一類SIS隨機(jī)傳染病模型的動(dòng)力學(xué)分析

史佩文，喬志琴

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

1 模型介紹

傳染病種群動(dòng)力學(xué)模型[1-2]在分析流行病學(xué)和傳染病控制方面發(fā)揮了非常重要的作用。對(duì)于很多傳染病，如乙型肝炎、梅毒、艾滋病、風(fēng)疹、水痘、麻疹、肝炎、小兒麻痹癥、腮腺炎等，被感染的母體在生育時(shí)傳染給新生兒是這類傳染病的主要傳播方式之一，俗稱垂直傳播。為此，研究者建立了具有垂直傳播的傳染病模型[3-5]，并分析了此類系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。考慮了一類具有垂直傳播和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的傳染病種群模型：

(1)

式中：S(t)、I(t)分別表示易感者、染病者在t時(shí)刻的種群數(shù)量，Λ為種群輸入率，b為種群自然出生率，μ為種群自然死亡率，α為染病者的因病死亡率，γ為染病者的恢復(fù)率，β為易感者與染病者的有效接觸率，p(0≤p≤1)為染病者的下一代仍是染病個(gè)體的概率，則1-p為染病者的下一代是易感者的概率，且Λ，b，μ，α，γ，β>0。將種群總規(guī)模表示為N(t)S(t)+I(t)，由系統(tǒng)(1)可得

本文以下假設(shè)μ-b>0。系統(tǒng)(1)的流程(其中p+q=1)如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(1)的流程示意圖

隨機(jī)模型的使用能夠更好地預(yù)測(cè)和控制傳染病的傳播，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者研究了隨機(jī)生物學(xué)模型和隨機(jī)傳染病模型[6-11]。而模型中加入隨機(jī)擾動(dòng)的方法不唯一，目前國(guó)內(nèi)外的研究工作中最常考慮的有兩種方法：第1種是對(duì)模型中的參數(shù)加入擾動(dòng)，如擾動(dòng)感染率、出生率和死亡率；第2種是對(duì)系統(tǒng)中的各狀態(tài)人群分別進(jìn)行整體擾動(dòng)，由于人群數(shù)量越大，其不確定性也越大，因此通常會(huì)考慮白噪聲擾動(dòng)與狀態(tài)人群成正比。考慮第2種環(huán)境白噪聲對(duì)傳染病傳播的影響，得到模型如下：

(2)

2 統(tǒng)全局正解的存在唯一性和平穩(wěn)分布

選取一個(gè)非負(fù)的C2函數(shù)H(S，I)=(S-1-lnS)+(I-1-lnI)，利用It公式得

dH(S(t)，I(t))=LHdt+σ1(S-1)dB1(t)+σ2(I-1)dB2(t)

其中，

式中K是一個(gè)獨(dú)立于S，I，t的正常數(shù)，則有dH(S(t)，I(t))≤Kdt+σ1(S-1)dB1(t)+σ2(I-1)dB2(t)。

對(duì)上面不等式兩端在區(qū)間[0，T∧τk]上積分，可得

H(S(T∧τk)，I(T∧τk))≤H(S(0)，I(0))+K(T∧τk)+

E(H(S(T∧τk)，I(T∧τk)))≤H(S(0)，I(0))+K(T∧τk)≤H(S(0)，I(0))+KT<∞

下面將用Has’minskii的相關(guān)理論[13]來獲得隨機(jī)系統(tǒng)(2)的遍歷平穩(wěn)分布，來分析此傳染病在什么條件下將會(huì)持續(xù)下去。

(3)

引理1[13]若存在一個(gè)具有正則邊界的有界區(qū)域D?R2，滿足以下條件：

2) 對(duì)任意的x∈R2D，存在一個(gè)非負(fù)的C2函數(shù)使得LV是負(fù)的；

dV1(t)=LV1(t)dt+σ1(S-a1)dB1(t)+σ2(I-a2)dB2(t)

其中

dV2(t)=LV2(t)dt+(S+I)θ[σ1SdB1(t)+σ2IdB2(t)]

其中

3 傳染病的滅絕

證明:利用It公式和系統(tǒng)(2)得方程兩邊在區(qū)間[0，t]積分之后，再同時(shí)除以t得

4 數(shù)值模擬

本節(jié)中用Matlab繪圖來闡明白噪聲對(duì)系統(tǒng)(2)的影響，作圖方法參見相關(guān)文獻(xiàn)[14]。取參數(shù)Λ=0.1，β=0.7，μ=0.2，b=0.1，α=0.4，p=0.5，γ=0.1，選取初值(S(0)，I(0))=(0.8，0.2)，此時(shí)R0=1.076 9>1，確定性模型(1)中的傳染病持續(xù)。下面選取不同的白噪聲強(qiáng)度來觀察白噪聲強(qiáng)度對(duì)隨機(jī)傳染病傳播的影響。

圖2 σ1=0.1，σ2=0.1時(shí)隨機(jī)系統(tǒng)(2)的解曲線(a)和隨機(jī)模型(2)存在的平穩(wěn)分布所對(duì)應(yīng)的頻率直方圖((b)(c))

圖3 當(dāng)σ1=0.2，σ2=0.5時(shí)隨機(jī)模型(2)中傳染病滅絕，此時(shí)對(duì)應(yīng)的確定性模型傳染病持續(xù)曲線

圖時(shí)系統(tǒng)(2)中傳染病持續(xù)曲線

下面觀察白噪聲強(qiáng)度從弱到強(qiáng)改變時(shí)對(duì)系統(tǒng)(2)的影響，選取σ1=0.01，σ2=0.01，如圖5(a)所示；再選取σ1=0.1，σ2=0.1，如圖5(b)所示；最后，選取σ1=0.2，σ2=0.2，如圖5(c)所示，在這3組參數(shù)下，系統(tǒng)(2)中傳染病均持續(xù)，可以看出當(dāng)噪聲強(qiáng)度非常小的時(shí)候，系統(tǒng)(2)幾乎可以忽略噪聲的影響，此時(shí)與確定性模型差別不大，但隨著白噪聲強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)(2)解曲線的波動(dòng)會(huì)變大。

圖5 白噪聲強(qiáng)度由弱到強(qiáng)時(shí)對(duì)系統(tǒng)(2)狀態(tài)解的影響曲線