斜互反多項(xiàng)式的階

朱帥櫻,范逸鵬,謝 濤

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

1 引言與預(yù)備引理

在本文我們用Fq表示階為q的有限域,用Fq[x]表示在Fq上的多項(xiàng)式所構(gòu)成的集合，并用def(f(x))表示這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).在文獻(xiàn)[1]中Rudolf Lidl、Harald Niederreiter和P.M. Cohn給出了多項(xiàng)式的階的定義,即:f(x)∈Fq[x]為非零多項(xiàng)式，若f(0)≠0,則滿足f(x)|xe-1的最小正整數(shù)e,稱為f(x)的階,記為ord(f(x))；若f(0)=0,則有f(x)=xhg(x),其中h∈,g(x)∈Fq[x],g(0)≠0,則記ord(f(x))=ord(g(x)).并且文獻(xiàn)[1]中作者還提出了互反斜多項(xiàng)式的定義，即:

定義1：[1]設(shè)

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Fq[x],其中an≠0.

由此本文在f*(x)定義的基礎(chǔ)上提出了f(x)的斜互反多項(xiàng)式的定義,即:

在文獻(xiàn)[1]中作者得出了ord(f(x))與ord(f*(x))之間的關(guān)系,即：

引理1[1]：設(shè)f(x)Fq[x]為上的一個(gè)非零多項(xiàng)式，且f*(x)為f(x)的互反多項(xiàng)式，則有ord(f(x))=ord(f*(x)).

下面給出本文需要的有關(guān)引理.

引理2[1]:設(shè)c為正整數(shù),且多項(xiàng)式f(x)∈Fq[x],f(0)≠0,則f(x)|xc-1當(dāng)且僅當(dāng)ord(f(x))|c.

引理3[1]:設(shè)非零多項(xiàng)式g1(x),g2(x),…,gk(x)∈Fq[x],且(gi,gj)=1,1≤i,j≤k.令f(x)=g1(x)g2(x)…gk(x),則有ord(f(x))=[ord(g1(x)),…,ord(gk(x))].

2 斜互反多項(xiàng)式的階

兩邊同時(shí)乘以xn可得

整理得

可得

故有

整理得

當(dāng)e=h,其中h為奇數(shù)時(shí),則由f(x)|xe-1可知

故有

由e為奇數(shù)可知

當(dāng)e=2h,其中h為奇數(shù)時(shí).先設(shè)f(x)=gb(x),其中g(shù)(x)為不可約多項(xiàng)式.由f(x)|x2h-1

可知f(x)|(xh-1)(xh+1).

又f(x)不整除xh-1(若f(x)|xh-1則有ordf(x)|h,但由于ord(f(x))=2h,矛盾),因此有

f(x)|xh+1.

兩邊同時(shí)乘以(-1)nxn可得

整理得

ord(f(x))=[ord(g1(x)),…,ord(gk(x))].

再考慮f(0)=0的情況,此時(shí)f(x)=xhg(x)，g(0)≠0.由定義1可知

ord(f(x))=ord(g(x)).