結構損傷識別的廣義均布載荷面法

趙建剛 張玉祥 陳家照 姜勰

摘要： 針對多數情況下受損結構的損傷前參數無法獲得，且實際中結構高階模態較難獲取的問題，從理論上推導并提出廣義均布載荷面的損傷識別方法。分別構建廣義均布載荷面曲率和基于最小二乘多項式擬合廣義均布載荷面曲率的損傷指標。以兩端固支的T型簡支梁為例，數值分析和對比柔度曲率、均布載荷面曲率、廣義均布載荷面曲率和基于最小二乘多項式擬合廣義均布載荷面曲率四種指標的損傷識別效果，結果表明：上述四種指標均只需低階模態參數就可識別出損傷，但后三種指標的識別效果優于第一種;廣義均布載荷面曲率指標比均布載荷面曲率指標截斷誤差小，并具有一定的抗噪性;只有基于最小二乘多項式擬合廣義均布載荷面曲率指標只需結構損傷后的參數，更具有實際應用價值。

關鍵詞： 損傷識別; 廣義均布載荷面; 最小二乘多項式; 截斷誤差; 抗噪性

中圖分類號： O327; V214.3+7 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2021）05-0987-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.05.012

引 言

近年來，結構損傷識別作為結構健康監測的關鍵技術，逐漸成為人們研究的熱點。早期基于動力特性結構的損傷識別，主要是根據結構損傷導致結構剛度變化，進而引起結構模態參數（模態頻率和模態振型）的改變這一特性來識別損傷[1]。研究發現，在實際環境中可以從結構的振動信號中以較高精度提取出模態振型和頻率[2]。然而單一的頻率或是振型對損傷識別的敏感程度并不是很高，于是基于結構固有頻率或固有頻率和振型組合的指標被提出并應用于實際的損傷識別中。其中，研究較多的有模態應變能[3?4]、模態柔度差[5]、模態柔度曲率[6?7]、廣義柔度法[8?9]、均布載荷面法等。Sung等[10]基于歐拉?伯努利梁理論首次提出使用均布載荷面的損傷識別方法，對一簡支梁進行了識別。Jung等[11]基于均布載荷面提出歸一化的均布載荷面曲率損傷識別指標，并分別采用該方法與均布載荷面法、柔度矩陣法對簡支梁進行損傷識別，數值對比分析發現所提指標需要結構損傷后較高階的模態參數，并對損傷更敏感，識別效果更好。余建新等[12]針對飛艇骨架結構中損傷引起的模態躍遷現象導致無法通過匹配損傷前后動態特性參數變化來識別損傷的難題，給出了模態振型曲率法、均布載荷面曲率法和虛擬軸向應變法等三種只基于損傷后振動響應信息進行損傷識別的動態方法。結果表明新損傷識別方法對損傷敏感，在環境噪聲工況下能準確識別和定位單個和多個損傷桿件。上述的研究方法均能識別出損傷，同時識別出結構損傷的位置和程度。但這些方法一般不是需要結構損傷前的信息，就是需獲得結構的高階模態，或是兩者兼有，這樣較難在實際中得到應用。

結合以上分析，本文提出廣義均布載荷面法，建立基于最小二乘擬合多項式的廣義均布載荷面曲率（Least squares polynomial fitting General uniform load surface Curvature，LGC）損傷識別指標，該指標只需損傷結構的低階模態參數就可以得到良好的損傷識別效果。文中以一兩端固支的T型簡支梁為例，對比分析模態柔度曲率（Modal Flexibility Curvature，MFC）、均布載荷面曲率（Uniform Load Surface Curvature，ULSC）、廣義均布載荷面曲率（General Uniform Load Surface Curvature，GULSC）和基于最小二乘擬合的廣義均布載荷面曲率四種指標的損傷識別效果。結果表明，四種指標均可以在獲得結構低階模態參數情況下就能識別出單損傷和多損傷，均布載荷面曲率要比模態柔度曲率識別效果好，廣義均布載荷面曲率比均布載荷面曲率的截斷誤差更小，而只有基于最小二乘擬合的廣義均布載荷面曲率法不需要結構損傷前的信息，所以其更具有優越性和實際應用價值。

