對一道經(jīng)典求極限問題的思考

李國強

(貴州財經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引 言

極限是微積分的理論基礎(chǔ)，[1]也是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)原因. 因此，極限問題是大學(xué)數(shù)學(xué)競賽、考研數(shù)學(xué)等考試中必考內(nèi)容之一.[2]計算極限的方法很多，包括直接代入法、兩個重要極限、等價無窮小轉(zhuǎn)換、洛必達(dá)法則、泰勒展開和拉格朗日中值定理等，很多時候需要這些方法同時交錯進行. 筆者通過一道經(jīng)典極限計算問題，一步步減弱題目中的條件，探討新方法的適用性.

1 原始問題及其變形

要考慮的問題為

這里不急于解決該問題，我們先由強到弱改變題目中的條件.

解：

解：f(x)在x=0處展開：

所以，

由于x→0時，x～ex-1，所以o(x3)=o((ex-1)3)，

從而

故

接下來有很多種方法可用，這里筆者采取對分子因式分解，然后利用等價無窮小量轉(zhuǎn)化.

所以

注意，由于變形2中的條件比變形1中的弱，所以變形2中的方法仍然適用于變形1.

分析：該變形中的條件再次減弱，f(x)的三階導(dǎo)數(shù)不一定存在，故不能采用泰勒展開的方法. 可先進行一次洛必達(dá)法則，觀察會出現(xiàn)什么情況.

注意，變形3中的方法適用于變形1和變形3.

下面來看原始問題即變形4.

解：先用拉格朗日中值定理

所以

注意，變形4中方法適用于變形1、變形2和變形3.

結(jié) 論

原始題目的條件由強到弱經(jīng)歷了三次改變，每次改變所用的解法都適用于前面的變形. 針對不同的條件，靈活運用了幾乎所有的求極限技巧. 比起一題多解，這種討論問題的方式更加能夠訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，[3]加深學(xué)生對數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性、奧妙性的認(rèn)識.