移動局部約束結構模態特性分析

隋鑫 丁千 馬之馨

摘要： 針對摩擦塊?制動盤系統，研究移動局部約束?簡化的環形梁結構的耦合系統動力學特性。采用非光滑基函數方法對系統降維求解，并引入線性彈簧代替局部約束。將環形梁偏微分方程轉化為一組常微分方程，并結合移動載荷法的基本思想，分析移動局部約束結構的模態特性。結果表明：環形梁系統出現移動模態效應;局部約束使得模態函數出現局部峰值，剪力函數在局部約束處出現間斷，同時表征載荷的位置。

關鍵詞： 非線性振動; 局部約束; 移動模態; 非光滑基函數; 剪力

中圖分類號： O322;O327 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2021）05-0995-06

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.05.013

引 言

摩擦塊?制動盤耦合系統是高維非線性系統，尤其在考慮盤的彈性變形時，其振動方程為無窮維的偏微分方程，通常采用動力學降維的方法進行簡化。典型的動力學降維方法包括線性和非線性Galerkin法、李雅普諾夫?施密特法（L?S法）、本征正交分解法（POD法）、基于規范性理論的中心流形法等[1]。

針對非線性系統，常采用POD與固定界面模態分析方法相結合，實現系統降維[2]。綜合POD方法核心是把系統分成線性和非線性兩種子結構，利用改進POD方法，用線性約束代替非線性成分，使得系統整體降維[3]，其前提是，經過泰勒展開后的非線性作用力產生的切向剛度矩陣，在弱非線性條件下近似為零。POD方法將相關函數正交分解，得到不相關的函數組，使得高維系統擁有較少模態[4]，該方法具有更高的收斂性，能夠縮短計算時間。Lu等基于瞬態時間序列，采用近似流形的方法提出修正的POD方法，將多自由度的系統降維成兩自由度，并保留了原有的動力學行為。通過比較，改進的POD解能夠快速找到分岔點及檢測分岔曲線和均方誤差[5]。應用POD方法的計算量減少，但只適用于弱非線性系統，所以，改進方法的提出仍是局部約束系統的研究重點。

伽遼金方法適用于求解線性、非線性系統動力學方程，核心是將偏微分方程變換成一組常微分方程，系統方程可以被降維截斷成前幾階響應的疊加，而忽視高階響應的作用，伽遼金截斷的依據是系統能量主要集中在低階成分中。Barone等發現伽遼金模型的數值穩定性與投影內積的選擇有關[6]。在求解柔性盤偏微分方程時，通過伽遼金方法降維得到的多個離散系統方程可以與振子單元的常微分方程（組）聯立。Joe等采用標準伽遼金方法，考慮制動盤的正弦和余弦模態分析制動參數對系統的影響[7]。Ding等結合標準伽遼金方法和非線性伽遼金方法對轉子系統進行求解，并比較兩種方法的異同[8]。王晉麟等提出一種基于模態截斷的改進非線性伽遼金方法，并將該方法與標準伽遼金法和非線性伽遼金法比較，總結了三種方法的有效性和適用性[9]。

非光滑基函數法作為求解局部非線性的新方法，結合了動力學降維的思想和傳統伽遼金方法，對于非線性局部約束結構的求解具有精度高和快速收斂的特性。具體做法是采用線性彈簧代替局部連接處的非線性相互作用，并將與各階模態正交化后的基函數補充到伽遼金解上[10]。Brake 等指出相對于標準伽遼金法得到的傳統基函數，非光滑基函數方法需要較少的基函數實現收斂，而且計算速度更快。經過數值仿真和理論分析得出，含有局部約束的非線性系統的降階模型是可行的[11]。非光滑基函數方法是對傳統伽遼金法的一種補充。通過尋找局部約束剛度、正交化和歸一化等一系列步驟，將產生的非光滑基函數補充到前幾階傳統伽遼金振型，從而表征局部約束的位置和特點[12]。

目前，學者通常采用數值解法（主要是有限元法）和實驗方法解決制動系統移動局部約束問題。Ouyang等研究發現，移動局部約束作用將導致系統產生較強的制動噪聲;在低速情況下，盤?塊耦合系統的接觸表面載荷時變作用不容忽視;同時，制動盤振動響應受到在圓盤周向運動的移動剛性摩擦振子的影響[13]。Li等考慮接觸表面力的時變特性，建立質量?阻尼?彈簧振子模型，研究柔性盤的橫向振動;轉速恒定時，圓盤面內出現摩擦引起的粘滑振動;而且盤與塊在低速情況下出現分離?再接觸現象[14]。

本文研究局部約束疊加系統的模態特性;考慮移動局部約束作用，建立移動局部約束?環形梁模型，采用非光滑基函數方法對系統降維，分析移動局部約束結構的模態和剪力特點。

1 移動載荷法

移動載荷法是指在求解過程中，考慮載荷的實時運動的方法。選取時間單位步長和空間位移步長。對于一個等份的系統：

a） 若，即在每個時間點，載荷恰好運動到下一離散點，不需分解載荷。同理，當（為某一正整數）時，即每時刻載荷恰好運動到另一離散點時，不需分解載荷;

b） 當（為速度）時，即載荷運動到相鄰點和之間時，需要將細劃分為等份。此時，每經過時刻，載荷運動。若運動到（）點（其中），此時需要將載荷分解，且分配到和處，點載荷大小為，而點載荷大小為，如圖1所示。