1 理論基礎

1.1 基于模態柔度曲率（MFC）的損傷指標

根據無阻尼自由振動的結構動力學方程，將模態振型針對質量矩陣做歸一化處理后，可得到其柔度矩陣表達式如下[13]

式中 為結構振型矩陣，Λ為結構固有頻率平方的對角矩陣，m為模態階數，為第r階的固有頻率，為第r階對質量矩陣做歸一化后的模態振型。根據中心差分的思想，通過模態柔度矩陣F得到結構損傷前后模態柔度曲率矩陣和，其矩陣中的元素計算如下：

1.2 基于均布載荷面曲率（ULSC）的損傷指標

根據有限元分析可知，柔度矩陣F可表示為：

式中 ;為結構上的節點編號，的物理意義為結構上點在單位載荷作用下點產生的撓度，即柔度在點的大小。

根據文獻[14]可知，均布載荷面為結構在單位載荷作用下所產生的撓度變形。對于線性系統，結構在單位載荷作用下，在節點處產生撓度為

1.3 基于廣義均布載荷面曲率（GULSC）的損傷指標

根據文獻[8]，廣義柔度矩陣的表達式如下

對比式（6），（7）和（8）發現，均布載荷面是由柔度矩陣衍生而來，柔度矩陣中的元素表示結構上某一節點上受到單位載荷作用時在另一節點上產生的撓度;而均布載荷面中的元素表示整體結構受到單位載荷作用時，在某一點處產生的撓度總和。廣義均布載荷面與均布載荷面表達形式相似，區別在于均布載荷面與結構固有頻率的平方成反比，而廣義均布載荷面與結構固有頻率的四次方成反比。這說明廣義均布載荷面的損傷識別指標更加收斂于低階模態，高階模態對廣義均布載荷面的計算精度影響更小，更適用在實際中只能獲得結構低階模態參數的情況。

當結構出現損傷時，損傷部位的特性將會發生較大變化，而對該變化反應最敏感的就是結構的曲率，本文則是通過曲率變化來判斷損傷。由有限元和結構動力學知識可知，若結構有損傷，則損傷單元對應節點處的振型會有較大變化，進而使均布載荷面產生變化，因此可以用該節點處廣義均布載荷面的曲率變化來識別損傷。根據中心差分法，結構上各節點處的廣義均布載荷面曲率為

式中 為結構上兩節點之間的距離。于是得到結構的廣義均布載荷面曲率損傷識別指標

式中 為完好結構的廣義均布載荷面曲率，為損傷結構的廣義均布載荷面曲率。

1.4 基于最小二乘多項式擬合廣義均布載荷面曲率（LGC）的損傷識別指標

根據1.3節廣義均布載荷面曲率法識別結構損傷的原理，GULSC曲線在結構的損傷位置處會產生突變，而完好結構的GULSC曲線在該處是光滑的，沒有突變。因此，可以利用結構的非損傷位置點，通過最小二乘多項式來擬合一條光滑的曲線，用來表征完好結構的GULSC曲線。

通過計算方程組得到擬合的完好結構廣義均布載荷面曲率曲線，與損傷結構的廣義均布載荷面曲率曲線，于是得到新的損傷指標

2 算例分析

本文以兩端固支的T型簡支梁為研究對象，梁截面參數為，，，，;長度為2 m，劃分為等長的20個單元，其有限元模型如圖1所示。圖中圓圈中的數字代表單元編號，下排數字為節點編號。材料為普通鋼，彈性模量 Pa，密度為7850，泊松比為0.3。結構損傷以單元剛度的降低來模擬。通過ABAQUS有限元方法計算結構在無損傷和各種損傷情況下的前三階模態參數。

2.1 最小二乘多項式擬合曲線的選擇

考慮梁結構中單元8損傷50%情況下，得到單一損傷結構的GULSC曲線，采取最小二乘多項式來擬合該曲線上未損傷單元的節點數據對，擬合次數依次為2次、3次和4次，結果如圖2（a）所示。通過擬合發現，當擬合次數為4時，擬合曲線通過除損傷單元的節點（節點8和節點9）外的其他所有節點，因此選4作為最小二乘多項式的擬合次數。

