接觸率作為流行指數函數的SEIR模型的全局穩定性

肖冰芯，薛亞奎

(中北大學 理學院， 太原 030051)

描述傳染病傳播的數學模型是數學在生物數學中最成功的應用之一[1]，但他們是通過使用統計力學中平均理論的方法得到的。換句話說，施動者是人或者動物，粒子近似，這可能構成了數學流行病中經典方法的主要限制：參與傳染病傳播的主體不是粒子，他們的行為包括心理方面，在形成人口動態中是最重要的。這是 Capasso和Serio在70年代首次強調，但只在最近幾年清楚地認識到：人類行為包括不端行為應該被包括在傳染病蔓延的某種方式的建模上，這引發了大量的科學研究。盡管各有各的方法，但所有的這些工作都明確包括了關于傳染病的信息對病原體行為的反饋，從而反映出對目標疾病的傳播的反饋[2-7]。

我們關注的是與疾病有關的信息對健康受試者行為的影響而給出的反饋，它在文獻[2]中首次在SIR流行病模型中引入，其中，感染力被建模為感染主體比例的遞減函數。在文獻[3]中，Capasso和Serio的開創性工作得到了擴展，考慮到導致接觸率降低的行為實際上受到了傳播信息的影響，由于延遲和過去對流行病的了解，這些信息不僅反映了目前的傳播狀況，也反映了過去的傳播狀況。例如在指數衰減記憶核的情況下，存在一個唯一的地方病平衡點(EEP)，且局部穩定。

傳染病作為一種嚴重危害人類的疾病，接觸率在疾病傳播過程中發揮著重要作用，當有關的傳染病信息被媒體報道后，人們之間的接觸率會下降，從而使染病者的數量減少[8-10]。介紹了一種SEIR模型，并定義信息相關行為對疾病感染力(FoI)的影響，通過構造適當的Lyapunov函數來研究它的全局穩定性[8]。

1 模型的建立

根據倉室模型思想，建立如下的常微分方程模型：

(1)

將總人口N(t)分為4類：易感者S(t)，潛伏者E(t)，感染者I(t)和恢復者R(t)。參數b(b>0)表示人口輸入率與自然死亡率，不考慮因病死亡;易感者以比例β(M)SI感染并成為潛伏者，潛伏者以比例v(v>0)成為感染者，潛伏者和感染者的治愈率分別為r1，r2(r1，r2>0)，對感染者的治療只有一部分q是成功的，即剩下的感染者p(p=1-q)治療失敗，治療失敗的感染者重新成為潛伏者。接觸率是某一信息指標M(t)的函數[4]：

在本文中有：

(2)

函數g(I)描述的是傳染量在信息動力學中所起作用的函數。

根據模型(1)和方程(2)，得到了一個新的模型：

(3)

模型(3)的初始條件：S(0)>0，E(0)≥0，I(0)>0，M(0)≥0

(4)

對于函數β(M)和g(I)有以下假設：

(H1):β(0)>0;β(M)>0;M>0

(H2):β′(M)>0;M>0

(H3):g(0)=0;g(I)>0;I>0

(H4):g′(I)>0;I>0

2 基本再生數和平衡點的存在性

模型(3)有唯一的無病平衡點P0=(1，0，0，0)。

根據基本再生數的定義[11]，模型(3)基本再生數R0的表達式為：

(5)

定理2.1當R0>1時，模型(3)存在唯一的地方病平衡點，記為P*=(S*，E*，I*，M*)。

證明令模型(3)的方程右端均等于0，求解得

且I*的解滿足下式：

(6)

方程(6)的解可以看做是F1(I)和F2(I)的圖像在第一象限的交點

使用假設(H1)和(H3)，及(5)中R0的表達式，可得

(7)

計算F1(I)的導數有

3 平衡點的穩定性

對于負反饋模型，使用以下的Lyapunov型函數[12-13]

(8)

使用假設(H1)和(H2)，可以驗證函數U(M)在M=M*有一個全局最小值，并且滿足U(M)≥U(M*)當且僅當M=M*時取“=”。

使用Volterra型Lyapunov函數：

V(x)=x-1-lnx

(9)

函數V(x)在x=1有一個全局最小值，且滿足V(x)≥V(1)，當x=1時，兩邊相等。

β(M)滿足假設(H1)和(H2)，對易感者的接觸率β(M)進行了如下假設：

(H5): (Mβ(M))′>0,M>0。

引理3.1假設(H2)和(H5)成立，則

3.1 無病平衡點

定理3.1當R0<1時，模型(3)的無病平衡點P0在可行域Γ內是全局漸近穩定的。

證明令WS=V(S)，計算WS(S)的導數，得到

(10)

(11)

定義Lyapunov函數W:{(S，E，I，M)∈?！肧>0}→R

W(S，E，I，M)=cWS+cWei

(12)

其中，c∈R+，將上式相加得到W的導數：

由假設(H2)可知β(M)<β(0)

3.2 地方病平衡點

在特定條件g(I)=ωI下，證明地方病平衡點P*的全局穩定性。

定理3.2當R0>1時，模型(3)的地方病平衡點P*在可行域Γ內是全局漸近穩定的。

證明在EEP點，有

b=bS*+I*S*β(M*)

(13)

(14)

(15)

M*=ωI*

(16)

(17)

(18)

(19)

令Lm=U(M)，將式(16)代入，有：

(20)

構造Lyapunov函數

(21)

其中k∈R+，計算上式的導數，有

(22)

將式(17)～(19)代入式(22)，有：

(23)

式(23)中方括號之間的項是Volterra型函數，這些函數是正定的。

4 數值模擬和討論

利用Matlab對研究的流行病模型進行數值模擬，驗證模型(3)的無病平衡點及地方病平衡點的穩定性，考慮如下的情形：

取初始值S(0)=0.34，E(0)=0.31，I(0)=0.14，R(0)=0.21。

圖1表示了無病平衡點的穩定性。當R0<1時，無病平衡點P0在可行域Γ內是全局漸近穩定的。通過合理提高潛伏期人群的治愈率和降低治療失敗的比例可以發現：R0減小有效地縮短了疾病趨于消亡的時間。

b=0.03，β(0)=0.05，v=0.04，r1=0.006，r2=0.003，p=0.01，q=0.99

圖2表示了地方病平衡點的穩定性。當R0>1時，在特定條件g(I)=ωI下，地方病平衡點P*在可行域Γ內是全局漸近穩定的。通過合理提高潛伏期人群的治愈率和降低治療失敗的比例可以發現：R0減小有效地縮短了疾病趨于穩定的時間。

b=0.003，β(0)=0.05，v=0.04，r1=0.01，r2=0.008，p=0.01，q=0.99

5 結論

研究了一種具有信息變量M的SEIR模型(3)，一個對易感對象行為β(M)的負反饋，以及一個描述傳染規模在信息動力學g(I)中所起作用的函數，給出了基本再生數R0，分析了無病平衡點P0及在特定條件下地方病平衡點P*的全局穩定性。

模型(3)地方病平衡點存在和唯一性的一個重要的流行病學結果是分析信息相關行為對感染力的抑制作用。信息的作用：① 增加易感者的平衡數量；② 減少感染和潛伏者的平衡數量；③ 使易感者增強防范意識，增強自身免疫力；④ 降低治療失敗的比例率，確保每位患者都痊愈再停止治療措施。