例談勝戰(zhàn)計(jì)在數(shù)學(xué)問題解決中的運(yùn)用

徐曉利

摘要：文中首先分析勝戰(zhàn)計(jì)與數(shù)學(xué)問題解決的關(guān)系，然后分別舉例印證了瞞天過海、圍魏救趙、借刀殺人、以逸待勞、趁火打劫、聲東擊西六計(jì)在數(shù)學(xué)問題解決中的簡單運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：勝戰(zhàn)計(jì);計(jì)謀;問題解決

《三十六計(jì)》作為我國古代卓越的軍事思想和豐富的斗爭經(jīng)驗(yàn)總結(jié)而成的兵書，是我國古代兵家計(jì)謀的總結(jié)和軍事謀略學(xué)的寶貴遺產(chǎn)，包括：勝戰(zhàn)計(jì)、敵戰(zhàn)計(jì)、攻戰(zhàn)計(jì)、混戰(zhàn)計(jì)、并戰(zhàn)計(jì)和敗戰(zhàn)計(jì)等六套計(jì)謀，每一套都包含有六條計(jì)謀，總共是六六三十六計(jì)。勝戰(zhàn)計(jì)包括：瞞天過海、圍魏救趙、借刀殺人、以逸待勞、趁火打劫、聲東擊西六計(jì)。勝戰(zhàn)計(jì)，是指在敵弱我強(qiáng)的條件下，根據(jù)對(duì)手的具體情況采取相應(yīng)的行動(dòng)。此計(jì)要求在戰(zhàn)前要具備取勝的條件、方案和把握，而后在戰(zhàn)斗中通過計(jì)謀的運(yùn)用，將我方的優(yōu)勢發(fā)揮得淋漓盡致，從而戰(zhàn)勝敵人，獲得更大勝利。在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)問題的提出，數(shù)學(xué)問題的解決，比如數(shù)學(xué)定理的證明、數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、數(shù)學(xué)題目的計(jì)算等等，所針對(duì)或者研究的對(duì)象有一定的固定性，學(xué)習(xí)者的活動(dòng)主要是智力活動(dòng)，思路可以更加開闊，所以只要思維嚴(yán)謹(jǐn)，過程真實(shí)可信，可以運(yùn)動(dòng)一切手段，數(shù)學(xué)問題的解決符合勝戰(zhàn)計(jì)的使用條件。文中我們結(jié)合實(shí)例，談一談勝戰(zhàn)計(jì)在數(shù)學(xué)問題解決中的運(yùn)用。

1.第一計(jì) 瞞天過海

數(shù)學(xué)證明有著邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和體系的完備性，所以人們往往認(rèn)為定理的證明，公式的運(yùn)用，是理所當(dāng)然的，不去深入思考，往往會(huì)造成對(duì)數(shù)學(xué)的神化，以至于在學(xué)習(xí)的過程中，無法看到數(shù)學(xué)中隱藏的問題。數(shù)學(xué)中，有時(shí)看似簡單的關(guān)系，也會(huì)包含著復(fù)雜的東西，不能簡單的認(rèn)為關(guān)系簡單。有時(shí)，看似最簡單的關(guān)系，甚至隱藏著最復(fù)雜的道理。比如，我們熟知的平行公理，“在平面上，過直線外一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線平行”，它是表述復(fù)雜的歐幾里得第五公設(shè)：“如果一條線段與兩條直線相交，在某一側(cè)的內(nèi)角和小于兩直角和，那么這兩條直線在不斷延伸后，會(huì)在內(nèi)角和小于兩直角和的一側(cè)相交。”的等價(jià)命題。《幾何原本》問世后，試證第五公設(shè)的活動(dòng)也開始，人們陸續(xù)給出各種證明，但都犯了同一種錯(cuò)誤：在論證過程中不知不覺地引進(jìn)了未加證明的新假設(shè)，實(shí)際上它是不可證明的。平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，遇到公設(shè)、公理，大多數(shù)人都習(xí)以為常的認(rèn)為這是不證自明的，而不加以思索。然而認(rèn)識(shí)到它的不可證明性時(shí)，俄國數(shù)學(xué)天才羅巴切夫斯基卻產(chǎn)生了一個(gè)新的想法，他決定利用反證法來證明此條公理，首先他得到了一個(gè)否定命題，即“過平面上直線外一點(diǎn)，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，令人沒想到的是，在推理過程中，他得到了一系列不同尋常但又沒有邏輯硬傷的命題，這些命題打破了人們的認(rèn)知，他說：“兩條平行線無限延長時(shí)能在無窮遠(yuǎn)處相交，三角形的內(nèi)角和不一定是180°”，這些命題被他認(rèn)為是非歐幾何。直到1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表論文，證明非歐幾何可以在歐式空間的曲面上實(shí)現(xiàn)，人們才給這個(gè)已經(jīng)去世12年的數(shù)學(xué)家豎起了大拇指，認(rèn)為他是數(shù)學(xué)家中的哥白尼。這可以說是數(shù)學(xué)問題提出中的瞞天過海。

