斜互反多項式的階

朱帥櫻,范逸鵬,謝 濤

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

1 引言與預備引理

在本文我們用Fq表示階為q的有限域,用Fq[x]表示在Fq上的多項式所構成的集合，并用def(f(x))表示這個多項式的次數.在文獻[1]中Rudolf Lidl、Harald Niederreiter和P.M. Cohn給出了多項式的階的定義,即:f(x)∈Fq[x]為非零多項式，若f(0)≠0,則滿足f(x)|xe-1的最小正整數e,稱為f(x)的階,記為ord(f(x))；若f(0)=0,則有f(x)=xhg(x),其中h∈,g(x)∈Fq[x],g(0)≠0,則記ord(f(x))=ord(g(x)).并且文獻[1]中作者還提出了互反斜多項式的定義，即:

定義1：[1]設

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Fq[x],其中an≠0.

由此本文在f*(x)定義的基礎上提出了f(x)的斜互反多項式的定義,即:

在文獻[1]中作者得出了ord(f(x))與ord(f*(x))之間的關系,即：

引理1[1]：設f(x)Fq[x]為上的一個非零多項式，且f*(x)為f(x)的互反多項式，則有ord(f(x))=ord(f*(x)).

下面給出本文需要的有關引理.

引理2[1]:設c為正整數,且多項式f(x)∈Fq[x],f(0)≠0,則f(x)|xc-1當且僅當ord(f(x))|c.

引理3[1]:設非零多項式g1(x),g2(x),…,gk(x)∈Fq[x],且(gi,gj)=1,1≤i,j≤k.令f(x)=g1(x)g2(x)…gk(x),則有ord(f(x))=[ord(g1(x)),…,ord(gk(x))].

2 斜互反多項式的階

兩邊同時乘以xn可得

整理得

可得

故有

整理得

當e=h,其中h為奇數時,則由f(x)|xe-1可知

故有

由e為奇數可知

當e=2h,其中h為奇數時.先設f(x)=gb(x),其中g(x)為不可約多項式.由f(x)|x2h-1

可知f(x)|(xh-1)(xh+1).

又f(x)不整除xh-1(若f(x)|xh-1則有ordf(x)|h,但由于ord(f(x))=2h,矛盾),因此有

f(x)|xh+1.

兩邊同時乘以(-1)nxn可得

整理得

ord(f(x))=[ord(g1(x)),…,ord(gk(x))].

再考慮f(0)=0的情況,此時f(x)=xhg(x)，g(0)≠0.由定義1可知

ord(f(x))=ord(g(x)).