為了驗證所選擬合次數的合理性，考慮單元8和單元16均損傷50%情況下最小二乘多項式曲線的擬合情況，如圖2（b）所示;發現4次多項式依舊能夠很好地通過除損傷單元節點（節點8和節點9，節點16和節點17）外的其他節點，說明所選最小二乘4次多項式曲線是正確的。

2.2 損傷識別

2.2.1 單損傷識別

考慮T型簡支梁中單元8分別在10%，20%和30%不同的損傷程度下，對比分析MFC，ULSC，GULSC和LGC四種指標的損傷識別情況，如圖3所示。

圖3中（a），（b），（c）和（d）分別是單元8損傷的MFC，ULSC，GULSC和LGC四種損傷指標曲線。從圖3看出：四種損傷指標都可以準確識別出單損傷位置;隨著結構損傷程度增大，損傷指標值也增大，都可以相對地反映出損傷程度大小。

對比圖3（a）和（b）可以看出：MFC曲線在損傷單元周邊存在小的峰值，這樣容易引起對損傷位置的誤判;而ULSC曲線只在損傷位置存在峰值，其他周邊曲線較為平坦，很容易看出損傷位置;所以對于損傷位置的判斷，均布載荷面曲率法要優于模態柔度曲率法。在同一損傷程度下，MFC曲線峰值比ULSC曲線峰值更接近真實值，但兩指標值均不能代表損傷的數值大小。

對比圖3（c）和（d）可以看出：LGC曲線要優于GULSC曲線對單損傷的識別，主要是因為LGC曲線在未損傷位置指標值均接近于0，而在損傷位置指標值突出明顯;且基于最小二乘的廣義均布載荷面曲率法對結構損傷識別不需要完好結構的模態參數，只要損傷結構的參數就可識別出損傷。在同一損傷程度下，LGC曲線峰值與GULSC曲線峰值相同，且以上兩損傷指標值均不能代表結構實際損傷的數值大小。

對比圖3（b）和（c）可以發現，GULSC曲線對損傷程度的反映要比ULSC曲線更接近真實值。

2.2.2 多損傷識別

多損傷狀況以單元8和單元16各損傷10%或30%來模擬，對比分析MFC，ULSC，GULSC和LGC四種指標的損傷識別，如圖4所示。

圖4中（a），（b），（c）和（d）分別是單元8和單元16損傷的MFC，ULSC，GULSC和LGC四種損傷指標曲線。從圖4（a）可以看出：模態柔度曲率法只在單元8損傷10%，單元16損傷30%時，能夠識別出多損傷;而在單元8與單元16同時損傷30%，和單元8損傷30%同時單元16損傷10%兩種工況下，模態柔度曲率法只能得到其中一個損傷的位置，并不能識別出多損傷。從圖4（b），（c）和（d）可以看出，無論單元8和單元16在何種工況下，ULSC，GULSC和LGC三種指標均能準確識別出多損傷位置，并且能夠相對給出損傷程度的大小。對比上圖發現，圖4（d）的多損傷位置最明顯，即最小二乘擬合廣義均布載荷面曲率法對多損傷的識別效果最好。

分別對比圖3（a）和（b），圖4（a）和（b），且根據以上理論和數值分析可得：均布載荷面法是在柔度矩陣法概念的基礎上衍生而來，從物理意義上講柔度法是均布載荷面法的特例;對于損傷的識別效果，無論單損傷還是多損傷，均布載荷面法的識別效果絕對好于柔度矩陣法。

2.3 截斷誤差分析

由于廣義均布載荷面的表達式與均布載荷面的表達式相似，且廣義均布載荷面與均布載荷面具有相同的物理意義。為了更好地對比廣義均布載荷面法與均布載荷面法的損傷識別效果，下面討論兩種指標各自的截斷誤差。由公式（7）計算得到的均布載荷面與根據實際結構施加靜載荷時獲得的均布載荷面之間的差距最小時所需要的模態階數和頻率帶寬的研究，稱為截斷誤差分析[15]。同理由公式（12），可進行廣義均布載荷面的截斷誤差分析。根據定義，損傷指標的截斷誤差可表示為

