“新工科”背景下數學建模在數學課程中的案例教學研究

周婉娜 周根全

[摘? ? ? ? ? ?要]? 針對傳統數學課堂教學中存在的問題，結合“新工科”背景下對人才的需求，提出將數學建模思想融入課堂教學，通過具體的案例、數學建模思想的引入，使抽象的理論變得更直觀、生動，大大激發了學生的學習興趣，同時也提高了學生分析問題和解決問題的能力。

[關? ? 鍵? ?詞]? “新工科”;數學建模;課堂教學

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2021）40-0042-02

一、概述

自2016年“新工科”人才培養方案的提出，對數學類課程建設提出了新的要求。“新工科”人才培養理念是用成果導向替代學科導向，成果導向又由以學生為中心、反向設計和持續改進三個理念組成。“新工科”是培養適應未來工程發展的應用型人才。數學課程是所有高校工科專業的基礎課程，而目前數學課程的課堂絕大多數都是教師在滿堂灌，絲毫未體現出學生的主體地位，并且講授的知識是純理論知識，未與實際問題相結合，因此未能達到“新工科”對應用型人才的培養。通過在數學課堂中引入數學建模思想，一方面使學生能夠認識到專業知識與數學知識之間密不可分的關系;另一方面通過對具體問題分析、求解的過程，充分體現出學生的主體地位。

二、數學建模思想在數學類課程中的應用

（一）數學建模在高等數學課程中的應用

高等數學是工科學生大一必修的基礎課，它具有抽象性、邏輯性、應用性強等特點。對于剛剛步入大學的新生來說，高等數學學習與中學數學相比，困難重重，因此在高等數學的教學過程中，應引入數學模型，讓學生更好地理解、掌握理論知識。例如，在講授可分離變量的微分方程內容時，可引入戰爭模型，利用大家都熟悉的戰爭片電視劇《亮劍》來吸引學生的眼球，教學過程如下。

引例：在電視劇《亮劍》中李云龍部隊的單兵作戰能力以及武器的配備遠不如日本軍，那么最終勝利靠的是什么？

1.問題重述

在戰斗開始的某時刻，日本軍的人數比李云龍部隊的人數要多，并且李云龍部隊的單兵作戰能力及武器的配備遠不如日本軍，問李云龍部隊最終為什么會獲勝？

2.模型假設

（1）每支隊伍的減員均由敵方造成。

（2）不考慮增援部隊。

3.符號說明

t—戰斗開始的時刻 x（t）—李云龍部隊t時刻的人數

y（t）—日本軍t時刻的人數 b—日本軍的單兵作戰效率

c—李云龍部隊的單兵作戰效率

4.模型建立

由題目及假設可知，每支隊伍的減員速率與敵方人數是成正比的，則建立如下戰爭模型

5.模型求解

戰爭模型的求解過程，得到可分離變量的微分方程的定義，將可分離變量的微分方程與感興趣的問題相結合，使學生更容易接受，同時也提高了學生學習的積極性。

（二）數學建模在線性代數課程中的應用

線性代數培養學生的數學思維能力、基本運算能力和數據分析能力，使學生學會利用數學理論知識解決經濟生活中的常見問題。線性代數課程主要包括行列式、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、二次型等。但對于三本院校的學生，直接講解概念，學生接受起來較困難，因此在教學過程中應用實際生活中最直觀、最簡單的例子使學生對知識的掌握更加容易。

在教學過程中，依據線性代數的有關理論建立數學模型，使抽象的理論變得生動有趣，激發學生的學習興趣，提高學習質量。數學建模的基本步驟為：問題重述、模型假設、符號說明、模型建立、模型求解、模型檢驗、模型推廣等，根據具體問題的分析，其中有些步驟可以刪減。下面以百雞術問題為例介紹數學建模思想在線性方程組中的教學。

引例：百雞術

母雞每只五文，公雞每只三文，小雞每文三只，令百文買百雞，各買幾何？

1.問題重述

母雞每只五文錢，公雞每只三文錢，小雞每三只一文錢，現用100文錢買100只雞，問母雞、公雞、小雞各幾只？

2.模型假設

假設各種類型的雞有足夠的數量。

3.符號說明

設100只雞中，母雞x1只，公雞x2只，小雞x3只。

4.模型建立

由題目已知信息，建立如下數學模型

即將百雞術問題轉化成線性方程組的問題，母雞、公雞、小雞的個數問題就是線性方程組解的問題。

5.模型求解

利用線性方程組解的判定，判斷線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣的秩是否相同，首先將其增廣矩陣化成行階梯行矩陣：

進一步得到，原線性方程組的等價方程組

其中x3是自由未知量，即小雞的個數確定了，則母雞、公雞的個數也確定了。

在此實際問題中，母雞、公雞、小雞的個數不能為負，即x1>0，x2>0，x3>0，并且所有雞的個數必須為整數，即x1，x2，x3為整數，由此可得

即母雞12只、公雞4只、小雞84只。

綜上，母雞、公雞、小雞的個數分別為4，18，78或8，11，81或12，4，84。

6.模型推廣

此實際問題中，對方程的結果有一定的限制，如果此題沒有實際問題的限制，我們的解將會是怎樣的？由（二）5可知，方程有無窮多解，因此給自由未知量x3任意賦值，就得到方程組的所有解，即

令x3=C（C為任意常數），則我們得到方程組的解

在百雞術問題的求解過程中，利用數學建模的思想引導學生，將線性方程組的有關知識與實際問題相結合，使學生學會分析問題、解決問題，使所有學生都動起來，參與到課堂活動中，凸顯學生的主體地位。

通過數學建模的思想，把線性代數的知識與實際問題相結合，將學與用有效地結合起來，體現數學知識的價值所在，充分調動學生學習的積極性和主動性，使學生對數學有了新的認識，同時也提高了學生學習數學的興趣。

三、總結

本文通過在高等數學和線性代數中融入數學建模思想，激發了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，培養了學生的創造性思維能力，學習效果較之前有較大的提高，為“新工科”培養創新型人才奠定了基礎。

參考文獻：

[1]林潘能.新工科背景下“高等數學”課程教學改革[J].高等教育，2019（13）：203.

[2]賀愛娟.數學建模思想與大學數學類課程教學融合的探討[J].中國電力教育，2013（31）：82-83.

編輯 馬燕萍