2.第二計(jì) 圍魏救趙

對(duì)于復(fù)雜的無法直接解決的數(shù)學(xué)問題，可以先將該問題分解為多個(gè)容易求解的小問題再解決，對(duì)于正面提出的數(shù)學(xué)問題的解決，可以轉(zhuǎn)化為其對(duì)立面或者與相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，用迂回的方法解決。比如，證明：方程 在開區(qū)間 內(nèi)至少有一個(gè)根。直接求方程的根，無從下手，但我們可以采用迂回的方法，把求該方程在開區(qū)間 內(nèi)至少有一個(gè)根的問題，轉(zhuǎn)化為求輔助函數(shù) ?在開區(qū)間 內(nèi)至少有一零點(diǎn)，進(jìn)而探尋是否滿足零點(diǎn)定理的條件：函數(shù)在對(duì)應(yīng)的閉區(qū)間連續(xù)、端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，進(jìn)而運(yùn)用零點(diǎn)定理，直達(dá)主題，完成題目解答。

3.第三計(jì) 借刀殺人

一些待解決的數(shù)學(xué)問題，有時(shí)不一定非得從頭做起，可以廣泛的利用已有的正確結(jié)果或者引理，達(dá)到最終解決數(shù)學(xué)問題的目的。“借刀殺人”在數(shù)學(xué)中的范例很多，比如微積分的發(fā)明人牛頓坦言，“如果說我看得遠(yuǎn)，那是因?yàn)槲艺驹诰奕藗兊募缟稀保@里的“巨人”就是我們所謂的“刀”，即自古希臘依賴求解無限小問題的各種技巧所蘊(yùn)含的微分、積分兩類算法。在數(shù)學(xué)中可以“借”的“刀”太多了，大到集合論、群論、微積分、解析幾何，比如，利用解析幾何求解立體幾何問題，小到定理、原理、思想、方法、公式、技巧等，比如利用函數(shù)思想求解數(shù)列問題。合理、恰當(dāng)?shù)摹敖琛薄暗丁保苡行У拇龠M(jìn)問題的圓滿解決。

4.第四計(jì) 以逸待勞

遇到較難的數(shù)學(xué)問題，如果無從下手，不妨把問題先放下，通過不斷的學(xué)習(xí)和積累，獲得解決問題的技巧和能力。某一些看似難以解決的難點(diǎn)，經(jīng)歷過時(shí)間沉淀之后，都非常清楚明了，每一個(gè)步驟都了如指掌，此時(shí)如何處理這個(gè)問題，就會(huì)有一個(gè)清晰的脈絡(luò)。但這里的“逸”不能理解成放縱自己，不思考、不學(xué)習(xí)，而應(yīng)該讓自己的思維時(shí)時(shí)刻刻處于一種最佳的狀態(tài)。比如，求極限 ，通過高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限的學(xué)習(xí)，雖然積累了很多求極限的方法技巧，但此時(shí)計(jì)算上述極限，非常困難。我們不妨“以逸待勞”，在第三章學(xué)習(xí)完洛必達(dá)法則后，綜合運(yùn)用等價(jià)無窮小替換、洛必達(dá)法則等來計(jì)算該極限，就非常順利了。

數(shù)學(xué)中，特別是世界性數(shù)學(xué)難題的解決了。可以說都要?dú)w功于以逸待勞，因?yàn)閷?duì)其中任何一個(gè)問題的解決，任何天才都不可能馬上做到。都需要一個(gè)準(zhǔn)備的過程。有的人準(zhǔn)備的時(shí)間長，有些人用的時(shí)間短。有的人窮極一生也毫無收獲。

5.第五計(jì) 趁火打劫

解決數(shù)學(xué)問題的各方面條件已經(jīng)具備，并且有些已有的證明已經(jīng)非常接近正確結(jié)果，只是某些部分存在嚴(yán)重的不足，這時(shí)我們絕對(duì)不能猶豫不決，應(yīng)利用自己的有利條件解決該數(shù)學(xué)問題。比如，求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程 。通過前一節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道這一類方程的通解是兩個(gè)線性無關(guān)特解的線性組合，問題的關(guān)鍵就是找特解，特解具有什么樣的形式呢，我們又發(fā)現(xiàn)基本指數(shù)函數(shù) 具有一階、二階導(dǎo)數(shù)都只相差一個(gè)常數(shù)因子 的特點(diǎn)，立刻“趁火打劫”設(shè)特解為 ，把特解代入上述微分方程，滿足條件的待定常數(shù) 便是一個(gè)一元二次方程的根，進(jìn)而推導(dǎo)出求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程法。

縱觀數(shù)學(xué)史，無理數(shù)的產(chǎn)生、集合論危機(jī)的部分解決以及現(xiàn)有任何一個(gè)沒有解決的數(shù)學(xué)問題，都可以用得上“趁火打劫”。但打劫者要具備打劫的實(shí)力，不要盲目，否則只能是不自量力，荒廢一生。

6.第六計(jì) 聲東擊西

要解決某一數(shù)學(xué)問題，通常使用的邏輯關(guān)系已經(jīng)建立，但通過該邏輯關(guān)系又無法完全解決該問題，這時(shí)我們不妨先觀察該問題相反或?qū)?yīng)的問題，通過相反或?qū)?yīng)的問題的解決，達(dá)到解決該數(shù)學(xué)問題的目的。比如證明極限 不存在，根據(jù)二元函數(shù)極限的定義，二元函數(shù)極限存在指點(diǎn) 沿任何路徑趨于原點(diǎn) ，函數(shù)極限都要存在且相等，證明極限不存在，我們就可以選擇特殊的路徑 ，其中 為任意常數(shù)，得極限為 隨著 值的變化而不同，與極限唯一性矛盾，原命題得證。

在數(shù)學(xué)問題解決中充分運(yùn)用勝戰(zhàn)計(jì)中的辯證思想，軍事謀略，能獲得出奇制勝的效果。

參考文獻(xiàn)：

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