式中 T為實際環境下得到的損傷指標真實值，t為用公式計算得到的損傷指標值。

以單元8損傷30%的工況為研究對象，進行ULSC和GULSC的截斷誤差分析，如圖5和6所示。

圖5是結構1階模態損傷指標曲線，其中紅色實線代表GULSC指標采用1階模態參數識別的結構損傷，黑色虛線代表ULSC指標采用1階模態參數識別的結構損傷。可以看到GULSC的損傷指標值在0.14附近，而ULSC的損傷指標值大約在0.12。為判斷以上哪種方法的結果更靠近實際的真實值，數值分析了前100階模態的損傷指標值，并以此來代表實際環境下真實的損傷指標值T。

進一步比較兩種方法優劣，分別采用廣義均布載荷面法和均布載荷面法計算了結構前1階到前10階的損傷指標值，得到截斷誤差曲線如圖6所示。從圖中可以明顯看出，任何階數下GULSC指標的截斷誤差都要小于ULSC指標的截斷誤差;且GULSC指標的截斷誤差曲線在前三階時數值基本為0，說明GULSC指標相比ULSC指標更收斂于低階，廣義均布載荷面曲率法的損傷計算結果比均布載荷面法的損傷計算結果更靠近實際的真實值。

2.4 抗噪性能分析

針對廣義均布載荷面曲率損傷指標的抗噪性能，對指標輸入參數分別加入了0.5%，1%和1.5%的白噪聲，來模擬環境噪聲對GULSC損傷指標識別效果的影響，其數值分析結果如圖7和8所示。

圖7是當簡支梁結構上單元8損傷30%時，GULSC損傷指標在無環境噪聲和環境噪聲分別為0.5%，1.0%，1.5%情況下的識別效果曲線。從圖中可以看出，GULSC指標進行結構單損傷識別時，對環境噪聲具有較好的抗噪性能，在噪聲水平1.5%情況下依然能很好地識別出損傷。

圖8是當簡支梁結構上單元8和單元16同時損傷10%時，GULSC損傷指標在無環境噪聲和環境噪聲分別為0.5%，1.0%，1.5%情況下的識別效果曲線。從圖中可以看出，GULSC指標進行結構多損傷識別時，對環境噪聲具有較好的抗噪性能。當噪聲水平達到1.5%時，損傷識別曲線波動較多，該指標此時識別多損傷存在一定的困難。

通過以上分析可知：無論單損傷還是多損傷，GULSC指標都可以在環境噪聲水平1%以內很好地識別出損傷，具有一定的抗噪性能;其有噪聲影響的損傷識別效果曲線與無噪聲影響的損傷識別效果曲線基本重合，說明該指標魯棒性較好。

3 結 論

本文根據實際中結構的高階模態參數較難獲得，選用了只需低階模態參數的模態柔度法和由其衍生的均布載荷面法進行損傷識別，并在均布載荷面法的基礎上推導并提出了廣義均布載荷面方法。針對結構出現損傷后，結構損傷前的參數無法得到問題，建立了基于最小二乘多項式擬合廣義均布載荷面曲率的指標用于損傷識別。應用以上四種方法的指標對一T型簡支梁進行了數值對比分析，得到了以下結論：

（1）四種損傷指標均只需結構的低階模態參數就能實現對結構損傷的識別，不但可以識別出損傷位置，而且可以給出損傷程度的大小。

（2）對比模態柔度法和均布載荷面法發現：MFC指標可以實現單損傷識別，但對于多損傷會出現誤判;而ULSC指標無論單損傷還是多損傷均能很好地識別出來。因此，ULSC指標的損傷識別效果優于MFC指標。

（3）通過誤差對比分析發現，廣義均布載荷面的截斷誤差遠小于均布載荷面，GULSC的指標優于ULSC指標。且GULSC的截斷誤差在前三階模態時就基本接近于0，損傷識別的指標值更靠近真實值。

（4）通過對GULSC損傷指標的抗噪性能分析發現，當環境噪聲水平在1%以內，廣義均布載荷面的損傷識別方法具有較好的魯棒性。

（5）建立的LGC指標可以不需要結構損傷前的模態參數，且和其他三種指標對比發現，LGC指標損傷識別效果更明顯，更具有實際應用價值。

參考文獻：

[1] Doebling S W. Damage identification and health monitoring of mechanical systems from changes in their vibration characteristics： A literature review[R]. Los Alamos National Report LA-13070-MS， 1996.