2 非光滑基函數法

2.1 線性彈簧剛度選取

摩擦塊與制動盤之間存在相對運動，接觸位置存在局部載荷，根據非光滑基函數方法，可以采用線性彈簧（剛度為代替局部約束，由于制動盤的周向和徑向的振動響應遠小于外緣的橫向振動，因此采用環形梁模型做簡化模型，替代結構如圖2所示。含有線性彈簧的運動表達式為

為式（1）中的左端項。其中，T為時間，X為環形梁軸向位置，ρ為環形梁密度，A為環形梁截面面積，E為環形梁彈性模量，I為環形梁截面轉動慣量;δ為狄里克萊函數，V為局部約束軸向移動速度。以局部約束位置為分界，左端均為X[-L/2，L/2]上的響應函數。

選取線性彈簧剛度，過高的剛度值產生較小的幅值，而過低的剛度值很難準確表現出局部作用對振型的影響[10]。圖3中，選取曲線中頻率變化趨勢出現轉化拐點處的剛度值，即。

2.2 參考模態選取

通過時間和空間離散近似，響應函數可表示為

2.3 非光滑基函數形式

引入向量和的正交函數

3 局部約束疊加系統

采用非光滑基函數方法求解局部約束疊加系統模態，在簡支梁距離兩簡支端的對稱位置處分別施加局部約束，如圖4所示。通過非光滑基函數求解，得到疊加約束條件下的局部約束補充模態如圖5所示。

圖5中，局部約束模態函數保持特有的連續性，不因局部約束的存在而間斷，雖然設解函數是兩段或是多段，但是模態都是連續的。圖6中，剪力在局部約束處出現間斷，能夠反映局部約束的位置和大小，是對傳統模態方法的改進。

4 移動載荷激勵下環形梁的模態分析

4.1 模態頻率求解

計算得到的環形梁前四階頻率本征值分別為，，和，如表1所示。表中，除零階頻率（平移和旋轉頻率）外，參考函數的頻率本征值和普通基函數的值差異較小。此外，非零階固有頻率出現雙頻，即正弦模態頻率和余弦模態頻率。

通過數值解與試驗值對比，除第二階試驗中存在彎扭耦合頻率的影響外，其他階次試驗值與真實值之間的差異較小，驗證了數值模型的準確性。

4.2 移動參考模態特性

根據模態函數（11），求出一階移動載荷下的參考模態，如圖7所示。水平軸表示隨時間變化的移動局部約束位置。分析表明，制動盤橫向振動模態隨時間移動的特點明顯，摩擦塊與制動盤之間的接觸力在移動區域（）內實時變化，曲線上的點表示載荷的位置。圖8中，模態曲線在水平和豎直方向均成對稱分布，而局部約束載荷出現在模態曲線的峰值處。圖7中的移動參考模態特性與文獻[15]中有限元結果相一致。

4.3 非光滑基函數模態

相比于普通基函數和參考基函數，非光滑基函數需要較少的模態就能達到收斂。圖9為二階非光滑基函數的模態和剪力。非光滑基函數對非線性不敏感，即得到的基函數不需要隨非線性條件的變化而重新計算，因為派生的模態不依賴于含普通基函數的離散模態。

同樣地，考慮移動載荷作用的平移模態和非光基函數的前三階模態如圖10所示，其中表示局部約束載荷位置。圖中，實點和曲線分別代表載荷位置和移動模態。與參考模態相比，疊加模態曲線的峰值恰好在載荷位置處。經分析，非光滑基函數法的主要特點為模態函數的連續和剪力函數的間斷，無論模態函數還是剪力函數，載荷位置都很明顯。因此，非光滑基函數是對參考模態的補充。

此外，非光滑基函數模態相對于水平方向非對稱，模態函數的突出位置與剪力曲線的不連續部分對應的水平坐標一致。與普通基函數和參考模態函數相比，非光滑基函數更適合求解局部約束問題，可以清晰表達移動載荷的位置。

5 結 論

本文研究了移動局部約束?簡化的環形梁結構的耦合系統動力學特性。提出移動載荷法的基本思想，并應用非光滑基函數方法對移動局部接觸作用的環形梁系統降維，計算分析其模態特性。

1） 環形梁模型計算的固有頻率與試驗解相近，驗證了模型的正確性;

2） 局部約束結構具有以下特點：模態函數連續和剪力不連續;

3） 移動載荷作用下的環形梁出現移動模態效應，與有限元結果一致;

4） 模態函數和剪力函數都能表征局部約束載荷位置，即模態曲線中出現局部峰值位置和剪力曲線間斷位置對應的水平坐標。

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作者簡介： 隋 鑫（1992-），男，博士，工程師。E-mail：xsui@tju.edu.cn