N2=1-3ξ2+2ξ3;N3=(ξ-2ξ2+ξ3)l;N4=ξ;N5=3ξ2-2ξ3;N6=(-ξ2+ξ3)l。

將式(4)和式(5)代入式(11), 則有

(14)

然后將式(12)和式(13)代入式(14), 整理得

(15)

式中:

(16)

(17)

其中：

(18)

(19)

3 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁單元模態應變能靈敏度

由單元模態應變能式(15)可知, 第j單元在第i階振型下單元模態應變能可表示為

(20)

其中,φi為質量歸一化振型, 即

(21)

式中,p(z)是密度, 其變化規律服從式(1)。

將式(20)對任一變量r求偏導, 則有

(22)

(23)

因此, 第j單元在第i階振型下單元模態應變能一階靈敏度寫成代數形式可表示為

(24)

基于代數算法[18, 20], 求特征值和特征矢量靈敏度, 然后代入式(24), 即可得到單元模態應變能靈敏度。對式(7)和式(21)求偏導得

(25)

(26)

將式(25)和式(26)合并, 求得一階特征靈敏度, 即

將式(27)代入式(24), 得到j單元的模態應變能一階靈敏度為

其中:

4 單元模態應變能對損傷參數的靈敏度分析

4.1 損傷參數的選取

工程結構在使用過程中, 結構損傷是不可避免的。在工程實踐中, 假定結構的質量在損傷前后沒有發生變化, 這個假定經實踐證明是可以接受的。結構的損傷則表現為結構剛度的減少, 從功能梯度材料Euler-Bernoulli梁單元剛度矩陣式(17)和(19)得知, 可以用彈性模量的折減程度來模擬結構的損傷程度。考察式(1)可知, 功能梯度材料彈性模量與橫截面頂部彈性模量EU、底部彈性模量EL和梯度指數k有關, 因此選取EU、EL和k作為損傷參數, 分析單元模態應變能對這些損傷參數的靈敏度, 這些單元模態應變能靈敏度分析的工作對結構損傷識別的應用具有重要意義。

4.2 損傷參數靈敏度矩陣

類似地, 可以得到損傷參數EU和EL的靈敏度矩陣。

4.3 算例分析

如圖4所示的功能梯度材料Euler-Bernoulli簡支梁, 梁的長l×寬b×高h=6 m×0.1 m×0.2 m。梁截面底部材料是鋼, 彈性模量EL=210 GPa, 密度ρL=7 800 kg/m3; 梁橫截面頂部材料是氧化鋁, 彈性模量EU=390 GPa, 密度ρU=3 960 kg/m3。除了討論梯度指數k的變化對靈敏度的影響之外,k的取值均為10。用平面梁單元把梁結構劃分為15個單元, 共16個節點, 45個自由度。

圖4 功能梯度Euler-Bernoulli簡支梁模型

表1是計算得到的前三階單元模態應變能對各損傷參數的靈敏度系數。單元模態應變能對損傷參數k的靈敏度數值要比對損傷參數EU和EL的靈敏度數值大很多個數量級, 這說明單元模態應變能對損傷參數k更為敏感。從單元模態應變能的表達式(20)可以看出,MSEj與E(z)有關, 而E(z)服從材料性能函數式(1)。材料性能函數式(1)中k是冪指數, 比EU和EL更能影響材料性能函數的變化, 從而導致單元模態應變能有更大的變化, 這符合單元模態應變能對損傷參數k更為敏感的現象。

表1 單元模態應變能對損傷參數的靈敏度

針對同一階的單元模態應變能, 對損傷參數的敏感程度由高到低排列為k>EL>EU。高階模態單元模態應變能對損傷參數的靈敏度數值均大于低階模態單元模態應變能對應的靈敏度數值。