[2] Peeters B， Roeck G D. Preference-based stochastic subspace identification for output-only modal analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 1999，13（6）：855-875.

[3] Hu Huiwei， Wu Chengbo， Lu Weijun. Damage detection of circular hollow cylinder using modal strain energy and scanning damage index methods[J]. Computers and Structures， 2011， 89（1）：149-160.

[4] 張效忠，姚文娟. 基于敏感模態單元應變能法結構損傷識別[J]. 中南大學學報（自然科學版），2013，44（7）：3014-3023.

Zhang Xiaozhong， Yao Wenjuan. Structural damage identification based on strain energy method of sensitive modal element[J]. Journal of Central South University （Natural Science Edition）， 2013，44（7）：3014-3023.

[5] Pandey A K，Biswas M. Damage detection in structures using changes in flexibility[J]. Journal of Sound and Vibration，1994，169（1）：3-17.

[6] Lu Q，Ren G，Zhao Y. Multiple damage location with flexibility curvature and relative frequency change for beam struetures[J]. Journal of Sound and Vibration， 2002，253（5）：1101-1114.

[7] 徐宏文，李 寧，謝永健. 基于模態曲率曲線擬合的板結構損傷識別研究[J]. 工程抗震與加固改造，2018，40（4）：16-20.

Xu Hongwen， Li Ning， Xie Yongjian. Damage identification of plate structure based on modal curvature curve fitting[J]. Seismic Engineering and Reinforcement， 2018，40（4）：16-20.

[8] Li Jing， Wu Baisheng， Zeng Q C. A generalized flexibility matrix based approach for structural damage detection[J]. Journal of Sound and Vibration， 2010，329（22）：4583-4587.

[9] 周衛東，楊秋偉，趙 衛. 基于廣義柔度和附加質量的結構損傷識別研究[J]. 機械強度，2016，38（1）：156-159.

Zhou Weidong， Yang Qiuwei， Zhao Wei. Structural damage identification based on generalized flexibility and additional mass[J]. Mechanical Strength， 2016，38（1）：156-159.

[10] Sung S H， Jung H J， Jung H Y. Damage detection for beam-like structures using the normalized curvature of a uniform load surface[J]. Journal of Sound and Vibration， 2013，332（6）：1501-1519.

[11] Jung Ho-Yeon，Sung Seung-Hoon，Jung Hyung-Jo. Experimental validation of normalized uniform load surface curvature method for damage localization[J]. Sensors， 2015，15（10）：26315-26330.

[12] 余建新，衛劍征，譚惠豐. 飛艇骨架結構動態損傷識別方法[J]. 航空學報，2016，37（11）：3385-3394.

Yu Jianxin， Wei Jianzheng， Tan Huifeng. Dynamic damage identification method of airship skeleton structure[J]. Journal of Aviation， 2016，37（11）：3385-3394.

[13] Berman A， Flannely W G. Theory of incomplete models of dynamic structures[J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal， 1971，9（8）：1481-1487.

[14] Wu D， Law S S. Damage localization in plate structures from uniform load surface curvature[J]. Journal of Sound and Vibration， 2004，276（1）：227-244.

[15] Zhang Z， Aktan A E. Application of modal flexibility and its derivatives in structural identification[J]. Research in Nondestructive Evaluation， 1998，10（1）：43-61.

作者簡介： 趙建剛（1984-），男，博士研究生。電話：（029）84743324; E-mail： zhaojgbox001@163.com

通訊作者： 張玉祥（1963-），男，教授。電話：（029）84743324;E-mail： yuxiangz@tom.com