厘清算理與算法
——小學高年級數學算理教學研究

林欽

（永泰縣第二實驗小學，福建 永泰 350700）

算理與算法均是運算教學的重要內容，兩者相輔相成，不可獨立存在。在教學實踐中，教師應針對教學內容與實際學情進行算理、算法教學，使學生既知其然，也知其所以然，切不可只教算法而忽視算理。［1］但是，有些教師對算理教學認識不深刻，導致在教學過程中缺乏引導學生深入探究的意識，教學始終側重于算法掌握。例如，高年級算理的部分內容是中年級的算法，而中年級算理的部分內容是低年級的算法。這說明算理、算法是相互交織、螺旋上升的。然而，教師在教學過程中忽視了算理與算法之間存在的緊密聯系，教學呈現碎片化，影響了小學生知識體系建構。

一、小學算理算法教學的問題誤區

小學階段是學生奠定基礎的關鍵時期，算理結構的整體建構對日后學習與發展具有深刻影響，計算教學忽視算理與算法的聯系，會使學生學習的知識難以構成一個整體，從而不能深入理解算理。因此，在說理教學中，教師需要引導學生將算理與算法聯系在一起，讓學生在了解算理的基礎上探究算法，在探究算法的過程中深入理解算理，促進知識體系建構，做到既可以清楚地“說”理，又可以準確地“用”法，從而奠定扎實的計算基礎。

另一方面，算理算法缺乏內在的一致性，在教學過程中沒有實現算理到算法的自然過渡。在推導和計算過程中，教師沒有給予學生充足的時間和機會交流計算過程中運用的運算定律、體現的運算性質。例如，在分數乘法教學中，教師先結合圖示講解分數乘法運算方法，然后組織學生進行練習，幫助學生鞏固知識。但是整個過程教師忽視了說理，很多學生并不能說清楚“為什么分母相乘做分母，分子相乘做分子，其中蘊含著什么道理？”，在做練習題時，很多學生也是死記硬背法則，通過記類型、套用數量關系來進行計算。這種方法可以應對簡單的計算，一旦面對復雜的運算就會出現邏輯不清、法則混淆等問題。實際上，教師可以貫通抽象表征、現實表征、直觀表征進行分數乘法算理教學，引導學生在理解算理的基礎上推導分數乘法運算的程序與方法，從而做到算理到算法的自然過渡，使學生將算理內化于心，形成數學思想，提升數學素養。［2］

二、小學高年級數學算理教學策略

（一）注重經驗積累，積極引導學生說理

學生是學習的主體，在算理教學中，應積極引導學生進行說理，使其在“說”的過程中理解算理，掌握算理。［3］新課標的實施進一步明確了小學數學教學任務，指出數學教學不僅要教會學生知識技能，還應引導學生探究知識技能所蘊含的道理，促進學生全面發展。基于此，算理教學，既要關注學生對算理的運用，還要組織學生進行算理探究，促進經驗積累。說理作為算理教學的一部分，教師應明確說理的外在形式是“說”，但關鍵在于“思”。以學習“認識生活中的負數”這部分內容為例，教師關注知識點的應用、與其他知識的聯系等，引導學生在思辨中深化算理理解。課堂上，教師出示舊習題，要求學生運用負數知識來解決以前做過的題目，例如解方程“100-x=28”，減數為x的方程一直是學生的難題，很多學生經常出現計算錯誤。利用負數，可以把左邊的-x移到右邊，變成+x，然后就很快做出題目了。通過舊題新做，讓學生深切體會負數的價值，而這個說理的過程也是學生推理能力發展的過程。由此可見，教師需要轉變機械式習題練習的思維以及灌輸式教學的思想，立足學生主體以及知識整體設計練習，這樣才能有效促進學生能力發展。

（二）立足核心素養，科學設計教學目標

隨著新課改的深入，小學數學教師對數學核心素養的重視程度不斷提升。運算能力培養是小學數學教學的主要任務之一，傳統教學關注計算技能的掌握，核心素養背景下，教學不僅要關注計算技能的掌握，還要關注邏輯推理能力發展。［4］這就要求教師立足核心素養，科學設計教學目標，圍繞目標設計教學活動。以“分數除以整數”教學為例，教師設計以下教學目標：（1）借助已有的經驗理解分數除法的意義并掌握分數除法的計算方法，能正確計算分數除以整數；（2）通過富有啟發性的問題情景和探索性的學習活動，培養自己主動參與、獨立思考、合作交流，形成計算技能；（3）在教學中滲透轉化的思想，充分感受轉化的美妙與魅力。為了促進教學目標達成，教師以問題進行啟發，引導學生在說理的過程中逐漸掌握算理。例如在課堂導入環節，設置整數除法習題練習，并提問“整數除法的意義是什么？聯系整數除法的意義說說分數除法的意義是什么？”而后小組活動，要求各個小組根據題目要求折紙，通過實踐探究折紙方法、計算過程并派代表進行匯報，交流算理。結合教學實踐可知，立足核心素養設計教學目標，利于教師圍繞算理設計教學活動，對促進學生數學能力提升具有積極影響。

（三）注重情境創設，引導學生感受算理

小學生認知發展水平有限，對抽象的數學知識理解能力較弱，基于具體情境教學利于將抽象的知識具體化，從而促進理解與運用。在說理課堂中，教師可以通過情境創設進行知識拓展，引導學生將學習到的知識與現實生活聯系到一起，實現知識遷移。以“圓的面積”為例，教師展示公園的中的圓形花壇，基于具體情境提出問題：“國慶節需要將圓形花壇鋪滿花，請你幫設計師計算出花壇的面積。”課堂中，學生的探究、交流過程是一個說理的過程。首先，學生結合圓形與之前所學圖形進行猜想，指出可以將圓形分割成若干份大小相同的扇形，而后將這些扇形轉化成近似的長方形或平行四邊形計算。基于猜想，學生進行動手實踐，經過圖形對比發現“分的份數越多，拼成的上下兩條曲線越來越接近一條直線，左右兩條線也在慢慢發生變化。所以越來越接近一個長方形”。而后，教師帶領學生運用長方形面積公式計算所探究的圓的面積，并組織學生思考長方形的長與寬，分別代表圓的什么。結合轉化前后的圖形，學生很快得出：“長方形的長=π×r，寬=r。”最終，學生掌握并透徹地理解了圓的面積計算公式，運用公式解決了課前教師提出問題。由此可見，創設具體情境引導學生進行說理，既可以提升學生探究能力，又可以幫助學生深入理解算理，從而促進知識遷移應用，有效解決生活中的問題。

（四）運用數形結合，提升算理探究效果

數形結合主要指通過數形之間的轉化，將抽象的數量關系以圖形的形式展現出來，使得數量關系更為直觀。算理教學中，數與形結合的應用利于小學生理解算理、探究算理。［1］在說理課堂中，教師需要充分引導學生參與，因此，可以通過小組合作的方式引導學生嘗試將數學算式與圖形結合起來。以“分數乘法”教學為例，教師巧妙地借助數形結合的方法，用畫圖或列表的方法表示實際問題中的數量關系，通過分步或綜合列式，解決實際問題，進一步提高學生分析和解決問題的能力。這樣的方式讓學生不但知其然，而且知其所以然。同時，教師設置了自由發揮環節，要求學生結合生活實際自己設置“分數乘法”問題，并以數形結合的方式進行說明。通過實踐發現，以數形結合的方式進行說理教學，能夠有效提升算理探究效果，促進知識掌握。