表2 損傷參數變化范圍

圖5～7是單元模態應變能對損傷參數的靈敏度隨著模態階數和輸入參數變化而變化的曲線, 其中橫坐標分別為輸入損傷參數k、EU和EL的變化, 縱坐標為靈敏度L。

為便于觀察靈敏度變化規律, 當橫坐標損傷參數k變化時, 縱坐標取對數坐標(圖5)。隨著損傷參數k的增大, 單元模態應變能對損傷參數k和EU的靈敏度逐漸減小; 當k在0～1時, 單元模態應變能對損傷參數EL的靈敏度迅速增大, 當k>1時, 靈敏度則趨于不變。由圖6可知, 隨著損傷參數EU的增大, 單元模態應變能對損傷參數k和EL的靈敏度緩慢增大, 而對損傷參數EU的靈敏度則逐漸減小。圖7表明, 隨著損傷參數EL的增大, 單元模態應變能對損傷參數EU的靈敏度逐漸增大, 對損傷參數EL的靈敏度逐漸減小, 而損傷參數k的靈敏度幾乎保持不變。無論是損傷參數k、EU還是EL作為變化的參數, 高階模態單元模態應變能的靈敏度數值總大于低階模態單元模態應變能對應的靈敏度數值, 這種現象可以從以下角度分析：單元剛度矩陣K(z)j和單元質量矩陣M(z)j均與材料性能函數式(1)有關, 即與損傷參數k、EU和EL有關。因此從動力特征方程式(7)得知, 損傷參數k、EU和EL的變化均導致模態振型的變化。另一方面, 從模態振型的構型來看, 高階模態比低階模態變化更激烈, 從而損傷參數k、EU和EL的變化導致高階模態振型更大的變化, 因此從第j單元在第i階振型下單元模態應變能式(20)可知, 高階模態單元模態應變能對損傷參數有更高的靈敏度數值。

圖5 梯度指數k變化對靈敏度的影響

圖6 頂部彈性模量EU變化對靈敏度的影響

圖7 底部彈性模量EL變化對靈敏度的影響

5 結 論

通過建立有限元模型, 本文針對功能梯度材料Euler-Bernoulli梁進行了單元模態應變能對損傷參數的靈敏度分析, 得到以下結論:

(1)功能梯度材料Euler-Bernoulli梁采用2節點6自由度的梁單元離散后, 結合Euler-Bernoulli梁理論和梁的應變能公式, 推導出了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁單元模態應變能公式。在此基礎上, 通過對變量求偏導的方式得到了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁單元模態應變能一階靈敏度表達式, 并表示成了緊湊的形式, 為數值計算提供了方便。

(2)結構的損傷表現為結構剛度的減少, 通過分析功能梯度材料Euler-Bernoulli梁單元剛度矩陣, 選取與剛度有關的參數作為損傷參數, 即梁橫截面頂部彈性模量EU、底部彈性模量EL和梁的梯度指數k作為損傷參數。數值算例表明, 單元模態應變能對損傷參數k的靈敏度數值要比對損傷參數EU和EL的靈敏度數值大很多個數量級, 并且單元模態應變能對損傷參數的敏感程度由高到低排列為k>EL>EU。單元模態應變能對損傷參數k更為敏感的現象可以解釋為, 單元模態應變能MSEj與服從材料性能函數的E(z)有關, 而材料性能函數公式中k是冪指數, 比EU和EL更能影響材料性能函數的變化, 從而導致單元模態應變能有更大的變化, 即單元模態應變能對損傷參數k更為敏感。此外, 高階模態單元模態應變能對損傷參數的靈敏度數值總比低階模態單元模態應變能對應的靈敏度數值大。

(3)損傷參數的變化或模態階數的不同均對單元模態應變能靈敏度產生不同的影響。損傷參數變化的影響與選取的材料梯度變化規律有關; 模態階數不同的影響不僅與選取的材料梯度變化規律有關, 而且與模態振型的構型變化有關。通過單一損傷參數的變化, 探究單元模態應變能靈敏度變化的規律。數值算例表明: 隨著損傷參數k的增大, 單元模態應變能對損傷參數k和EU的靈敏度減小, 而對損傷參數EL的靈敏度則增大; 隨著損傷參數EU的增大, 單元模態應變能對損傷參數k和EL的靈敏度增大, 而對損傷參數EU的靈敏度則減小; 隨著損傷參數EL的增大, 單元模態應變能對損傷參數EU的靈敏度增大, 對損傷參數EL的靈敏度減小, 而損傷參數k的靈敏度幾乎保持不變; 單一損傷參數的變化, 高階模態單元模態應變能的靈敏度數值總大于低階模態單元模態應變能對應的靈敏度數值。

(4)單元模態應變能對損傷參數的靈敏度包含了結構損傷的信息, 通過靈敏度分析, 為進一步開展功能梯度材料Euler-Bernoulli梁結構損傷識別的研究提供了重要的基礎。