一類具有非線性發病率的隨機SIRS模型的漸近行為

李婷婷，薛亞奎

(中北大學 理學院， 太原 030051)

傳染病動力學的研究，在幫助我們理解傳染病的傳播機制和對疾病的有效防控方面做出了貢獻。而數學模型是研究傳染病動力學行為的有效工具，通過建立模型對其進行分析，可以預測疾病變化的發展趨勢，從而制定科學合理的預防措施[1]。

近年來，許多學者通過引入隨機波動，將經典的傳染病模型從確定性模型轉變為隨機模型，利用隨機微分方程進行傳染病動力學的建模[2-7]。Allen[8]介紹了多種類型的隨機微分方程流行病模型的推導方法。Jiang等[9]研究了一個具有兩類隨機擾動的DI-SIR傳染病模型，說明了兩個隨機模型的長時間行為。Korobeinikov等[10]研究了非線性發病率對流行病模型的動力學影響，在總規模不變的情況下，發病率相對于感染人數的凹形是穩定性的一個充分條件。Gray等[11]建立了一個SDE SIS流行病模型，證明了該模型具有唯一的全局正解，并為傳染病的滅絕和持續建立了條件。Zhao等[12]研究了一類帶有免疫接種的隨機SIS流行病模型的動力學性質，討論了噪聲大小對疾病是否流行的影響。Lahrouz等[13]研究了在不同規模人口中具有非線性發病率的隨機SIRS流行病模型，得到了滅絕和存在唯一平穩分布的充分條件。張等[14]分析了媒體報道和隨機噪聲共同影響的傳染病模型的隨機滅絕。Yang等[15]研究了疾病傳播系數和移出率都受噪聲影響的隨機SIRS模型，證明了隨機模型具有唯一正解，并為疾病的滅絕和持續創造了條件。Liu等[16]研究了帶有免疫接種的隨機時滯SIR流行病模型的閾值動力學，得到了這種疾病滅絕和持續的充分條件，并給出了隨機模型滅絕和持續的閾值。

由于各種原因，均勻混合的基本假設可能并不總是成立。在這種情況下，必要的種群結構和異質性混合可以被納入一個具有非線性發病率的流行病模型。研究發現，具有非線性發病率的流行病模型比具有雙線性或標準發病率的流行病模型具有更復雜的動力學特性。

如果疾病的發病率是非線性發病率βSI/ψ(I)，可建立如下SIRS傳染病模型：

(1)

式中：Λ為出生率，μ為自然死亡率，γ為感染個體的恢復率，δ為恢復個體喪失免疫功能而恢復到易感人群的比率，β為傳播率，ε為因病死亡率，βSI/ψ(I)為發病率，其中ψ(I)滿足ψ(0)=1，ψ′(I)≥0。上述參數均為非負。

(2)

式中：B(t)是強度為σ2>0的標準布朗運動。

首先，給出了模型(2)的一個閾值，進而分別在第2節與第3節得到了疾病滅絕與疾病持續的充分條件；其次，基于數值模擬驗證了這些結論；最后，給出了一些結論。

是模型(2)的一個正向不變集。

1 疾病滅絕

本節研究疾病滅絕的條件，令

式中，R0為確定性模型(1)的基本再生數。

為方便起見，引入符號：

證明模型(2)積分得到

(3)

根據式(3)，可得

(4)

由式(4)可得

(5)

其中

(6)

模型(2)第2式由伊藤公式可得

對上式從0到t積分，并且兩邊同時除以t，得到

(7)

將式(5)代入式(7)得

(8)

其中

由鞅的大數定理和式(6)可知

(9)

根據式(7)，得到

即

(10)

根據模型(2)，通過求解d(S+I+R)/dt=Λ-μ(S+I+R)-εI得

2 疾病持續

(11)

成立，則對于任意初值(S(0)，I(0)，R(0))∈Γ*，模型(2)的解(S(t)，I(t)，R(t))具有如下性質

(12)

其中

(13)

證明根據式(8)的最后一個等式，有

(14)

將式(14)改寫為

若滿足式(11)，根據式(9)和文獻[7]附錄中引理A.2，可得

(15)

將式(5)代入式(7)，則

(16)

根據式(6)和式(9)，取式(16)兩邊的下限得

(17)

因此，根據式(15)和式(17)得到式(12)。證明完畢。

3 數值模擬和討論

為了驗證以上結果，使用文獻[18]中的方法對模型(1)和(2)的解進行數值模擬。選擇相同的初值(S(0)，I(0)，R(0))=(0.9，0.1，0)，且ψ(I)=1+αI2。選擇模型(2)的參數如下：Λ=1，β=0.1，μ=0.2，γ=0.1，δ=0.25，ε=0.05，α=0.001。

圖1 疾病滅絕曲線

圖2 疾病持續曲線

4 結論